14. ORTOGONÁLNÍ PROJEKCE A PODPROSTORY
Budeme pokračovat ve studiu euklidovských prostorů s cílem podat kvantitativní popis vzájemné polohy afinních podprostorů v takovémto prostoru pomocí dvou základních parametrů -jejich vzdálenosti a odchylky (úhlu). Naším hlavním nástrojem při tom budou lineární operátory kolmého průmětu, zvané též ortogonální projekce, vektorů do lineárních podprostorů.
V závěru kapitoly předvedeme aplikace rozpracovaných pojmů a metod.
i
14.1. Ortokomplement a ortogonální projekce
Relace ortogonality (kolmosti) má několik následujících zřejmých vlastností.
Tvrzení 1. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Potom pro všechna x, y, z V, c,dGR platí:
(a) x _L 0;
(b) x _L x O x = 0; ícjxly ylx;
(d) (x _L y & x _L z) =>* x _L (cy + dz).
Ortogonálním doplňkem nebo též ortokomple-mentem libovolné množiny X C V ve vektorovém prostoru se skalárním součinem nazveme množinu
X± = {yeV; (VxGl)(xly)}
všech vektorů y £ V kolmých na každý vektor x G X.
Tvrzení 2. Nechť V je vektorový prostor so skalárním součinem. Potom pro všechny množiny X, Y C V platí:
(a) 0^ = {0}^ = V,   V± = {0};
(b) X1- = IX}1- = IX1-'
-L <- vl.
(c) X CY CX
(d) X C X±J-;
(e) X^1- = XL;
(f) Iílli = {0}, pokud 0 £ X, a X f] X1- = 0, pokud 0<£X;
(g) (X U Y)1- = (X + Y)1- = X±n YL
Z podmínky (b) mimo jiné plyne, že X je lineární podprostor ve V pro každou podmnožinu X c v.
Nechť S C V je lineární podprostor prostoru so skalárním součinem V a x £ V. Říkáme, že vektor z G S je kolmým průmět nebo též ortogonální projekce vektoru x do pod prostoru S, pokud x — z G S^-. Tento vektor (pokud existuje) budeme značit z = Pľg(x) = xg.
5
Věta 3. Nechť V je vektorový prostor so skalárním součinem, S C V je jeho konečně rozměrný lineární podprostor a x £ V. Potom
(a) kolmý průmět vektoru x do podprostoru S
existuje a je jednoznačně určený rovností
k
pr5(x) = x5 = J2(^ui)uh
i=l
kde (ui,. .. , Ufc) je libovolná ortonormální báze podprostoru S\
(b) pro libovolný vektor y G S platí
x-x5
<
x-y
přičemž rovnost nastane právě tehdy, když
y = xs;
6
(c) pokud x^Oa       {0}, tak pro libovolný vektor O^yGS piati
>
(x, y)
X
X
přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory xg, y jsou lineárně závislé.
Důsledek 4. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a 5, T C V jsou jeho konečně rozměrné lineární podprostory. Potom
(a) S = S-L-L, (5nT)i = 5i + Ti a V = S © S~^~',
(b) pľg : V —> V je lineární operátor;
7
(c) (VxG VO(xe S & pr5(x) = x);
(d) Impr^ = S a Kerpľg = 5
(ej x — xg je kolmý průmět vektoru x do pod-prostoru S^~.
Lineárni operátor pľg nazýváme ortogonální projekcí na pod prostor S.
8
Předpokládejme, že kolmý průmět vektoru x do lineárního podprostoru S existuje. Vysvětlíme si, jak můžeme za tohoto předpokladu definovat vzdálenost i odchylku vektoru x od každého z podprostoru S, S^~.
Situace je znázorněná na následujícím obrázku.
Vektor x — xg je kolmý na každou přímku v podprostoru S, speciálně trojúhelník tvořený vektory x, xg, x — xg je pravoúhlý, s pravým úhlem při „konci" vektoru xg.
9
Podmínka (b) věty 3 nás oprávňuje nazvat délku vektoru x — xg vzdáleností vektoru x od pod-prostoru S. Budeme ji značit
dist(x, S) = ||x—X5H = min{||x—y||; y £ S}
Vzhledem k podmínce (e) důsledku 4 je vzdálenost (anglicky distance) vektoru x od pod-prostoru       daná vztahem
dist(x,5±) = ||x5
10
Podobně, protože kosinus je na intervalu (0, 7r) klesající funkce, podmínka (c) věty 3 nás oprávňuje nazvat výraz
Xc
<(x, S) = arccos-— = min{<(x, y); 0 ^ y G S}
x||
odchylkou vektoru x ^ 0 od pod prostoru S ^ {0}, případně úhlem vektoru x a podprostoru S.
Odchylka <(x, S) je tedy jednoznačně určená jako takové reálné číslo a G (0,7r/2), pro které platí
cos a =
x
t. j.    sin a =
X		
	X	
11
Zřejmě opět půjde o neorientovaný uhel. Pokud xg ^ 0, tak <(x, S) = <(x, X5); pokud xg = 0, t.j. pokud x £ S^~, tak samozřejmě <(x,S) = tt/2.
Úhel dvou vektorů nabývá hodnoty z intervalu (0,7r), hodnoty, které nabývá úhel vektoru a podprostoru, jsou omezené na interval (0, tt/2). Z podmínky věty 3(e), pokud ^ {0}, tak odchylka vektoru x ^ 0 od podprostoru je
daná vztahem
<(x, S^~) = arccos
x-x5
= arcsin
x
x
12
Z části (a) věty 3 máme přímý návod, jak najít kolmý průmět vektoru x do konečně rozměrného podprostoru S C V, a tím i vzdálenosti dist(x, S), dist(x, 5T) a odchylky <(x, 5),
<(x,5±).
Tvrzení 5. Nechť V je vektorový prostor so skalárním součinem, S je jeho konečně rozměrný lineární podprostor s bazí a = (ui,. . ., UjJ a x £ V. Potom pro c = (ci,..., c^)T £ Mfc platí xg = c\Mi + .. . + CfcUfc právě tehdy, když c je řešením soustavy lineárních rovnic
G (a) • c = (x, a) , kde (x, a) označuje řádkový vektor
«x,ui),...,(x,ufc)) 6 1
13
Rozšířená matice (G(a) | (x, a) ) uvedené soustavy je Gramovou maticí G(u]_,. .. , u^, x) řádu k + 1, ze které jsme vynechali poslední řádek.
Je-li a ortonormální báze, tak G (a) = 1^, t.j. příslušná soustava je už ve vyřešeném tvaru c = (x, a)T, t.j. ve shodě s podmínkou (a) věty 3.
Totiž
pľg(x) = xg = (x, a)T • a = c • a.
14
Příklad 6. V M4 se standardním skalárním součinem je daný vektor x = (1,1,1,1)T a rovina S = [u,v], kde u = (0,-1,0,1)T, v = (l,-2,l,-3)T
Najdeme kolmý průmět vektoru x do roviny S a vypočítáme vzdálenost dist(x, S) a odchylku <(x, S).
Kolmý průmět budeme hledat ve tvaru xg = cu + dv, kde (c, d)T E K vyhovuje soustavě
s rozšírenou maticí
(u, u) (v, u) (u, v) (v, v)
/ 2 -1 v -1 15
(x, u) (x, v)
15
Jejím řešením dostaneme c = —3/29, d = —6/29, tedy kolmý průmět vektoru x do roviny [u, v] je
XS = (u,v)
V
c d
29
( -2\
5
-2
5
V
ŕ o M
-1 -2
0 1
1 -3
V
V
-3/29 -6/29
Pro vzdálenost x od S potom dostáváme
dist(x, S) = ||x—xg
7
29
(5,2,5,2)
T
= -V58. 29
16
Pro odchylku x od S dostaneme
sin <(x, S) =
x-x5
X
7 Všš = 7
2-29
S použitím kalkulačky či tabulek můžeme zjistit, že
<(x, S) = arcsin
7
VŠ8
O aqI r 11
1,1659 rad « 66u48'5
17
Příklad 7. Nechť A G RmXn, přičemž m > n a /&(A) = n, t.j. sloupce matice A jsou lineárně nezávislé vektory v euklidovském prostoru Mm se standardním skalárním součinem.
Označme S C W71 lineární podprostor generovaný sloupci matice A. Potom ortogonální projekce na podprostor S je lineární operátor pr5:Mm^Mm.
Najděme jeho matici B = (prs)££ e RmXm vzhledem ke kanonické ortonormální bázi e prostoru Rm.
Pokud ztotožníme matici A s uspořádanou n-ticí jejich sloupců, tak A je bazí S.
18
Podle tvrzení 5 obraz y = pľg(x) vektoru x £ Mm dostaneme ve tvaru
y = A • c,
kde c £ Mn je jediné řešení soustavy
G(A)-c = (x,A)T
Z nezávislosti sloupců matice A víme, že G(A) AT - A je regulární matice.
Dále platí (x, A) = xT • A, tedy (x, A)T = AT-x.
19
Po dosazení
c = G(A)"1 • (x, A)T = (AT • A)"1 • AT • x, y = A • c = A • (AT • A)-1 • AT • x.
Tedy hledaná matice ortogonální projekce prg je
B = (pr5)£)£ = A • (AT • A)"1 • AT.
20
14.2. Vzdálenost dvou afinních
podprostorů
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a X, Y jsou jeho dvě neprázdné podmnožiny. Vzdáleností množin X, Y v V nazýváme číslo
distpf, Y) = inf{||x - y|| ; x G X k y G Y}
Lemma 8. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a M, N jsou jeho afinní podprostory. Potom pro libovolné body p G M, q G M platí:
dist(M, N) = dist(p - q, DirM + DirTV).
21
Říkáme, že body p G M, q G iV tvoří příčku afinních podprostorů M, iV, pokud
dist(M,A0 = ||p-q
t.j. pokud se vzdálenost podprostorů M, iV realizuje jako délka vektoru p — q.
22
Tvrzení 9. Nechť M, N jsou konečně rozměrné afinní podprostory vektorového prostoru se skalárním součinem V. Potom
(a) body p £ M, q£ iV tvoří příčku pod prostorů M, iV právě tehdy, když p — q £ (DirM + DirAf)-1;
(b) pro libovolné body p £ M, q £ iV a vektory u £ DirM, v £ DirAf platí: body p + u, q + v tvoří příčku pod prostorů M, N právě tehdy, když vektor v — u je kolmým průmětem vektoru p — q do lineárního podprostoru DirM + D\rN;
(c) existují body p £ M, q £ N tvořící příčku podprostoru M, N.
23
Důsledek 10. Pro konečně rozměrné afinní pod prostory M, N C V vektorového prostoru se skalárním součinem platí dist(M, N) = 0 právě tehdy, když M H TV ^ 0.
Přímý návod jak najít příčku a vzdálenost libovolných konečně rozměrných afinních
podprostorů
Jsou-li M = p + [ui,..., um]. N = q + vi,...,Vn] zadané parametricky, stačí najít jedno řešení c = (ci,..., cm, cm+i,..., cm+n)T G Mm+n soustavy
G(7)-c= (p-q,7)T? kde 7 = (ui,.. ., um, vi,. .. , vn), a položit U = ClUl + . .. cmum, v = cm+ivi + .. .+cm+nvn.
24
Potom vektor w = u+v = 7*c je kolmým průmětem vektoru p—q do lineárního podprostoru DirM + D'\rN = [ui,... um, vi,..., vn] a příčka podprostorů M, N je tvořená body p — u, q + v. V důsledku toho
dist(M,A0 =
p - u) - (q + v) p — q — w
25
Odchylka dvou afinních podprostorů
Odchylku neboli úhel dvou netriviálních konečně rozměrných afinních podprostorů ve vektorovém prostoru so skalárním součinem V značíme <(M, N) a definujeme ji jako odchylku <(DirM, DirTV) jejich zaměření.
Odchylku neboli úhel <(5, T) dvou netriviálních konečně rozměrných lineárních podprostorů S,TCy definujeme následovně:
Pro S C T nebo T C S položíme
<(S,T) = 0. Pokud S H T = {0}, klademe <(S, T) = inf {<(x, y);0^x£S&0^y£
26
Pokud bychom takovýmto způsobem definovali odchylku <(5,T), i když SnT^ {0}, libovolný společný nenulový vektor x £ SnT by se postaral o to, aby platilo <(5, T) = <(x, x) = 0, což nevypadá příliš rozumně. Tedy pro S D T ŕ {0}, S g T, T g S, položíme
Si = 5 n (5 n T)-1,      Ti = rn(5nr)1.
Zřejmě S\, T\ C- V jsou netrivální lineárni podprostory a 5i D = {0} (za předpokladu 5 n T = {0} dokonce platí S\ = S, T\ = T).
Proto můžeme konečně definovat
<(S,T) = <(ShTí).
27
Takto definovaný úhel podprostorů S, T je číslo z intervalu (0, tt/2) a platí pro něj <(£, T) = <(T, S), tedy je to neorientovaný úhel.
Tvrzení 11. Nechť y je vektorový prostor so skalárním součinem a S, T jsou jeho konečně rozměrné lineární podprostory, přičemž 5 g T ani T g 5. Potom
<(5, T) = inf{<(x, T); 0 ^ x G Sr^SriT)-1}.
28
Odchylka přímky [x], kde x ^ 0, a konečně rozměrného lineárního podprostoru S ^ {0} je daná vztahem
<([x],S) = <(x,S0
= arccos
llx.sll = ,
<(x,xs)>
x
tt/2,
pokud X5 ^ 0, t.j. x^ S±t
pokud X5 = 0, t.j. x G 5-1.
29
Každý (n — l)-rozměrný lineární podprostor S v n-rozměrném euklidovském prostoru V má
tvar S = V.
a
_L
pro vhodný nenulový vektor a G
Každá nadrovina N C V se zaměřením 5 má
tvar N = p +
a
_L
pro nějaké p G N.
Vektor a se nazývá normála neboli normálový vektor nadroviny N. Normála nadroviny je určená jednoznačně až na skalární násobek.
V euklidovském prostoru Mn se standardním skalárním součinem vystupuje normálový vektor dané nadroviny přímo v její (obecné) rovnici. Pokud je totiž nadrovina M daná rovnicí
^1*^1 H- • • • H- dfiXfi — by
tak a = (ai,..., an)T ^ 0 je její normála a uvedenou rovnici můžeme zapsat ve tvaru (x, a) = b.
30
Tvrzení 12. Nechť 5 je netriviální, vlastní lineární podprostor euklidovského prostoru V a O^aGľ. Potom
<
a
_L
7t
,S) = |-<(a,S) = <(a, S^).
Důsledek 13. Nechť M, AT jsou dvě nadro-viny v euklidovském prostoru V s normálami a, resp. b. Potom
<(M, N) = <(a, [b]) = min{<(a, b), <(a, -b)}
31