3. SOUSTAVY LINEÁ RNÍCH
ROVNIC
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.1/57

Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se seznámíme se soustavami
lineárních rovnic nad obecným tělesem K a
naučíme se je řešit.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.2/57

Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se seznámíme se soustavami
lineárních rovnic nad obecným tělesem K a
naučíme se je řešit.
Využijeme při tom zápis soustavy pomocí jisté
matice. Strukturní vlastnosti množiny všech
řešení dané soustavy a jejich důsledky budeme
studovat až později, poté, co se blíže seznámíme
se strukturou vektorových prostorů.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.2/57

Obsah přednášky
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
Redukovaný stupňovitý tvar matice
Elementární řádkové a sloupcové operace
Gaussova eliminační metoda
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.3/57

Maticový zápis I
3 SOUSTAVY LINEÁ RNÍCH
ROVNIC
Maticový zápis soustavy lineárních
rovnic
Základní pojem tohoto odstavce je pojem
lineární rovnice.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.4/57

Maticový zápis II
Lineární rovnicí o n neznámych x1, . . . , xn nad
číselným tělesem K rozumíme formuli tvaru
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b,
kde a1, a2, . . . , an, b  K, v proměnných
x1, x2, . . . , xn.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.5/57

Maticový zápis III
Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých
x1, x2, . . . , xn nad číselným tělesem K rozumíme
konjunkci formulí tvaru
a11x1 + a21x2 + . . . + a1nxn = b1
... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
kde aij, bi, 1  i  m, 1  j  n, jsou skaláry z K.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.6/57

Maticový zápis IV
Matici A = (aij)  Km×n
nazýváme maticí
soustavy, sloupcový vektor
b = (b1, . . . , bm)T
 Km
nazýváme její pravou
stranou.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.7/57

Maticový zápis IV
Matici A = (aij)  Km×n
nazýváme maticí
soustavy, sloupcový vektor
b = (b1, . . . , bm)T
 Km
nazýváme její pravou
stranou.
Rozšířenou maticí soustavy nazýváme
blokovou matici (A | b)  Km×(n+1)
.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.7/57

Maticový zápis IV
Matici A = (aij)  Km×n
nazýváme maticí
soustavy, sloupcový vektor
b = (b1, . . . , bm)T
 Km
nazýváme její pravou
stranou.
Rozšířenou maticí soustavy nazýváme
blokovou matici (A | b)  Km×(n+1)
.
Soustava sa nazývá homogenní, je-li b = 0;
v opačném případě sa nazývá nehomogenní.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.7/57

Maticový zápis V
Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně
zapsat v maticovém tvaru
A  x = b,
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.8/57

Maticový zápis V
Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně
zapsat v maticovém tvaru
A  x = b,
resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru
A  x = 0.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.8/57

Maticový zápis V
Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně
zapsat v maticovém tvaru
A  x = b,
resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru
A  x = 0.
Ř ešením soustavy A  x = b nazýváme takový
vektor x = (x1, x2, . . . , xn)T
 Kn
, jehož složky
vyhovují každé z rovnic této soustavy, t. j. platí
A  x = b.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.8/57

Maticový zápis VI
Vyřešit soustavu znamená najít všechna její
řešení, t. j. popsat množinu všech jejích řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.9/57

Maticový zápis VI
Vyřešit soustavu znamená najít všechna její
řešení, t. j. popsat množinu všech jejích řešení.
Dvě soustavy A  x = b a B  x = c, kde
A, B  Km×n
, b, c  Km×1
, se nazývají
ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu
řešení, t. j. pokud pro všechna x  Kn
platí
A  x = b právě tehdy, když B  x = c.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.9/57

Poznámka I
(a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme
vždy sloupcový vektor x a ne jeho složky.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.10/57

Poznámka I
(a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme
vždy sloupcový vektor x a ne jeho složky.
Tak například soustava
2x + 3y = 12
3x - 2y = 5
nad tělesem R má jediné řešení
x
y
= 3
2
a
nikoliv dvě řešení x = 3, y = 2.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.10/57

Poznámka II
Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení
x = 3, y = 2.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.11/57

Poznámka II
Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení
x = 3, y = 2.
(b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a po-
čet neznámých se nemusí rovnat. V obvyklém pří-
padě, když rovnic je stejný počet jako neznámých,
očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.11/57

Poznámka II
Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení
x = 3, y = 2.
(b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a po-
čet neznámých se nemusí rovnat. V obvyklém pří-
padě, když rovnic je stejný počet jako neznámých,
očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení.
Pokud je rovnic méně než neznámých, lze oče-
kávat, že soustava bude mít vícero (případně i
nekonečně mnoho) řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.11/57

Poznámka III
Naopak, pokud je rovnic více než neznámých,
může se stát, že soustava nebude mít žádné
řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní vyjadřují
,,převládající trend", lehce lze najít příklady, kdy
se nemusí splnit.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.12/57

Poznámka III
Naopak, pokud je rovnic více než neznámých,
může se stát, že soustava nebude mít žádné
řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní vyjadřují
,,převládající trend", lehce lze najít příklady, kdy
se nemusí splnit.
Poznamenejme, že homogenní soustava
A  x = 0 má (bez ohledu na počet neznámých a
počet rovnic) vždy alespoň jedno řešení ­ je jím
nulový vektor x = 0.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.12/57

Poznámka IV
Není důležité, jakými znaky jsou označené
neznámé v soustavě A  x = b.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.13/57

Poznámka IV
Není důležité, jakými znaky jsou označené
neznámé v soustavě A  x = b.
Na její řešení nemá vliv, zda si vektor
neznámých označíme x = (x1, . . . , xn)T
nebo
y = (y1, . . . , yn)T
nebo nějak jinak.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.13/57

Poznámka IV
Není důležité, jakými znaky jsou označené
neznámé v soustavě A  x = b.
Na její řešení nemá vliv, zda si vektor
neznámých označíme x = (x1, . . . , xn)T
nebo
y = (y1, . . . , yn)T
nebo nějak jinak.
To znamená, že celá informace o této soustavě,
potřebná pro nalezení všech jejich řešení, je
obsažená v rozšířené matici soustavy (A | b),
resp., pokud půjde o homogenní soustavu, jen
v matici soustavy A.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.13/57

Poznámka V
Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic,
se kterou se nyní seznámíme, bude založená jen
na úpravě této matice.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.14/57

Poznámka V
Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic,
se kterou se nyní seznámíme, bude založená jen
na úpravě této matice.
Rozšířenou matici (A | b) soustavy A  x = b
budeme upravovat tak, abychom dostali nějakou
jinou matici (B |c), která odpovídá nové soustavě
B  x = c, přičemž tato splňuje nasledující dvě
podmínky:
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.14/57

Poznámka VI
(a) Soustava B  x = c je ekvivalentní s původní
soustavou A  x = b, t. j. má stejnou množinu
řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.15/57

Poznámka VI
(a) Soustava B  x = c je ekvivalentní s původní
soustavou A  x = b, t. j. má stejnou množinu
řešení.
(b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst
z její rozšířené matice (B | c).
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.15/57

Poznámka VI
(a) Soustava B  x = c je ekvivalentní s původní
soustavou A  x = b, t. j. má stejnou množinu
řešení.
(b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst
z její rozšířené matice (B | c).
Pak říkáme, že soustava B  x = c je vyřešená.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.15/57

Redukovaný tvar I
Redukovaný stupňovitý tvar matice
Ř íkáme, že prvek aij matice A  Km×n
je
vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud
aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny
1  l < j.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.16/57

Redukovaný tvar I
Redukovaný stupňovitý tvar matice
Ř íkáme, že prvek aij matice A  Km×n
je
vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud
aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny
1  l < j.
Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je
první nenulový prvek tohoto řádku.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.16/57

Redukovaný tvar I
Redukovaný stupňovitý tvar matice
Ř íkáme, že prvek aij matice A  Km×n
je
vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud
aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny
1  l < j.
Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je
první nenulový prvek tohoto řádku. Nulový řádek
nemá vedoucí prvek.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.16/57

Redukovaný tvar II
Ř ekneme, že matice A = (aij)  Km×n
je
v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud
splňuje nasledující čtyři podmínky:
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.17/57

Redukovaný tvar II
Ř ekneme, že matice A = (aij)  Km×n
je
v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud
splňuje nasledující čtyři podmínky:
(a) Je-li ri(A) = 0 a rk(A) = 0, pak i < k;
t. j. každý nenulový řádek matice A leží
nad každým jejím nulovým řádkem.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.17/57

Redukovaný tvar II
Ř ekneme, že matice A = (aij)  Km×n
je
v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud
splňuje nasledující čtyři podmínky:
(a) Je-li ri(A) = 0 a rk(A) = 0, pak i < k;
t. j. každý nenulový řádek matice A leží
nad každým jejím nulovým řádkem.
(b) Jsou-li aij, akl vedoucí prvky i-tého resp.
k-tého řádku a i < k, pak platí j < l; t. j.
vedoucí prvek vyššího řádku leží více
vlevo než vedoucí prvek nižšího řádku.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.17/57

Redukovaný tvar III
(c) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, pak
aij = 1; t. j. vedoucí prvek každého
nenulového řádku je 1.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.18/57

Redukovaný tvar III
(c) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, pak
aij = 1; t. j. vedoucí prvek každého
nenulového řádku je 1.
(d) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, tak
akj = 0 pro každé k = i; t. j. v sloupci, v
kterém sa nachází vedoucí prvek
nějakého řádku, jsou všechny ostatní
prvky rovné 0.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.18/57

Redukovaný tvar IV
Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b),
říkáme, že je v stupňovitém tvaru.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.19/57

Redukovaný tvar IV
Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b),
říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Používá se
též název (redukovaný) schodovitý tvar.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.19/57

Redukovaný tvar IV
Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b),
říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Používá se
též název (redukovaný) schodovitý tvar.
Následující matice nejsou ve stupňovitém tvaru



0 2 1
1 0 0
0 0 0








0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1





3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.19/57

Redukovaný tvar V
Matice jsou ve stupňovitém tvaru, ale nejsou v
redukovaném stupňovitém tvaru.



2 3 0 1
0 0 1 4
0 0 0 0








1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1





3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.20/57

Redukovaný tvar VI
Matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru.



0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0





3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.21/57

Redukovaný tvar VII
Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném
stupňovitém tvaru.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.22/57

Redukovaný tvar VII
Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném
stupňovitém tvaru.
Příklad
(B | c) =



1 0 -2 0 0 3
0 1 6 0 0 0
0 0 0 1 0 1



je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad
R.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.22/57

Redukovaný tvar VIII
Tato matice odpovídá soustavě
x1 - 2x3 = 3
x2 + 6x3 = 0
x4 = 1
v neznámých x1, x2, x3, x4, x5.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.23/57

Redukovaný tvar VIII
Tato matice odpovídá soustavě
x1 - 2x3 = 3
x2 + 6x3 = 0
x4 = 1
v neznámých x1, x2, x3, x4, x5.
Tato soustava má nekonečně mnoho řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.23/57

Redukovaný tvar IX
Každé volbě parametrů s, t  R zodpovídá jedno
řešení
x1 = 3 + 2s
x2 = - 6s
x3 = s
x4 = 1
x5 = t.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.24/57

Redukovaný tvar X
Přeznačení neznámých za parametry x3 = s,
x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik
bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou
k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.25/57

Redukovaný tvar X
Přeznačení neznámých za parametry x3 = s,
x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik
bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou
k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou.
Ř ešení lze napsat přímo na základě matice
(B | c).
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.25/57

Redukovaný tvar X
Přeznačení neznámých za parametry x3 = s,
x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik
bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou
k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou.
Ř ešení lze napsat přímo na základě matice
(B | c).
Soustavu lineárních rovnic B  x = c nad tělesem
K budeme nazývat vyřešenou soustavou,
pokud její rozšířená matice (B | c) je
v redukovaném stupňovitém tvaru.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.25/57

Redukovaný tvar XI
V případě homogenní soustavy se stačí omezit
pouze na matici B.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.26/57

Redukovaný tvar XI
V případě homogenní soustavy se stačí omezit
pouze na matici B.
Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové
matici (B | c) v redukovaném stupňovitém tvaru
najít všechna řešení soustavy B  x = c.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.26/57

Redukovaný tvar XI
V případě homogenní soustavy se stačí omezit
pouze na matici B.
Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové
matici (B | c) v redukovaném stupňovitém tvaru
najít všechna řešení soustavy B  x = c.
Nejprve si ujasníme, kdy je takováto soustava
řešitelná, t. j. má alespoň jedno řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.26/57

Redukovaný tvar XII
Soustava B  x = c má řešení právě tehdy, když
se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru
(0, . . . , 0
n
-krát
| 1).
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.27/57

Redukovaný tvar XII
Soustava B  x = c má řešení právě tehdy, když
se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru
(0, . . . , 0
n
-krát
| 1).
Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která
očividně nemá řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.27/57

Redukovaný tvar XII
Soustava B  x = c má řešení právě tehdy, když
se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru
(0, . . . , 0
n
-krát
| 1).
Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která
očividně nemá řešení.
To, že nepřítomnost takovéhoto řádku je i
postačující podmínkou řešitelnosti soustavy,
vyplýva z následujícího postupu, jak toto řešení
najít.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.27/57

Redukovaný tvar XIII
Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází
vedoucí prvek žádného řádku, tak si neznámou
xj zvolíme za parametr.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.28/57

Redukovaný tvar XIII
Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází
vedoucí prvek žádného řádku, tak si neznámou
xj zvolíme za parametr.
Pokud se v j-tém sloupci nachází vedoucí prvek
nějakého řádku, tak si vyjádříme neznámou xj
pomocí parametrů tak, že sloupce matice B
příslušné těmto parametrům ,,přehodíme
s opačným znaménkem na druhou stranu".
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.28/57

Redukovaný tvar XIV
Příklad.
(B | c) =



1 0 0 2/3 -1/2
0 1 0 3/4 0
0 0 1 -4 -2/5
5
2
-2



je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad
R.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.29/57

Redukovaný tvar XIV
Příklad.
(B | c) =



1 0 0 2/3 -1/2
0 1 0 3/4 0
0 0 1 -4 -2/5
5
2
-2



je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad
R.
Vidíme, že se v ní nenachází řádek tvaru
(0, 0, 0, 0 | 1), tedy soustava B  x = c by měla mít
řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.29/57

Redukovaný tvar XV
Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají
ve sloupcích 1, 2 a 3. Za parametry si tedy
zvolíme neznámé x4 a x5.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.30/57

Redukovaný tvar XV
Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají
ve sloupcích 1, 2 a 3. Za parametry si tedy
zvolíme neznámé x4 a x5. Ř ešením soustavy je
každý vektor (x1, x2, x3, x4, x5)T
 R tvaru
x1 = 5-2
3s+1
2t
x2 = 2-3
4s
x3 = -2+4s+2
5t
x4 = s
x5 = t,
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.30/57

Redukovaný tvar XVI
Parametry s, t  R mohou nabývat libovolné hod-
noty. Zlomků u parametrů se můžeme zbavit.
Je jedno, zda si parametrické proměnné zvolíme
ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s,
x5 = 10t, kde s, t  R.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.31/57

Redukovaný tvar XVI
Parametry s, t  R mohou nabývat libovolné hod-
noty. Zlomků u parametrů se můžeme zbavit.
Je jedno, zda si parametrické proměnné zvolíme
ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s,
x5 = 10t, kde s, t  R.
x1 = 5- 8s +5t
x2 = 2 -9s
x3 = -2+36s+ 4t
x4 = 12s
x5 = 10t
Při takovéto volbě
parametrů dostaneme
všechna řešení soustavy
ve tvaru bez zlomků.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.31/57

ERO a ESO I
Elementární řádkové a sloupcové
operace
Elementární řádkovou operací (transformací),
zkráceně ERO, na matici A  Km×n
rozumíme
I. Výměnu dvou řádků matice A;
II. Vynásobení některého řádku matice A
nenulovým skalárem z číselného tělesa K;
III. Přičtení skalárního násobku některého
řádku matice A k jejímu jinému řádku.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.32/57

ERO a ESO II
Matice A, B  Km×n
sa nazývají řádkově
ekvivalentní, označení A  B, pokud jednu
z nich můžeme upravit na druhou konečným
počtem elementárních řádkových operací.
Analogické pojmy ­ elementární sloupcové
operace (ESO) a sloupcová ekvivalence
matic, označení A  B.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.33/57

ERO a ESO III
Výměnou i-tého a k-tého řádku v matici
A =













r1(A)
...
ri(A)
...
rk(A)
...
rm(A)













dostaneme matici













r1(A)
...
rk(A)
...
ri(A)
...
rm(A)













.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.34/57

ERO a ESO IV
Vynásobením i-tého řádku matice A skalárem
c = 0 dostaneme matici













r1(A)
...
cri(A)
...
rk(A)
...
rm(A)













. Vynásobením i-tého řádku této
matice skalárem c-1
= 0 zís-
káme opět matici A.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.35/57

ERO a ESO V
Přičtením c-násobku i-tého řádku matice A
k jejímu k-tému řádku z ní dostaneme matici













r1(A)
...
ri(A)
...
rk(A) + cri(A)
...
rm(A)













.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.36/57

ERO a ESO VI
Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě
zůstává nezměněný. Matici A z této matice
získáme přičtením (-c)-násobku jejího i-tého
řádku k jejímu k-tému řádku.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.37/57

ERO a ESO VI
Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě
zůstává nezměněný. Matici A z této matice
získáme přičtením (-c)-násobku jejího i-tého
řádku k jejímu k-tému řádku.
Poznamenejme, že, v případě výměny opětovnou
výměnou i-tého a k-tého řádku v matici vzniklé vý-
měnou i-tého a k-tého řádku, získame zase matici
A.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.37/57

ERO a ESO VII
Je-li A  x = b soustava s rozšířenou maticí
(A | b) a bloková matica (A
| b
) vznikne z (A | b)
provedením jedné (nezáleží které) ERO, pak
soustava A
 x = b
je ekvivalentní s původní
soustavou A  x = b.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.38/57

ERO a ESO VIII
Elementární řádkové operace na matici (A | b)
totiž odpovídají
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.39/57

ERO a ESO VIII
Elementární řádkové operace na matici (A | b)
totiž odpovídají
postupné záměně pořadí dvou rovnic
soustavy,
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.39/57

ERO a ESO VIII
Elementární řádkové operace na matici (A | b)
totiž odpovídají
postupné záměně pořadí dvou rovnic
soustavy,
vynásobení některé rovnice nenulovým
skalárem
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.39/57

ERO a ESO VIII
Elementární řádkové operace na matici (A | b)
totiž odpovídají
postupné záměně pořadí dvou rovnic
soustavy,
vynásobení některé rovnice nenulovým
skalárem
přičtení nějakého násobku jedné rovnice
k jiné rovnici.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.39/57

ERO a ESO IX
Přesněji nahrazením dvojice rovnic
ri(A)  x = bi, rk(A)  x = bk
dvojicí rovnic
ri(A)x = bi, (rk(A)+cri(A))x = bk +cbi.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.40/57

ERO a ESO X
Je-li A  x = b soustava s rozšířenou maticí
(A | b) a (A
| b
) rozšířená matice nové
ekvivalentní soustavy A
 x = b
, můžeme se od
nové soustavy vhodnou ERO provedenou na její
rozšířené matici opět vrátit k původní soustavě
A  x = b.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.41/57

ERO a ESO XI
Tvrzení 1. Necht' K je těleso, A  Km×n
,
B  Km×n
, b, c  Km
. Jsou-li blokové matice
(A | b), (B | c) řádkově ekvivalentní, pak jsou i
soustavy lineárních rovnic A  x = b,
B  x = c ekvivalentní.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.42/57

ERO a ESO XII
Věta 2. Každá matice nad číselným tělesem K
je řádkově ekvivalentní s nějakou (právě jednou)
maticí v redukovaném stupňovitém tvaru.
Poznámka. Uvedený redukovaný stupňovitý
tvar dané matice je jednoznačně určený.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.43/57

ERO a ESO XIII
Příklad Je daná soustava
2x1 +3x2 - x4 = 1
3x1 +2x2 +4x3 -2x4 = 0
x1 - x2 +4x3 - x4 = 2
třech rovnic o čtyřech neznámých nad tělesem R.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.44/57

ERO a ESO XIV
Její rozšířená matice je



2 3 0 -1
3 2 4 -2
1 -1 4 -1
1
0
2


 .
Při její úpravě na redukovaný stupňovitý tvar
budeme vynechávat některé mezikroky a
zaznamenáme jen některé výsledky vícero
provedených ERO.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.45/57

ERO a ESO XV
Poslední řádek matice dáme na první místo,
potom jeho (-2)-násobek přičteme k původnímu
prvnímu řádku, který posuneme na druhé místo,
a (-3)-násobek původního posledního řádku
přičteme k původnímu druhému řádku, který
posuneme na třetí místo. Dostaneme tak matici



1 -1 4 -1
0 5 -8 1
0 5 -8 1
2
-3
-6


 .
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.46/57

ERO a ESO XVI
Přičtením (-1)-násobku druhého řádku k třetímu
řádku dostaneme matici



1 -1 4 -1
0 5 -8 1
0 0 0 0
2
-3
-3


 .
Z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající
poslední matici nemá řešení ­ obsahuje totiž rov-
nici 0 = -3. Tedy ani původní soustava nemá
řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.47/57

ERO a ESO XVII
Dokončíme úpravu na redukovaný stupňovitý
tvar, který dostaneme vynásobením třetího řádku
skalárem -1/3, přičtením (-2)-násobku resp.
3-násobku tohoto nového řádku k prvnímu resp.
druhému řádku a, konečně, vynásobením
druhého řádku skalárem 1/5:



1 0 12/5 6/5
0 1 -8/5 1/5
0 0 0 0
0
0
1


 .
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.48/57

ERO a ESO XVIII
Tvrzení 3. Necht' A  Km×n
, b  Km
a
m < n, t. j. soustavy A  x = 0, A  x = b
obsahují méně rovnic než neznámých. Potom
(a) homogenní soustava A  x = 0 má s
řešením x0 = 0 alespoň jedno řešení
x = 0;
(b) pokud existuje alespoň jedno řešení
soustavy A  x = b, pak má tato soustava
více než jedno řešení.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.49/57

Gaussova EM I
Gaussova eliminační metoda
Dále uvedeme tzv. Gaussovu eliminační
metodu řešení soustav lineárních rovnic.
Rozšířenou matici soustavy upravíme jen na
stupňovitý (tedy ne nutně redukovaný
stupňovitý) tvar.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.50/57

Gaussova EM II
Z tohoto tvaru můžeme snadno určit, zda má
soustava nějaké řešení (příslušná matice nesmí
obsahovat řádek tvaru (0, . . . , 0 | d), kde
0 = d  K). V tomto případě můžeme všechna
řešení soustavy získat volbou parametrů (opět si
za ně volíme neznámé xj takové, že v j-tém
sloupci se nevyskytuje vedoucí prvek žádného
řádku) a zpětným dosazováním, t. j. eliminací
neznámých pomocí parametrů.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.51/57

Gaussova EM III
Příklad
Předpokládejme, že rozšířenou matici nějaké
soustavy nad R jsme si pomocí ERO upravili na
stupňovitý tvar



0 2 3 0 -1 4
0 0 0 -2 5 4
0 0 0 0 3 1
1
0
4


 .
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.52/57

Gaussova EM IV
Tato matice odpovídá soustavě
2x2 +3x3 - x5 +4x6 = 1
-2x4 +5x5 +4x6 = 0
3x5 + x6 = 4.
Za parametry si zvolíme proměnné x1, x3 a x6.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.53/57

Gaussova EM V
Zpětným dosazováním postupně dostaneme
všechna řešení v parametrickém tvaru
x6 = t
x5 = 1
3(4 - x6) = 4
3 - 1
3t
x4 = 1
2(5x5 + 4x6) = 10
3 - 7
6t
x3 = s
x2 = 1
2(1 - 3x3 + x5 - 4x6) = 7
6 - 3
2s - 13
6 t
x1 = r,
kde r, s, t  R.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.54/57

Gaussova EM VI
Případně, po trochu ,,vhodnější" volbě parametrů,
bude řešení v tvaru
x6 = 6t,
x5 = 4
3 - 2t,
x4 = 10
3 - 7t,
x3 = 2s,
x2 = 7
6 - 3s + 13t,
x1 = r.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.55/57

Gaussova EM VII
Zpětné dosazování můžeme nahradit další
úpravou rozšířené matice soustavy pomocí ERO
na redukovaný stupňovitý tvar.
Stačí totiž vynásobit nenulové řádky
převrácenými hodnotami jejich vedoucích prvků
a přičtením vhodných násobků těchto řádků
vynulovat zbývající nenulové prvky ve sloupcích
obsahujících vedoucí prvky jednotlivých řádků.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.56/57

Gaussova EM VIII
Gaussova eliminační metoda je užitečná
zejména tehdy, pokud nám nejde ani tak
o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou
otázku řešitelnosti soustavy, případně o počet
parametrů, které se v nich vyskytují.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.57/57

Gaussova EM VIII
Gaussova eliminační metoda je užitečná
zejména tehdy, pokud nám nejde ani tak
o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou
otázku řešitelnosti soustavy, případně o počet
parametrů, které se v nich vyskytují.
Toto vše je možné zjistit už na základě nějaké
matice ve stupňovitém tvaru, která je řádkově
ekvivalentní s původní rozšířenou maticí
soustavy. V tomto případě si tedy můžeme
odpustit další úpravu na redukovaný stupňovitý
tvar i zpětné dosazování.
3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC ­ p.57/57