LINEÁRNI ZOBRAZENI
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
bstrakt přednášky
V této kapitole prozkoumáme pojem lineárního zobrazení, které nám umožní porovnávat struktury různých vektorových prostorů nad tímž tělesem.
p
bsah přednášky
Lineární zobrazení
6.1    Lineární zobrazení......
6.2    Jádro a obraz.........
6.3    Lineární izomorfismy.....
6.4    Matice lineárního zobrazení .
6.5    Prostory lineárních zobrazení
p
ineární zobrazení I
Lineární zobrazení
Lineární zobrazení
Jechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem
(. Říkáme, že <p : V ->• U je lineární zobrazení, okud <p zachovává operace vektorového součtu i skalárního násobku, t.j. pokud pro libovolné
:,y eV, ce K platí
+ y)   =   p(x) + <p(y),
X  .
6. LIN
ineární zobrazení II
ineární zobrazení zachovávají nulový vektor a pačné vektory, t. j. pro lineární zobrazení
>: V ->• U a x g V platí
x .
ro každý vektorový prostor V je identické :obrazení idy : V —> V, x \-t x lineární.
>ro libovolné vektorové prostory ř7, y nad šlesem K zobrazení 0 :V ->Ut které každému ektoru x eV přiřadí nulový vektor 0 e U, je
r             r
inearni.
6. lin:
ineární zobrazení III
omutativita operace součinu v tělese a jeho istributivita vzhledem na sčítaní znamená, že >ro libovolný pevný skalár a e K je přiřazením : H> ax definované lineární zobrazení K ->• K.
.ineární zobrazení můžeme charakterizovat jako :obrazení mezi vektorovými prostory (nad tím tejným tělesem), které zachovávají lineární ombinace.
6. lín:
ineární zobrazení IV
vržení 6.1.1 Nechť U, V jsou vektorové irostory nad tělesem K a ip : V ->• U je libovolné obražení. Následující podmínky jsou kvivalentní:
'i) (p je lineární zobrazení;
ii) pre všechna x, y e V, a, b e K platí
ip(ax + by) = aip(x) + bip(y);
ip(ax + by) = a<p(x) + bip{y);
pro libovolné n e N a všechna
Xj,..., xn t v, C\). ip(c\x.i + ... + c„xn
, cn G K platí
- -.<z>(xi) + ...
6. lín:
ineární zobrazení V
Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: ompozice (složení) lineárních zobrazení je opět neární zobrazení a obrazy i vzory lineárních Dodprostorů v lineárních zobrazeních jsou též ineární podprostory.
Tvrzení 6.1.2 Nechť U, V, W jsou vektorové orostory nad tělesem Kaip:W^V,ip:V^U sou lineární zobrazení. Potom i jejich složení
o o ij): W ->• U je lineární zobrazení.
6. lín:
ineární zobrazení VI
vržení 6.1.3 Nechť U, V jsou vektorové Kostory nad tělesem K a <p : V ->> U je lineární obražení.
a)  Je-li S lineární podprostor prostoru V, tak i <p(S) je lineární podprostor prostoru U.
b)  Je-li T lineární podprostor prostoru U, tak ip^iT) je lineární podprostor prostoru V.
6. lín:
ineární zobrazení VII
'říklad 6.1.4 Nechť K je těleso. Distributivita vůči n u matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku lká, že pro pevn m, n,p e N a libovolnou matici K. e Kmxn je přiřazením Xh-A-X lefinované lineární zobrazení mezi vektorovými wostory matic Knxp ->• Kmxp.
°odobněje přiřazením Y h> Y • A definované
ineární zobrazení Kpxm ->• Kpxn.
6. LINE.
ineární zobrazení VIII
obražení x h> A • x mezi sloupcovými 'ektorovými prostory Kn ->• Km, resp. lineární obražení y h> y • A mezi řádkovými vektorovými
irostory Km -t Kn.
.aždé lineární zobrazení mezi konečně ozměrnými vektorovými prostory nad K má f podstatě takovýto tvar.
6. LINE.
ineární zobrazení IX
'říklad 6.1.5 Nechť K je těleso. Pro m, n e N a evné 1 < i < m, 1 < j < njsou předpisy
i. \-> ri(A), A h> Sj(A) definovaná lineárni
obražení Kmxn -+ Klxn resp. Kmxn -» ifmxl. rovněž A i->- AT ye lineární zobrazení
("mxn __v   jy~nxm
6. LINE
ineární zobrazení X
'říklad 6.1.6 Nechť V je vektorový prostor nad ělesem K, X je množina a x e X je pevně volený prvek.
řipomeňme, že Vx je vektorový prostor všech 'unkcí f : X ->• V. Dosazení prvku x do funkce f, l.j. přiřazení f h> f(x), je lineární zobrazení
fx^V.
odobně, pro libovolnou podmnožinu Y c x je zúžení f \-> f\Y lineární zobrazení Vx ->• VY.
6. LINE.
ineární zobrazení XI
'říklad 6.1.7 Označme V množinu všetch onvergentních posloupností reálných čísel, '.řejmě V je lineární podprostor vektorového rostoru Rn všech posloupností reálných čísel.
*ak zobrazení V ->• IR, které posloupnosti = On)£°=o e V přiřadí její limitu limn^00 an, je
nearm.
6. LINE.
ineární zobrazení XII
Příklad 6.1.8 Uvažujme projekci w
W
áto projekce je lineární zobrazení, které není oroste a je surjektivní. Totiž vzor nějakého vektoru v R2 je vertikální přímka vektorů z R3.
6. LIJ
ineární zobrazení XIII
Příklad 6.1.9 Následující lineární zobrazení
dané předpisem
rovněž prosté. Pro pevné w eR1 je totiž jeho vzorh~l{w) množina všech vektorů v rovině,
'eiichž souřadnice po sečtení dávají právě w.
6. LINE
ineární zobrazení XIV
Příklad 6.1.10 Vzory mohou samozřejmě být jiné struktury než výše použité přímky Pro lineární zobrazení h : R3 ->> R2 definované
olmé k ose x.
ídro a obraz I
d.2   Jádro a obraz lineárního zobrazení
lechť (p : V ->> U je lineární zobrazení mezi ektorovými prostory nad tělesem K. Jeho ádrem nazýváme množinu
obrazem lineárního zobrazení (p nazývame
nozinu
ídro a obraz II
ýše zavedené označení pochází z anglických lov kernel a image. Protože {0} je lineární »odprostor prostoru U a V je lineární podprostor »rostoru V, jako speciální případ tvrzení 6.1.3 lostáváme následující výsledek.
vržení 6.2.1 Nechť(p :V^Uje lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad hlesem K. Potom Kenp je lineární podprostor
rostoru V a Imip je lineární podprostor prostoru
6. LINE.
ídro a obraz III
omočí pojmů jádra a obrazu můžeme :harakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární obražení.
ěta 6.2.2 Nechť ip : V obražení. Potom
U je lineární
a)  ipje injektivní právě tehdy, když Ker^ = {0};
b)  (p je surjektivní právě tehdy, když lm(p = U.
6. LINE.
ídro a obraz IV
ěta 6.2.3 Nechť (p .V^Uje lineární obražení, přičemž vektorový prostor V je onečně rozměrný. Potom i Kertp a Imtp jsou onečně rozměrné prostory a platí
dim Im<£>.
6. LINE.
ídro a obraz V
imenzi obrazu Im<p nazýváme hodnosti ineárního zobrazení ip a značíme ji
ineární zobrazení (p : V ->• V vektorového fostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací.
6. LINE.
ídro a obraz VI
)ůsledek 6.2.4 Nechť (p iV^Vje lineární 'ansformace konečně rozměrného vektorového rostoru V. Potom (p je injektivní právě tehdy, dyžje surjektivní.
6. LINE.
ineární izomorfismy I
i.3   Lineární izomorfismy
iijektivní lineární zobrazení (p : V ->• U mezi rektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K
íazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že rektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní íebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, )okud existuje nějaký lineární izomorfismus
o:V^U.
6. LINE.
ineární izomorfismy II
vržení 6.3.1 Nechť U, V, W jsou vektorové wostory nad tělesem K.
a) id^ : V ->• V je lineární izomorfismus.
b) Je-li <p : V ->• t/ lineární izomorfismus, pak i (p~x : U ^ V je lineární izomorfismus.
c) Jsou-li ip :W ->• V, y?: V ->• í/ lineární
k  izomorfismy, pak i (p o ý : w ^ U je lineární izomorfismus.
6. LINE.
ineární izomorfismy III
právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá ásledující důsledek.
üsledek 6.3.2 Pro libovolné vektorové prostory i, V, W nad tímž tělesem K platí:
6. LINE.
ineární izomorfismy IV
íkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním nůžeme pracovat podobně jako se vztahem ovnosti =.
3říklad 6.3.3 Nechť V je konečně rozměrný /ektorový prostor nad tělesem K, dim1!/ = n a
souřadnicové zobrazení x h> (x)^ je lineární zomorfizmus V ->• Kn.
6. LINE.
ineární izomorfismy V
Dlatí, že typ izomorfismu daného konečně ozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho limenzí.
/ěta 6.3.4 Nechť U, V jsou konečně rozměrné rektorové prostory nad tělesem K. Potom
6. LINE.
ineární izomorfismy VI
ledy konečně rozměrný vektorový prostor V nad slesem K je izomorfní se sloupcovým řádkovým) vektorovým prostorem Kn právě ehdy, když n = dim V.
'řitom každá báze ß prostoru V určuje jeden akovýto izomorfismus V ->• Kn - je jím jouřadnicové zobrazení x i->> (xW
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni I
.4   Matice lineárního zobrazení
važujme lineární zobrazení ip : Kn ->• Km. prostoru Kn máme kanonickou bázi
•™) = (ei,..., en). Protože obrazy <p(eA ve^
e,-) vektorů
§to báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, nůžeme vytvořit matici
G\ ), . . . ,
eK
mxn
ejímiž sloupci jsou právě tyto vektory, t. j. platí
o(ej) pro 1 < j < n.
ra
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni I
Jkážeme, jak můžeme obraz <p(x) libovolného ektoru x = (xi,..., xn)T e Kn vypočítat pouze
e znalosti této matice. Uvědomme si, že
= xiei + ... + xnen, a počítejme
<p(xiei xi(p(ei
|      ...       |      «Az-ri t/
n^n
xn(p(e.
' 1    ....     .    *Aj i
A  x
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni II
ědy každé lineární zobrazení <p : Kn ->• Km má */ar <p(x) = A • x pro vhodnou matici A e Kmxn.
'rotože každý konečně rozměrný vektorový fostor V nad tělesem K je izomorfní prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných azí v konečně rozměrných prostoroch U, V, uóe možné libovolné lineární zobrazení •>\V -*U zakódovat pomocí vhodné matice A.
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni IV
lechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové rostory nad tělesem K, dim U = m, dim V = n
T, resp. ve V.
]aticí lineárního zobrazení (p :V ^ U 'zhledem k bazím ß, a nazývame matici
OĽ)   •   •   •   5
G K
mxn
ejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů p(vj) vektorů báze ß vzhledem k bázi a, t. j. platí
•^ . pro 1 < j < n.
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni V
uto matici značíme též
Všimněme si obrácené pořadí znaků baží vůči Dořadí vektorových prostorů v označení obražení <p : V -»• U.)
Matici A ze začátku tohoto paragrafu můžeme lazvat maticí lineárního zobrazení
T^n ->> Km vzhledem na kanonickou bázi
atice lineárního zobrazeni V
Dokud nerekneme jinak, budeme pod maticí ineárního zobrazení ip : Kn ->• Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumět
atici
£{m) £(n)
zobrazení tp vzhledem ke
anonickým bažím.
laticí lineární transformace <p : V ->• V
zhledem k bázi a. prostoru V tedy rozumíme natici ((£>)„„.
atice lineárního zobrazeni VI
řitom platí (v.
prostoru V.
. toho je zřejmé, že pro každou bázi ß ^-rozměrného vektorového prostoru V platí
(idvW = (4"')"=i
*-n-
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni VIII
ěta 6.4.1 Nechť (p .V^Uje lineárni obražení mezi konečně rozměrnými 'ektorovými prostory nad číselným tělesem K, [\mV = n, dimU = m a ol, ß jsou báze prostorů T resp. V. Potom pre všechna x e V platí
aß ■ (x)/3
je jediná matice touto vlastností.
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni I
Ikládání lineárních zobrazení zodpovídá íásobení matic.
rěta 6.4.2 Nechť U, V, W jsou konečně izměrné vektorové prostory nad tělesem K, a b báze U, ß je báze V a 7 je báze W. Potom pro ibovolné lineární zobrazení ip : W ->> V,
o :V ->• U platí
a,7
aß • Wß,v
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni
»říklad 6.4.3 Otočení roviny okolo počátku o
fiel a e R je lineární zobrazení Ra :R2 ->> R2.
Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na anonickou bázi e budeme značiť rovněž Ra, edy pre xeR2 budeme psát Ra(x) = Ra • x.
]ejí sloupce získáme otočením vektorů
:i = (1,0)T, e2 = (0,1)T o úhel a.
6. LINE.
atice lineárního zobrazení X
. definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame
cos a
srna
COS   77 +
cos a;
atice lineárního zobrazení XII
To znamená, že
sin a    cos a
a obrazem libovolného vektoru (x, y)T otočení Ra je vektor
R« •
x cos o, — y sin a, x sin a + y cos o;
6. LIJ
atice lineárního zobrazeni XIII
atice
cos(7t/6)    — sin(7r/6) sin(7r/6)      cos(-7r/6)
1/2      V3/2
reprezentuje vzhledem ke standardní bázi 'ransformaci R^/6: R2 -»• R2, která otočí vektory 7r/6 radiánů proti směru hodinových ručiček.
VŠ)/2 V3)/2
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni XIV
Dříklad 6.4.4 Osová souměrnost roviny podle ibovolné přímky procházející počátkem definuje obražení Sa R2 ->> R2, kde a g Rye úhel, který víra osa souměrnosti s osou x.
-omočí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i Sa je lineární zobrazení. 'e/?o matici vzhledem ke kanonické bázi e judeme značit stejně tj. Sa.
6. LINE.
atice lineárního zobrazení XV
řejmě matice souměrnosti podle osy x je
a osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ka, t.j.
atice lineárního zobrazení XV
Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme
cos 2a     sin 2a
Tedy osová souměrnost Sa zobrazí vektor
(x, y)T G R2 na vektor
x cos 2a + y sin 2a x sin 2a — y cos 2a
atice lineárního zobrazeni XVI
Dříklad 6.4.5 Stejnolehlost neboli též lomotetie se středem v počátku a koeficientem podobnosti 0 ^ c e R je opět ineární zobrazení R2 ->> R2 s matici
'.2 = diag(cjc).
Tento príklad můžeme evidentním způsobem zevšeobecnit na libovolnou dimenzi n.
6. LINE.
atice lineárního zobrazeni XVII
'říklad 6.4.6 Zkosení (kroucení, střih)
působuje deformace tvarů.
Výsledek transformace vyvolává dojem, jako
idy by objekty byly složeny z mnoha vrstev, které
sou po sobě posouvány.
Dvě základní transformace jsou zkosení ve
>měru x a zkosení ve směru y.
6. LINE.
atice lineárního zobrazení XVIII
Pro zkosení ve směru x s parametrem a e K se používá transformační matice určená předpisem,
ax
1   0 a   1
Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou „vodorovnou vrstvu"
{(x,y); y = s}, s G K, o vektor asei.
lické lineární transformace fungují i ve ví cerozměrnvch orostorech Kn.      6 "nearni i
rostory lineárních zobrazeni I
1.5   Prostory lineárních zobrazení
Jechť U, V jsou vektorové prostory nad íselným tělesem K. Uvažme vektorový prostor Tv všech zobrazení / : V ->• U s operacemi oučtu a skalárního násobku definovanými po Jožkách.
>ak pro množinu C(V,U) všech lineárních :obrazení <p:V^>U platí C(V,U) c Uv.
6. LINE.
rostory lineárních zobrazeni I
vržení 6.5.1 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom C(V, U) je
ineární podprostor vektorového prostoru Uv. Tedy C{V, U) je vektorový prostor nad K.
ľvrzení 6.5.2 Nechť U, V jsou konečně vzměrné vektorové prostory nad tělesem K a
\imlf = m, dim1!/ = n. Potom
mxn
5
6. LINE
rostory lineárních zobrazeni II
.volme bázi a v prostoru U a ß v prostoru V. Na natici ((p)aß se můžeme dívat jako na ouřadnice vektoru ip e £(V, U) v prostoru Kmxn, zhledem na dvojici baží ß, a.
.ineární zobrazení <p : V ->• K z vektorového )rostoru V do tělesa K se nazývá lineární unkcionál nebo též lineární forma na 1/. /ektorový prostor £(V, K) všech lineárních forem ía V se nazývá duální prostor nebo jen krátce iuál vektorového prostoru V.
6. LINEÁRNÍ Z
rostory lineárních zobrazeni IV
okud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze anonickou bázi sestávající z jediného vektoru
e K, libovolná báze ß v konečně rozměrném »rostoru V určuje lineární izomorfismus V* ->• V laný předpisem <p \-t {<p)iß. Platí tedy
vržení 6.5.3 Pro libovolný konečně rozměrný 'ektorový prostor V nad tělesem K platí V* = V.
6. LINE.
rostory lineárních zobrazeni V
rJatice (ip)\ß lineárního funkcionálu (p : V ->> K je ;ádkový vektor z prostoru Klxn.
Df\ volbě kanonické báze e v sloupcovém Drostoru Knxl můžeme řádkový prostor Klxn itotožnit s duálem (Knx1)* sloupcového prostoru
zomorfismus konečně rozměrného prostoru V a eho duálu V* závisí od výběru báze ve V.
6. LINE.
rostory lineárních zobrazeni V
ro libovolný vektorový prostor V můžeme "efinovat kanonické, t.j. od výběru báze lezávislé zobrazení z prostoru V do jeho ]ruhého duálu V** dané předpisem x h> x, kde
ro x e V, (p e V*.
6. LINE.
rostory lineárních zobrazeni VI
vržení 6.5.4 Nech V je vektorový prostor nad hlesem K. Potom
a)  x h> Šíje injektivní lineární zobrazení
V -+ V**;
b)  pokud je V konečně rozměrný pak x^žje
lineární izomorfismus V ->> V**.
6. LINE.
rostory lineárních zobrazeni VIII
.aždý vektor x g y definuje lineární funkcionál x ia duálním prostoru V*.
konečně rozměrný vektorový priestor V můžeme »Hrazením x h> x přirozeně ztotožnit s duálem rostoru V*.