9. AFINNÍ podprostory a SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN bstrakt přednášky této kapitole se budeme opět věnovat loustavám lineárních rovnic. Dokážeme, že nnnožina řešení každé lineární (homogenní) loustavy tvoří afinní (lineární) podprostor /hodného sloupcového prostoru Kn a obráceně, caždý takový afinní (lineární) podprostor lze opsat jakožto množinu řešení vhodné lineární homogenní) soustavy. / celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n sou přirozená čísla. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN bsah přednášky Afinní podprostory a SLR 9.1 Pod prosto r řešení ......... 9.2 Frobeniova věta .......... 9.3 Parametrické a všeobecné rovnice 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN odprostor řešení I Afinní podprostory a soustavy lineárních rovnic i Podprostor řešení homogenní soustavy a jeho báze lechť A e Kmxn, b e Km. Uvažujme homogenní oustavu lineárních rovnic s maticí A 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN odprostor řešení II ále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A pravou stranou b nožiny jejich řešení označíme sp. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN odprostor řešení III ředpisem y obražení

• Km, přičemž 71(A) = Ker<^ '. toho okamžitě vyplývá "vržení 9.1.1 Pro libovolnou matici A e Kmxn nnožina 11(A) řešení homogenní soustavy \. • x = 0 tvoří lineární podprostor vektorového wostoru Kn. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN odprostor řešení IV každou bázi prostoru 71(A) nazýváme undamentálním systémem řešení soustavy 'otom každé řešení příslušné homogenní soustavy můžeme jednoznačně vyjádřit jako ineární kombinaci vektorů z fundamentálního ystému řešení, a naopak, každá lineární ;ombinace vektorů fundamentálního systému je ;ešením příslušné soustavy. rundamentální systém řešení najdeme "'" '■■jícím postupem: 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN odprostor řešení V Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný rtupňovitý tvar B e Kmxn. Množinu {1,..., n} rozdělíme na dvě podmnožiny J a «/', podle toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází vedoucí prvek nějakého jejího řádku. )značme k počet prvků množiny J' a zapišme ji 'e tvaru J' = {ji e žádný vedoucí prvek nějakého řádku matice B | c) nenachází v posledním, t. j. n + 1-ním loupci. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! robeniova veta IV ostupem popsaným v paragrafu 9.1. lech J, J' a k mají dříve uvedený význam, edno řešení z = (zi,..., zn)T nehomogenní loustavy dostaneme volbou parametrů ^ = ... = Zjk = 0 pro ji e J'. Zbývající hodnoty ■j potom vypočítáme tak, aby z vyhovovalo »odmínce B • z = c, t. j. Zj = Cj pre j e J. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN: robeniova veta V 'říklad 9.2.2 Předpokládejme, že jsme matici A | b) pomocí ERO už upravili na redukovaný 'tupňovitý tvar 10 0 3 1/4 0 10 4 2 0 0 0 0 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! robeniova veta VI Jedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích , 2 a 3. edy neznámé x±, x5 a xQ si zvolíme za »arametry a neznámé xi, x2a x% si vyjádříme omočí nich. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! robeniova veta VII otom vektory ví, v2, v3 tvoří bázi podprostoru ešení 71(A) = 11(B) c IR6 příslušní homogenní oustavy. onečně volbou parametrů x4 = x5 = xQ = 0 ehomogenní soustavy. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! robeniova veta VIII ýsledek můžeme zapsat do tabulky 11 iíj arametrické a všeobecné rovnice I .3 Parametrické a všeobecné rovnice afinních podprostorů aždý afinní podprostor M c Kn má tvar f, . . . , U^j 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN: arametrické a všeobecné rovnice I b znamená, že pro libovolné xgF platí x g M »rávě tehdy, když existuje t = (či,..., tk)T G Kk ak, že x = p + ex. • t, ;de jsme uspořádanou Mici a, jako obyčejně totožnili s maticí (uíj) g Knxk se sloupci 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN: arametrické a všeobecné rovnice II ovnost x = p + a • t je maticovým zápisem arametrických rovnic afinního podprostoru \f C Kn. lektor t g Kn nazýváme vektorem parametrů a eho složky ti,... ,tk e K parametry. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice IV o rozepsaní do složek Ulkt k U2ktk ostaneme obvyklejší tvar, se kterým jsme sa v imenzi n = 2 resp. n = 3 už potkali středoškolské analytické geometrii. 11 iíj arametrické a všeobecné rovnice V sou-li navíc vektory m,..., uk lineárně lezávislé, což můžeme vždy dosáhnout ynecháním „nadbytečných vektorů", pak »arametrické rovnice podprostoru M nám přímo ■káží jeho dimenzi: dimM = k. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice V !ápis afinního podprostoru M c Kn ve tvaru í = p + [a], kde p g M a a je nejaká ispořádaná &-tice, která generuje jeho zaměření )irM (můžeme si dovolit předpokládat, že cn je lokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým vyjádřením. arametrické vviádření M = d + \o\ afinního arametrické vyjádření M = p + [a] afinního odprostoru můžeme přímo přepsat do jeho arametrických rovnic x = p + a. ■ t, (t g Kk). Jaopak, z jeho parametrických rovnic můžeme "iV získat jeho parametrické vyjádření. ttSIIIMť 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LINEA arametrické a všeobecné rovnice VII aždá soustava lineárních rovnic A • x = ; rozšířenou maticí (A | b) e i^mx(n+1) (pokud má ešení), popisuje afinní podprostor Z(A I b) C Kn. yřešit soustavu lineárních rovnic A • x = 1 namená vlastne najít nějaké pěkné arametrické rovnice afinního podprostoru >ÍAIb). 11 iíj arametrické a všeobecné rovnice VII 5chť tedy M = p + [a] je afinní podprostor v n, daný bodom p e Kn a uspořádanou ft-ticí = (ui,..., Ufc) vektorů z iT\ kterou ztotožníme naticí a = (nu) G Knxk se sloupci u7. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN: arametrické a všeobecné rovnice I arametrické rovnice x = p + a • t podprostoru f, kde x = (#!,..., xn)T g Kn je vektor G Kfc je vektor arametrů, můžeme přepsat do tvaru terý lze reprezentovat pomocí blokové matice In alp). 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN arametrické a všeobecné rovnice Jase metoda bude založená na eliminaci tarametrů í1?... ,tk úpravou této matice pomocí RO. /latici (In | a | p) budeme upravovat na řádkově ikvivalentní matici tak, aby prostřední blok vo ýsledné matici byl ve stupňovitém tvaru. Mohou ak nastat dvě možnosti 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice X všechny řádky prostředního bloku výsledné matice jsou nenulové. V tomto případě M = V a všeobecné rovnice tohoto podprostoru tvoří prázdná soustava (t.j. soustava, která neobsahuje žádnou rovnici). 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice XII 2) h{a) < n. Pak můžeme prostřední blok I výsledné matice rozdělit do dvou pod sebou umístěných bloků [C), kde horní blok D je stupňovitá matice typu h(a) x k, která má všechny řádky nenulové, tedy dolní nulový blok má rozměr (n - h(a)) x k. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice XII ibto rozdělení prostředního bloku indukuje rozdělení celé výsledné matice do bloků A' lpi ľ^_ "X] röl Mb" afinního podprostoru M, t.j. platí M = p + [a] = 7£(A|b). 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LI] arametrické a všeobecné rovnice Xľ\ Popsaný algoritmus můžeme stručně shrnout do následujícího schématu OL p ERO A'\ lpi L^- XH röl \b~ kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky (jejichž počet je tedy nutně h(D) = h(a)). WKtSi arametrické a všeobecné rovnice XV A;-tice a můžeme vybrat bázi zaměření irM = [a]: je tvořená vektory KÁ. n -i « . . . « KÁ. n kde natice D, ve kterých se nacházejí vedoucí prvky I \r r li o ejich radku. 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LIN! arametrické a všeobecné rovnice XV vržení 9.3.1 NechťB e Knxm, C e Knxk, p e Kn. Pokud bloková matice (B | C | p) je řádkově ekvivalentní s blokovou matici A' D ľ^_ A\ röl Mb" kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky, tak 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LI]