LINEÁ RNÍ PODPROSTORY a
LINEÁ RNÍ NEZÁVISLOST
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.1/56

Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se vrátíme ke studiu
abstraktních vektorových prostorů nad obecným
tělesem. K tedy bude v celé kapitole označovat
nějaké pevné, jinak libovolné těleso a V bude
pevně zvolený vektorový prostor nad K.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.2/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Lineární obal v prostorech Km
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Lineární obal v prostorech Km
Lineárně nezávislé posloupnosti
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.3/56

Lineární podprostory I
3 Lineární prostory a lineární
nezávislost
3.1 Lineární podprostory vektorového
prostoru
Množina S  V se nazýva lineární (vektorový)
podprostor vektorového prostoru V , pokud
S =  a pro všechny skaláry a  K a vektory
x, y  S platí ax  S a x + y  S.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.4/56

Lineární podprostory II
Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S  V je
lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená
na operace skalárního násobku a součtu vektorů.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.5/56

Lineární podprostory II
Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S  V je
lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená
na operace skalárního násobku a součtu vektorů.
Tvrzení 3.1.1 Necht' S je lineární podprostor
vektorového prostoru V . Pak 0  S a S
s operacemi součtu vektorů a skalárního
násobku zúženými z V na S tvoří vektorový
prostor nad (číselným) tělesem K.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.5/56

Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V
lineární podprostory (v případě, když V = {0},
dokonce splývají, v opačném případě jde o dva
různé podprostory) ­
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.6/56

Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V
lineární podprostory (v případě, když V = {0},
dokonce splývají, v opačném případě jde o dva
různé podprostory) ­ {0} nazývame triviální
nebo též nulový a V nevlastní alebo též plný
lineární podprostor.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.6/56

Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V
lineární podprostory (v případě, když V = {0},
dokonce splývají, v opačném případě jde o dva
různé podprostory) ­ {0} nazývame triviální
nebo též nulový a V nevlastní alebo též plný
lineární podprostor.
Tedy pro vlastní netriviální lineární podprostor
S  V platí {0} = S = V .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.6/56

Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3
netriviální
vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a
roviny procházející počátkem 0.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.7/56

Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3
netriviální
vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a
roviny procházející počátkem 0.
To si můžeme graficky vyjádřit pomocí
následujícího obrázku, který samozřejmě ukáže
pouze několik z nekonečně mnoha lineárních
podprostorů.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.7/56

Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3
netriviální
vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a
roviny procházející počátkem 0.
To si můžeme graficky vyjádřit pomocí
následujícího obrázku, který samozřejmě ukáže
pouze několik z nekonečně mnoha lineárních
podprostorů.
Lineární podprostory jsou popsány pomocí
minimálního počtu generátorů.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.7/56

Lineární podprostory V
8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
$$$$$$$$$$8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;

8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
 
 
8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
1
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
. . .


8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
e
e8
>><
>>:
y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
rrrr8
>><
>>:
y
0
B
B
@
2
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
  
8
>><
>>:
y
0
B
B
@
1
1
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
. . .


rrrrr
d
d8
>><
>>:
0
B
B
@
0
0
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.8/56

Lineární podprostory V
8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
$$$$$$$$$$8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;

8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
 
 
8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
1
0
1
C
C
A + z
0
B
B
@
0
0
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
. . .


8
>><
>>:
x
0
B
B
@
1
0
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
e
e8
>><
>>:
y
0
B
B
@
0
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
rrrr8
>><
>>:
y
0
B
B
@
2
1
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
  
8
>><
>>:
y
0
B
B
@
1
1
1
1
C
C
A
9
>>=
>>;
. . .


rrrrr
d
d8
>><
>>:
0
B
B
@
0
0
0
1
C
C
A
9
>>=
>>;
Následující tvrzení charakterizuje lineární
podprostory jako množiny uzavřené na lineární
kombinace.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.8/56

Lineární podprostory VI
Tvrzení 3.1.2 Pro libovolnou podmnožinu S
vektorového prostoru V jsou následující
podmínky ekvivalentní:
(i) S je lineární podprostor ve V ;
(ii) S =  a pro všechny skaláry a, b  K a
vektory x, y  S platí ax + by  S;
(iii) pro každé n  N a pro všechny skaláry
a1, . . . , an  K a vektory x1, . . . , xn  S platí
a1x1 + . . . + anxn  S.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.9/56

Lineární podprostory VII
Příklad 3.1.4 (a) Označme K(X)
množinu všech
funkí f : X  K takových, že množina
{x  X; f(x) = 0} je konečná.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.10/56

Lineární podprostory VII
Příklad 3.1.5 (a) Označme K(X)
množinu všech
funkí f : X  K takových, že množina
{x  X; f(x) = 0} je konečná. Pro libovolnou
lineární kombinaci funkcí f, g  K(X)
platí
{x  X; af(x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f(x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.10/56

Lineární podprostory VII
Příklad 3.1.6 (a) Označme K(X)
množinu všech
funkí f : X  K takových, že množina
{x  X; f(x) = 0} je konečná. Pro libovolnou
lineární kombinaci funkcí f, g  K(X)
platí
{x  X; af(x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f(x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Z toho vyplývá, že K(X)
je lineární podprostor
vektorového prostoru KX
.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.10/56

Lineární podprostory VII
Příklad 3.1.7 (a) Označme K(X)
množinu všech
funkí f : X  K takových, že množina
{x  X; f(x) = 0} je konečná. Pro libovolnou
lineární kombinaci funkcí f, g  K(X)
platí
{x  X; af(x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f(x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Z toho vyplývá, že K(X)
je lineární podprostor
vektorového prostoru KX
. Je-li X je konečná, tak
K(X)
= KX
, je-li X je nekonečná, tak K(X)
je
netrivální vlastní podprostor v KX
.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.10/56

Lineární podprostory VIII
(b)Necht' X  R je libovolná množina reálných
čísel. Potom C(X, R), nebo jen stručně C(X)
označuje množinu všech spojitých funkcí
f : X  R.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.11/56

Lineární podprostory VIII
(b)Necht' X  R je libovolná množina reálných
čísel. Potom C(X, R), nebo jen stručně C(X)
označuje množinu všech spojitých funkcí
f : X  R.
Protože lineární kombinace spojitých funkcií je
zřejmě opět spojitá funkce, C(X) je lineární
podprostor v RX
.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.11/56

Lineární obal I
3.2 Lineární obal množiny vektorů
Množinu všech lineárních kombinací vektorů z
podmnožiny X vektorového prostoru V
nazýváme lineárním obalem množiny X a
označujeme ji [X].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.12/56

Lineární obal I
3.2 Lineární obal množiny vektorů
Množinu všech lineárních kombinací vektorů z
podmnožiny X vektorového prostoru V
nazýváme lineárním obalem množiny X a
označujeme ji [X].
Tedy
[X] = { a1x1 + . . . + anxn; n  N
& a1, . . . , an  K & x1, . . . , xn  X}.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.12/56

Lineární obal II
Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak
místo [{x1, . . . , xn}] píšeme jen [x1, . . . , xn].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.13/56

Lineární obal II
Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak
místo [{x1, . . . , xn}] píšeme jen [x1, . . . , xn].
Zřejmě tento zápis má smysl i pro libovolou
uspořádanou n-tici (ne nutně různých) vektorů
(x1, . . . , xn), a platí
[x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an  K}.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.13/56

Lineární obal III
Tvrzení 3.2.1 Necht' X je podmnožina
vektorového priestoru V . Potom lineární obal [X]
množiny X je nejmenší lineární podprostor
vektorového prostoru V takový, že X  [X].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.14/56

Lineární obal III
Tvrzení 3.2.1 Necht' X je podmnožina
vektorového priestoru V . Potom lineární obal [X]
množiny X je nejmenší lineární podprostor
vektorového prostoru V takový, že X  [X].
Dokázané tvrzení nás opravňuje nazývat lineární
obal [X] množiny X  V též lineárním
podprostorem generovaným množinou X.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.14/56

Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární
podprostor S, případně, že X je generující
množina nebo též množina generátorů
lineárního podprostoru S  V .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.15/56

Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární
podprostor S, případně, že X je generující
množina nebo též množina generátorů
lineárního podprostoru S  V .
Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme
o generující množině. Používá se též název
vytvářející či vytvořující množina.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.15/56

Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární
podprostor S, případně, že X je generující
množina nebo též množina generátorů
lineárního podprostoru S  V .
Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme
o generující množině. Používá se též název
vytvářející či vytvořující množina.
Kvůli přehlednosti ještě shrneme základní
vlastnosti operace lineárního obalu X  [X].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.15/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy,
když X = [X];
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy,
když X = [X];
(e) [[X]] = [X];
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Lineární obal V
Tvrzení 3.2.2 Pro libovolné podmnožiny X, Y
vektorového prostoru V a v  V platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy,
když X = [X];
(e) [[X]] = [X];
(f) v  [X]  [X  {v}] = [X].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.16/56

Součet I
3.3 Průnik a součet lineárních
podprostorů
Necht' X, Y jsou libovolné podmnožiny
vektorového prostoru V .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.17/56

Součet I
3.3 Průnik a součet lineárních
podprostorů
Necht' X, Y jsou libovolné podmnožiny
vektorového prostoru V .
Potom množinu
X + Y = {x + y; x  X & y  Y }
nazýváme součtem množin X, Y .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.17/56

Součet II
Tvrzení 3.3.1 Necht' S, T jsou lineární
podprostory vektorového prostoru V . Potom i
S  T a S + T jsou lineární podprostory ve V .
Navíc platí
S + T = [S  T],
t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V ,
který obsahuje S i T.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.18/56

Součet II
Tvrzení 3.3.1 Necht' S, T jsou lineární
podprostory vektorového prostoru V . Potom i
S  T a S + T jsou lineární podprostory ve V .
Navíc platí
S + T = [S  T],
t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V ,
který obsahuje S i T.
Sjednocení dvou lineárních podprostorů S, T
vektorového prostoru V nemusí být lineárním
podprostorem.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.18/56

Součet III
Přesněji, S  T je lineární podprostor ve V právě
tehdy, když S  T nebo T  S.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.19/56

Součet III
Přesněji, S  T je lineární podprostor ve V právě
tehdy, když S  T nebo T  S.
Součet lineárních podprostorů S, T vektorového
prostoru V nazýváme přímý nebo též direktní
součet, pokud S  T = {0}; píšeme pak S  T.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.19/56

Součet IV
Tvrzení 3.3.2 Necht' S, T jsou lineární
podprostory vektorového prostoru V . Následující
podmínky jsou ekvivalentní:
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.20/56

Součet IV
Tvrzení 3.3.2 Necht' S, T jsou lineární
podprostory vektorového prostoru V . Následující
podmínky jsou ekvivalentní:
(i) S  T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.20/56

Součet IV
Tvrzení 3.3.2 Necht' S, T jsou lineární
podprostory vektorového prostoru V . Následující
podmínky jsou ekvivalentní:
(i) S  T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní;
(ii) každý vektor z  S + T má jednoznačné
vyjádření ve tvaru z = x + y, kde x  S,
y  T.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.20/56

Závislost I
3.4 Lineární nezávislost
Necht' u1, . . . , un  V .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.21/56

Závislost I
3.4 Lineární nezávislost
Necht' u1, . . . , un  V .
Ř íkáme, že uspořádaná n-tice vektorů
(u1, . . . , un) je lineárně závislá, pokud existují
skaláry c1, . . . , cn  K tak, že (c1, . . . , cn) = 0 a
c1u1 + . . . + cnun = 0.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.21/56

Závislost I
3.4 Lineární nezávislost
Necht' u1, . . . , un  V .
Ř íkáme, že uspořádaná n-tice vektorů
(u1, . . . , un) je lineárně závislá, pokud existují
skaláry c1, . . . , cn  K tak, že (c1, . . . , cn) = 0 a
c1u1 + . . . + cnun = 0.
V opačném případě říkáme, že uspořádaná
n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.21/56

Závislost II
Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že
uspořádanou 0-tici (t. j. prázdnou posloupnost)
vektorů považujeme za lineárně nezávislou.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.22/56

Závislost II
Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že
uspořádanou 0-tici (t. j. prázdnou posloupnost)
vektorů považujeme za lineárně nezávislou.
Místo o ,,lineárně (ne)závislé uspořádané n-tici
vektorů (u1, . . . , un)" budeme často mluvit jen
o lineárně (ne)závislých vektorech u1, . . . , un.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.22/56

Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory
u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.23/56

Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory
u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když
( c1, . . . , cn  K)
(c1u1 + . . . + cnun = 0  c1 = . . . = cn = 0).
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.23/56

Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory
u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když
( c1, . . . , cn  K)
(c1u1 + . . . + cnun = 0  c1 = . . . = cn = 0).
Pro n-tici skalárů (c1, . . . , cn) = 0 platí
c1u1 + . . . + cnun = 0
pro libovolnou n-tici vektorů (u1, . . . , un), bez
ohledu na to, zda je lineárně závislá nebo nezá-
vislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.23/56

Závislost IV
Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme
jako výsledek lineární kombinace
c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné n-tice
skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) ­
takovéto uspořádané n-tice (u1, . . . , un)
nazýváme lineárně závislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.24/56

Závislost IV
Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme
jako výsledek lineární kombinace
c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné n-tice
skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) ­
takovéto uspořádané n-tice (u1, . . . , un)
nazýváme lineárně závislé.
Pro některé uspořádané n-tice vektorů
(u1, . . . , un) je volba (c1, . . . , cn) = 0 jediná
možnost jak pomocí lineární kombinace
c1u1 + . . . + cnun získáme výsledek 0 ­ takovéto
n-tice nazýváme lineárně nezávislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.24/56

Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě
tehdy, když u = 0;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.25/56

Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě
tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy,
když jeden z nich je násobkem druhého;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.25/56

Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě
tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy,
když jeden z nich je násobkem druhého;
(c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak
jsou tyto vektory lineárně závislé;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.25/56

Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě
tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy,
když jeden z nich je násobkem druhého;
(c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak
jsou tyto vektory lineárně závislé;
(d) pokud se některé dva z vektorů u1, . . . , un rov-
nají, pak jsou tyto vektory lineárně závislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.25/56

Závislost VI
Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice
nenulových a navzájem různých vektorů,
z kterých žádný není násobkem druhého, může
(ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.26/56

Závislost VI
Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice
nenulových a navzájem různých vektorů,
z kterých žádný není násobkem druhého, může
(ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá.
Následující tabulka shrnuje vztah lineární
závislosti vzhledem k relaci inkluze.
S1  S S1  S
S nezávislá S1 bude nezávislá S1 může být oboje
S závislá S1 může být oboje S1 bude závislá
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.26/56

Závislost VII
Tvrzení 3.4.1 Pre libovolné n  N a
u1, . . . , un  V jsou následující podmínky
ekvivalentní:
(i) vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé;
(ii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární
kombinací předcházejících;
(ii') některý z vektorů uk, k  n, je lineární
kombinací nasledujících;
(iii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární
kombinace ostatních.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.27/56

Závislost VIII
Každý vektor x z lineárního obalu [u1, . . . , un]
můžeme vyjádřit ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun
pro nějakou n-tici skalárů (c1, . . . , cn).
Tvrzení 3.4.2 Vektory u1, . . . , un jsou lineárně
nezávislé právě tehdy, když každý vektor
x  [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun pro jedinou uspořádanou
n-tici (c1, . . . , cn)  Kn
.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.28/56

Závislost IX
Nasledující tvrzení dává do souvislosti lineární
(ne)závislost s lineárním obalom.
Tvrzení 3.4.3 Necht' u1, . . . , un, v  V , přičemž
vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé. Potom
následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) v  [u1, . . . , un];
(ii) vektory u1, . . . , un, v jsou lineárně závislé;
(iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.29/56

Závislost X
Věta 3.4.4 Necht' u1, . . . , un, v1, . . . , vm  V ,
přičemž vektory u1, . . . , un jsou lineárně
nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} můžeme
vybrat indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory
u1, . . . , un, vi1
, . . . , vik
jsou lineárně nezávislé a
generují stejný podprostor jako vektory
u1, . . . , un, v1, . . . , vm.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.30/56

Lineární obal v Km
I
3.5 Lineární obal a lineární
nezávislost v prostorech Km
Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO
na (redukovaný) stupňovitý tvar na řešení
následujících tří otázek:
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.31/56

Lineární obal v Km
I
3.5 Lineární obal a lineární
nezávislost v prostorech Km
Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO
na (redukovaný) stupňovitý tvar na řešení
následujících tří otázek:
(1) rozhodnout pre dané vektory
x1, . . . , xn, y  Km
zda y patří nebo nepatří
do lineárního obalu [x1, . . . , xn];
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.31/56

Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km
zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.32/56

Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km
zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé;
(3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn  Km
lineárně ne-
závislé vektory xj1
, . . . , xjk
(j1 < . . . < jk) tak,
aby vektory xj1
, . . . , xjk
generovaly ve V stejný
lineární podprostor jako vektory x1, . . . , xn.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.32/56

Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km
zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé;
(3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn  Km
lineárně ne-
závislé vektory xj1
, . . . , xjk
(j1 < . . . < jk) tak,
aby vektory xj1
, . . . , xjk
generovaly ve V stejný
lineární podprostor jako vektory x1, . . . , xn.
Zavedeme dále označení, kterého sa budeme
držet v celém odstavci.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.32/56

Lineární obal v Km
III
Necht' x1, . . . , xn, y  Km
jsou sloupcové vektory,
přičemž
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.33/56

Lineární obal v Km
III
Necht' x1, . . . , xn, y  Km
jsou sloupcové vektory,
přičemž
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
Označme X = (xij)  Km×n
matici se sloupci
x1, . . . , xn, a (X | y)  Km×(n+1)
blokovou matici
složenou z matice X a vektoru y.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.33/56

Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T
 Kn
platí:
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.34/56

Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T
 Kn
platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.34/56

Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T
 Kn
platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0  X  c = 0.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.34/56

Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T
 Kn
platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0  X  c = 0.
Jinak řečeno:
(1) y  [x1, . . . , xn] právě tehdy, když soustava
X  c = y s rozšírenou maticí (X | y) má
alespoň jedno řešení;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.34/56

Lineární obal v Km
V
(2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé
právě tehdy, když homogenní soustava
X  c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud tato
soustava má i nějaké nenulové řešení, tak
vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.35/56

Lineární obal v Km
V
(2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé
právě tehdy, když homogenní soustava
X  c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud tato
soustava má i nějaké nenulové řešení, tak
vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Otázku (1) umíme řešit. Stačí pomocí ERO upravit
matici (X | y) na stupňovitý tvar. Pokud výsledná
matice obsahuje řádek tvaru (0, . . . , 0 | z), kde z =
0, tak soustava X  c = y nemá řešení a y /
[x1, . . . , xn].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.35/56

Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici ne-
nachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a
y  [x1, . . . , xn].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.36/56

Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici ne-
nachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a
y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí
ERO upravit matici X na stupňovitý tvar a podí-
vat se, zda v každém sloupci leží vedoucí prvek
nějakého řádku.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.36/56

Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici ne-
nachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a
y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí
ERO upravit matici X na stupňovitý tvar a podí-
vat se, zda v každém sloupci leží vedoucí prvek
nějakého řádku.
Pokud tento případ nastane, nemáme možnost
zvolit parametry, c = 0 je jediným řešením sou-
stavy X  c = 0 a vektory x1, . . . , xn jsou lineárně
nezávislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.36/56

Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby
alespoň jednoho parametru, soustava má tedy
nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně závislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.37/56

Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby
alespoň jednoho parametru, soustava má tedy
nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně závislé.
Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0,
je právě v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.37/56

Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby
alespoň jednoho parametru, soustava má tedy
nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně závislé.
Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0,
je právě v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z.
Tedy matice v stupňovitém tvaru, která je
řádkově ekvivalentní s (X | y) neobsahuje takový
řádek právě tehdy, když v jejím posledním
sloupci neleží vedoucí prvek žádného řádku.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.37/56

Lineární obal v Km
VIII
Příklad 3.5.1 Uvažme sloupcové vektory
x1 = (1, 1, -1, -1)T
, x2 = (0, 1, 0, 1)T
,
x3 = (3, 1, -3, -5)T
, x4 = (0, 0, 1, 2)T
,
y = (3, 5, -2, 1)T
, z = (1, 1, 1, 1)T
v prostoru R4
.
Máme rozhodnout, zda vektory y, z leží v
lineárním obalu [x1, x2, x3, x4].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.38/56

Lineární obal v Km
IX
Označme si následující matice
(X | y) =





1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
3
5
-2
1





,
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.39/56

Lineární obal v Km
IX
Označme si následující matice
(X | y) =





1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
3
5
-2
1





,
(X | z) =





1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
1
1
1
1





.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.39/56

Lineární obal v Km
X
Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní
s maticemi






1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0






resp.






1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
-2






.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.40/56

Lineární obal v Km
X
Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní
s maticemi






1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0






resp.






1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
-2






.
Okamžitě vidíme, že platí y  [x1, x2, x3, x4]
a z / [x1, x2, x3, x4].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.40/56

Lineární obal v Km
XI
Příklad 3.5.2 Zjistíme, zda sloupce reálné
matice
X =





2 0 1 3
2 1 2 3
0 2 3 1
1 2 4 2





jsou lineárně závislé nebo nezávislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.41/56

Lineární obal v Km
XII
Tato matice je řádkově ekvivalentní s maticí





1 2 4 2
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 2





.
Vidíme, že slouce matice X jsou lineárně
nezávislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.42/56

Lineární obal v Km
XIII
Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5
je řádkově ekvivalentní s maticí





1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0





.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.43/56

Lineární obal v Km
XIII
Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5
je řádkově ekvivalentní s maticí





1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0





.
Tedy sloupce matice X, chápané jakožto vektory
z vektorového prostoru Z4
5, jsou lineárně závislé.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.43/56

Lineární obal v Km
XIV
Tvrzení 3.5.3 Necht' X, Y  Km×n
jsou řádkově
ekvivalentní matice, přičemž matice Y je
ve stupňovitém tvaru. Pro 1  j  n označme
xj = sj(X) j-tý sloupec matice X. Necht'
j1 < . . . < jk jsou indexy všech sloupců matice
Y, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom platí:
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.44/56

Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1
, . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.45/56

Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1
, . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
(b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží
vedoucí prvek žádného jejího řádku (t. j.
1  j  n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je
lineární kombinací vektorů xj1
, . . . , xjl
, kde
l  k je největší index, pro který platí jl < j;
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.45/56

Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1
, . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
(b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží
vedoucí prvek žádného jejího řádku (t. j.
1  j  n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je
lineární kombinací vektorů xj1
, . . . , xjl
, kde
l  k je největší index, pro který platí jl < j;
(c) [xj1
, . . . , xjk
] = [x1, . . . , xn].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.45/56

Lineární obal v Km
XVI
Výše uvedené tvrzení nám dáva přímý návod na
řešení otázky (3).
Stačí pomocí ERO upravit matici
X = (x1, . . . , xn) na matici Y v stupňovitém tvaru
a zjistit v ní indexy j1 < . . . < jk všech sloupců,
ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom xj1
, . . . , xjk
jsou hledané lineární nezá-
vislé vektory, které generují lineární podprostor
[x1, . . . , xn].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.46/56

Lineární obal v Km
XVII
Příklad 3.5.4 Ze sloupců reálné matice
X =





1 1 3 -1 1
2 0 2 1 3
1 1 3 2 4
2 0 2 0 2





je třeba vybrat lineární nezávislé sloupce, které
generují lineární obal všech sloupců matice X.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.47/56

Lineární obal v Km
XVIII
Matice X je řádkově ekvivalentní s maticí
Y =





1 1 3 -1 1
0 1 2 2 -3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0





ve stupňovitém tvaru. Vedoucí prvky řádků matice
Y se nachází ve sloupcích 1, 2 a 4.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.48/56

Lineární obal v Km
XIX
Hledané vektory jsou tedy sloupce 1, 2 a 4
matice X. Zapsané vedle sebe pak tvoří matici





1 1 -1
2 0 1
1 1 2
2 0 0





.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.49/56

Lineární obal v Km
XX
Poznámka. Výše uvedený postup řešení
otázek (1), (2) a (3) pro prostory sloupcových
vektorů Km
lze modifikovat na prostory
řádkových vektorů Km
­ např. transponováním
příslušných matic řádkových vektorů nebo
nahrazením elementárních řádkových operací
sloupcovými.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.50/56

Lineárně nezávislé posloupnosti I
3.6 Lineárně nezávislé posloupnosti a
množiny
Nekonečnou posloupnost
(uk)
k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . .) vektorů
z prostoru V nazýváme lineárně nezávislou,
pokud každá její konečná podposloupnost
(uk1
, . . . , ukn
), kde 0  k1 < . . . < kn, je lineárně
nezávislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.51/56

Lineárně nezávislé posloupnosti II
Tvrzení 3.6.1 Nekonečná posloupnost (uk)
k=0
vektorů z V je lineárně nezávislá právě tehdy,
když pro každé n  N je její počáteční úsek
(u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.52/56

Lineárně nezávislé posloupnosti II
Tvrzení 3.6.1 Nekonečná posloupnost (uk)
k=0
vektorů z V je lineárně nezávislá právě tehdy,
když pro každé n  N je její počáteční úsek
(u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý.
Například posloupnost (1, x, x2
, . . . , xk
, . . .) všech
mocnin x je lineárně nezávislá posloupnost ve
vektorovém prostoru K[x] všech polynomů v pro-
měnné x nad tělesem K.
Polynom f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn
je (defini-
toricky) nulový právě tehdy, když a0 = a1 = . . . =
an = 0.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.52/56

Lineárně nezávislé posloupnosti III
Množina X  V sa nazývá lineárně nezávislá,
pokud pro libovolné n  N každá uspořádaná
n-tice navzájem různých vektorů (u1, . . . , un)
z množiny X je lineárně nezávislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.53/56

Lineárně nezávislé posloupnosti III
Množina X  V sa nazývá lineárně nezávislá,
pokud pro libovolné n  N každá uspořádaná
n-tice navzájem různých vektorů (u1, . . . , un)
z množiny X je lineárně nezávislá.
Kdyby totiž u1, . . . , un nebyly navzájem různé vek-
tory, nemohly by být lineárně nezávislé.
Lineární závislost či nezávislost uspořádané n-
tice vektorů nezávisí na jejich pořadí.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.53/56

Lineárně nezávislé posloupnosti IV
Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně
nezávislá právě tehdy, když je lineárně nezávislá
uspořádaná n-tice (u(1), . . . , u(n)), kde  je
libovolná permutace množiny {1, . . . , n}.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.54/56

Lineárně nezávislé posloupnosti IV
Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně
nezávislá právě tehdy, když je lineárně nezávislá
uspořádaná n-tice (u(1), . . . , u(n)), kde  je
libovolná permutace množiny {1, . . . , n}.
Tedy, lineární (ne)závislost uspořádané n-tice
(u1, . . . , un) navzájem různých vektorů je vlast-
ností množiny {u1, . . . , un}.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.54/56

Lineárně nezávislé posloupnosti V
Tvrzení 3.6.2 Uspořádaná n-tice (u1, . . . , un)
navzájem různých vektorů z V je lineárně
nezávislá právě tehdy, když množina
{u1, . . . , un}  V je lineárně nezávislá.
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.55/56

Lineárně nezávislé posloupnosti VI
Tvrzení 3.6.3 Necht' X  V je lineárně nezávislá
množina a v  V . Potom následující podmínky
jsou ekvivalentní:
(i) v  [X];
(ii) množina X  {v} je lineárně závislá;
(iii) [X  {v}] = [X].
4. LINEÁRNÍ PODPROSTORY ­ p.56/56