Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno bstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice. Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a odvodíme si některé jeho základní vlastnosti. V následující kapitole si potom mimo jiné dokážeme, že dimenze je základní strukturní invariant tzv. konečně rozměrných vektorových prostorů. bsah přednášky Báze a dimenze 5.1 Steinitzova věta...... 5.2 Báze a dimenze ..... 5.3 Souřadnice vektoru .... 5.4 Dimenze součtu a součinu teinitzova věta I Báze a dimenze .1 Steinitzova věta a konečně rozměrné prostory rěta 5.1.1 Steinitzova věta Nechť !,..., vm g y. Jsou-li vektory lineárně ezávislé a všechny patří do lineárního obalu i,..., vml, pak n < m. teinitzova věta II vržení 5.1.2 Pro libovolný vektorový prostor V sou následující podmínky ekvivalentní: (i) existuje konečná množina X c v tak, že \X] = V; ii) každá lineárně nezávislá množina Y c V je konečná. teinitzova věta III íkáme, že vektorový prostor V je konečně "ozmerný (konečně dimenzionální), pokud plňuje některou (tedy nutně obě) ; ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě lokázaného tvrzení. f opačném případě říkáme, že V je nekonečně "ozmerný (nekonečně dimenzionální) vekto- ový prostor. áze a dimenze I l Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru Jechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. ází prostoru V nazýváme každou lineárně lezávislou uspořádanou n-tici (ui,..., un) 'ektoru z V, která generuje celý prostor V. íkáme pak, že vektory lil, . . . ? lln řvoři bázi rostoru V. áze a dimenze II lásledující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4. vržení 5.2.1 Nechť V je konečně rozměrný 'ektorový prostor. Potom a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou 1k-tici (ui,..., Ufe) vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze (ui,..., uk,..., un) prostoru V; b) z libovolné generující uspořádané m-tice k(vi,..., vm) vektorů z V můžeme vybrat nějakou bázi (vil?..., vin) prostoru V. áze a dimenze III ěta 5.2.2 Nechť V je konečně rozměrný ektorový prostor. Potom a) V má alespoň jednu bázi; b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků. rávě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi nebo též rozměr konečně ozmerného vektorového prostoru V jako počet rvků jeho libovolné báze. Dimenzi vektorového toru V značíme dim V. áze a dimenze IV ektorový prostor. Pokud V je nekonečně ozměrný prostor, klademe dim1!/ = oo. ' případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu ííselného tělesa K, budeme používat »odrobnější označení dirn^lA ľedy V je konečně rozměrný právě tehdy, když iimV < oo. áze a dimenze V Jotom libovolné dvě z následujících podmínek mplikují třetí: (i) vektory ví,..., vm jsou lineárně nezávislé; Vi,...,V, To kromě jiného znamená, že na ověření, zda n /ektorů ví,..., vn tvoří bázi n-rozměrného /ektorového prostoru V, stačí ověřit jen jednu (a o libovolnou) z podmínek (i), (ii). --------- ouradnice vektoru I Souřadnice vektoru vzhledem na danou bázi Jásledující věta je speciálním případem věty ,4.2. ěta 5.3.1 Vektory lil, . . . ? Wn tvoří bázi 'ektoroveho prostoru V právě tehdy, když každý 'ektor x g y můžeme jednoznačně vyjádřit re tvaru lineární kombinace x = ciui +... + cnun ouradnice vektoru II xistence aspoň jednoho vyjádření : = ciui +... + cnun je ekvivalentní s podmínkou, e vektory m,..., un generují V. Jednoznačnost ohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární íezávislostí vektorů ehdy, když pro každé xeľ existuje právě jedno ; = (ci,.... cn)T g Kn tak, že ouradnice vektoru III 'vědomme si, že ouradnice vektoru IV ěnto jednoznačně určený sloupcový vektor : e Kn budeme nazývat souřadnice vektoru x zhledem na bázi o, a označovat ědy každá báze a v n-rozměrném vektorovém »rostoru V definuje souřadnicové zobrazení : i->- (x)a z y do sloupcového vektorového rostoru Kn. ouradnice vektoru V (onečně rozměrného vektorového prostoru V. Dotom příslušné souřadnicové zobrazení -)oc'-V ->> Kn je bijektivní a zachovává lineární ombinace, t.j. pro libovolná a,b e K, xjGľ latí (ax + 6y)a = o(x)a + b(y)a. 'němu inverzní zobrazení (-)'1 : Kn ^ V je 'ané předpisem c h> ol • a ouradnice vektoru VI ejména tedy pro libovolné x e V, c e Kn platí rvní rovnost ukazuje, jak je možno vektor x rekonstruovat z dané báze a a jeho souřadnic :)a v této bázi; druhá, že souřadnice lineární ombinace Ya=\ cíuí v D^ze lil, . . . ? \ln tvoří rávě vektor (ci,..., cn)T. ouradnice vektoru VII ákto zavedené souřadnice můžeme nazvat Joupcovými souřadnicemi vzhledem k dané azí. 'odobným způsobem můžeme zavést i řádkové ouřadnice a dokázat pro ně analogická tvrzení iko pro sloupcové. ouřadnice vektoru VIII Ťíklad 5.3.3 Označme ef} = s*(In) e Kn loupcový vektor skládající ze samých nul, limo i-té složky, která je 1. 1 5 je báze loupcového vektorového prostoru Kn. Jazýváme ji kanonickou bází tohoto irostoru. Můžeme ji ztotožnit s jednotkovou naticí ln. ouradnice vektoru IX 'bčas budeme horní index (n) vynechávat a říslušnou bázi označovat stručně vými vlastními souřadnicemi v kanonické bázi. ouradnice vektoru X anonická báze řádkového vektorového rostoru Kn je tvořená řádky jednotkové matice n a značíme ji stejně jako v předcházejícím y.'._____i^ _(