1. VEKTOROVÉ PROSTORY
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.1/57

Abstrakt
V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou
hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a
dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení.
Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.2/57

Abstrakt
V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou
hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a
dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení.
Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru.
Prvky tělesa budeme nazývat skaláry a prvky
vektorového prostoru vektory.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.2/57

Obsah přednášky I
Ú vod
Základní číselné obory Q, R a C ; pojem
tělesa.
Tělesa Zp
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.3/57

Obsah přednášky I
Ú vod
Základní číselné obory Q, R a C ; pojem
tělesa.
Tělesa Zp
Geometrická interpretace vektorů v rovině
a v třírozměrném prostoru
Geometrická interpretace vektorů v R2
a
R3
, rovnoběžníkové pravidlo
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.3/57

Obsah přednášky II
Vektorové prostory
Příklady vektorových prostorů (řádkově a
sloupcově uspořádané n-tice skalárů,
polynomy, rozšírení těles, funkce z množiny
do tělesa a vektorového prostoru)
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.4/57

Číselné obory I
1 VEKTOROVÉ PROSTORY
1.1 Základní číselné obory
N ­ množina všech přirozených čísel,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.5/57

Číselné obory I
1 VEKTOROVÉ PROSTORY
1.1 Základní číselné obory
N ­ množina všech přirozených čísel,
Z ­ množina všech celých čísel,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.5/57

Číselné obory I
1 VEKTOROVÉ PROSTORY
1.1 Základní číselné obory
N ­ množina všech přirozených čísel,
Z ­ množina všech celých čísel,
Q ­ množina všech racionálních čísel,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.5/57

Číselné obory I
1 VEKTOROVÉ PROSTORY
1.1 Základní číselné obory
N ­ množina všech přirozených čísel,
Z ­ množina všech celých čísel,
Q ­ množina všech racionálních čísel,
R ­ množina všech reálnych čísel,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.5/57

Číselné obory I
1 VEKTOROVÉ PROSTORY
1.1 Základní číselné obory
N ­ množina všech přirozených čísel,
Z ­ množina všech celých čísel,
Q ­ množina všech racionálních čísel,
R ­ množina všech reálnych čísel,
C ­ množina všech komplexních čísel.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.5/57

Číselné obory II
Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0  N.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.6/57

Číselné obory II
Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0  N.
Imaginární jednotku (která je prvkem C - R)
budeme značit i.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.6/57

Číselné obory II
Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0  N.
Imaginární jednotku (která je prvkem C - R)
budeme značit i.
Prvky výše uvedených číselných oborů Q, R, C na-
zýváme často skaláry. V tomto případě pak bu-
deme mluvit o číselném tělese.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.6/57

Struktura číselných oborů I
Na každé z těchto množin jsou definované dvě
binární operace, sčítaní + a násobení  .
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.7/57

Struktura číselných oborů I
Na každé z těchto množin jsou definované dvě
binární operace, sčítaní + a násobení  .
Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.7/57

Struktura číselných oborů I
Na každé z těchto množin jsou definované dvě
binární operace, sčítaní + a násobení  .
Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní.
Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem
ke sčítání, t. j. pro všechny prvky x, y, z příslušné
množiny platí
x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.7/57

Struktura číselných oborů II
Č íselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a
C ,,chudší" ­ totiž rovnice tvaru x + a = b mají
v oborech Z, Q, R, C řešení x = b - a pre
libovolné a, b, ale v N je takováto rovnice
řešitelná, pokud a  b.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.8/57

Struktura číselných oborů II
Č íselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a
C ,,chudší" ­ totiž rovnice tvaru x + a = b mají
v oborech Z, Q, R, C řešení x = b - a pre
libovolné a, b, ale v N je takováto rovnice
řešitelná, pokud a  b.
Obory Q, R a C jsou však ,,bohatší" nejen
v porovnání s N, ale i s Z ­ rovnice tvaru ax = b
mají v oborech Q, R, C řešení pro libovolné a = 0
a b, přičemž v N či Z jsou řešitelné, pouze pokud
a je dělitelem b.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.8/57

Axiomy tělesa I
1.2 Tělesa
Tělesem nazýváme množinu K s dvěmi
význačnými prvky ­ nulou 0 a jedničkou 1 ­ a
dvěmi binárními operacemi na K ­ sčítáním + a
násobením  ­ takovými, že platí
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.9/57

Axiomy tělesa II
(a, b  K)(a + b = b + a),(a, b  K)(a  b = b  a),
(a, b, c  K)(a + (b + c) = (a + b) + c),
(a, b, c  K)(a  (b  c) = (a  b)  c),
(a  K)(a + 0 = a), (a  K)(1  a = a),
(a  K)( b  K)(a + b = 0),
(a  K {0})( b  K)(a  b = 1),
(a, b, c  K)(a  (b + c) = (a  b) + (a  c)), 0 = 1.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.10/57

Axiomy tělesa III
Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a
asociativní operace a násobení je distributivní
vzhledem ke sčítání.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.11/57

Axiomy tělesa III
Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a
asociativní operace a násobení je distributivní
vzhledem ke sčítání.
0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek
násobení a tyto prvky jsou navzájem různé.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.11/57

Axiomy tělesa III
Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a
asociativní operace a násobení je distributivní
vzhledem ke sčítání.
0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek
násobení a tyto prvky jsou navzájem různé.
Prvek b  K takový, že a + b = 0, je k danému
a  K určený jednoznačně.
Tento jednoznačně určený prvek k danému a
označujeme -a a nazýváme opačný prvek k a.
Místo a + (-b) píšeme jen a - b.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.11/57

Axiomy tělesa IV
Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b  K
takový, že a  b = 1 je k danému 0 = a  K určený
jednoznačně ­ označujeme ho a-1
nebo 1
a,
případně 1/a a nazýváme inverzní prvek k a
alebo převrácená hodnota prvku a.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.12/57

Axiomy tělesa IV
Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b  K
takový, že a  b = 1 je k danému 0 = a  K určený
jednoznačně ­ označujeme ho a-1
nebo 1
a,
případně 1/a a nazýváme inverzní prvek k a
alebo převrácená hodnota prvku a.
Místo a  b-1
píšeme též a
b nebo a/b.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.12/57

Vlastnosti tělesa I
Tvrzení 1.2.0 Bud' K těleso. Potom pro všechna
n  N a a, b, c, b1, . . . , bn  K platí
(a) a + b = a + c  b = c,
(b) (ab = ac & a = 0)  b = c,
(c) a0 = 0,
(d) ab = 0  (a = 0  b = 0),
(e) -a = (-1)a,
(f) a(b - c) = ab - ac,
(g) a(b1 + . . . + bn) = ab1 + . . . + abn.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.13/57

Vlastnosti tělesa II
Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají
zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení
v tělese.
Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné
celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a  K,
n  N klademe (-n)a = -(na) = n(-a).
Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i
libovolné celočíselné mocniny. Pro 0 = a  K,
n  N klademe a-n
= (an
)-1
= (a-1
)n
.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.14/57

Vlastnosti tělesa III
0a = 0, 1a = a, a0
= 1, a1
= a,
n(a + b) = na + nb,
(m + n)a = ma + na,
(mn)a = m(na),
(mn)(ab) = (ma)(nb),
(ab)n
= an
bn
, n < 0  a = 0 = b,
am+n
= am
an
, (m < 0  n < 0)  a = 0,
amn
= (am
)n
, (m < 0  n < 0)  a = 0
a, b  K, m, n  Z.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.15/57

Vlastnosti tělesa IV
Necht' K je těleso a L  K. Ř íkáme, že L je
podtěleso tělesa K, pokud 0, 1  L a pro
všechna a, b  L platí a + b  L, ab  L, -a  L
a, pokud a = 0, tak i a-1
 L.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.16/57

Vlastnosti tělesa IV
Necht' K je těleso a L  K. Ř íkáme, že L je
podtěleso tělesa K, pokud 0, 1  L a pro
všechna a, b  L platí a + b  L, ab  L, -a  L
a, pokud a = 0, tak i a-1
 L.
Podtěleso tělesa K je tedy jeho podmnožina L,
která obsahuje nulu a jedničku a je uzavřená
vzhledem ke sčítání, násobení, opačnému a
inverznímu prvku. Zřejmě každé podtěleso tělesa
K je s těmito operacemi zúženými z K na L i
samo tělesem. Ř íkáme pak, že těleso K je
rozšířením tělesa L.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.16/57

Vlastnosti tělesa V
Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa
C; těleso C je rozšířením těles Q a R.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.17/57

Vlastnosti tělesa V
Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa
C; těleso C je rozšířením těles Q a R.
Charakteristikou tělesa K, píšeme char K,
nazýváme nejmenší kladné celé číslo n takové,
že n1 = 0; pokud takové n neexistuje, t. j. n1 = 0
pro každé celé n > 0, říkáme že K má
charakteristiku  (někteří autoři definují
char K = 0).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.17/57

Vlastnosti tělesa VI
Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa
K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto
char K = char L.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.18/57

Vlastnosti tělesa VI
Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa
K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto
char K = char L.
Zřejmě char Q = char R = char C = .
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.18/57

Vlastnosti tělesa VI
Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa
K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto
char K = char L.
Zřejmě char Q = char R = char C = .
Věta 1.2.1 Necht' K je těleso. Potom char K je
rovna  nebo prvočíslu.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.18/57

Konečná tělesa I
1.3 Tělesa Zp
V tomto odstavci si ukážeme příklady těles,
jejichž charakteristika není .
Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od
nám známých číselných těles.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.19/57

Konečná tělesa I
1.3 Tělesa Zp
V tomto odstavci si ukážeme příklady těles,
jejichž charakteristika není .
Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od
nám známých číselných těles.
Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté
konečné těleso Zp, které má p prvků a
charakteristiku p.
Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou
nekonečná.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.19/57

Konečná tělesa II
Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z
hlediska fyzikálních aplikací, jsou nejdůležitějšími
tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti
sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování
a kryptografii.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.20/57

Konečná tělesa II
Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z
hlediska fyzikálních aplikací, jsou nejdůležitějšími
tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti
sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování
a kryptografii.
Pro každé kladné celé číslo n označme
Zn = {k  N; k < n} = {0, 1, . . . , n - 1}.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.20/57

Konečná tělesa III
Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových
tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě
binární operace ­ sčítání  a násobení (je
nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od
příslušných operací v Z).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.21/57

Konečná tělesa III
Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových
tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě
binární operace ­ sčítání  a násobení (je
nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od
příslušných operací v Z).
Pro a, b  Zn klademe
a  b = zbytek po dělení (a + b)/n,
a b = zbytek po dělení (ab)/n.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.21/57

Konečná tělesa IV
 a jsou asociativní a komutativní operace na
Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je
neutrální prvek násobení.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.22/57

Konečná tělesa IV
 a jsou asociativní a komutativní operace na
Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je
neutrální prvek násobení.
Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a
a = n - a je opačný prvek k a  Zn.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.22/57

Konečná tělesa IV
 a jsou asociativní a komutativní operace na
Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je
neutrální prvek násobení.
Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a
a = n - a je opačný prvek k a  Zn.
Věta 1.3.1 Množina Zn s operacemi  a je
těleso právě tehdy, když n je prvočíslo.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.22/57

Konečná tělesa V
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Multiplikativní tabulky sčítání a násobení v tělese
Z5.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.23/57

Interpretace I
1.4 Geometrická interpretace vektorů v
rovině a v třírozměrném prostoru
Vektory v rovině či v prostoru si představujeme
jako orientované úsečky, t. j. úsečky, jejichž jeden
krajní bod považujeme za počáteční a druhý za
koncový ­ ten je označený obvykle šipkou.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.24/57

Interpretace II
x
y
 
 
  
(x,y)
Vektor v rovině
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.25/57

Interpretace II
x
y
 
 
  
(x,y)
Vektor v rovině
Přitom dvě stejně dlouhé, rovnoběžné a
souhlasně orientované úsečky představují ten
stejný vektor ­ říkáme, že jsou umístění téhož
vektoru.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.25/57

Interpretace III
1
1
 
 
  
v
 
 
  
v
 
 
  
v
Umístění téhož vektoru
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.26/57

Interpretace IV
Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny
vektory v rovině či v prostoru můžeme
jednoznačně reprezentovat jako orientované
úsečky
-
OA s počátkem v O.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.27/57

Interpretace IV
Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny
vektory v rovině či v prostoru můžeme
jednoznačně reprezentovat jako orientované
úsečky
-
OA s počátkem v O.
Jejich koncem může být libovolný bod A roviny
či prostoru, bod O nevyjímaje ­ orientovaná
úsečka
-
OO totiž představuje tzv. nulový vektor.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.27/57

Interpretace V
Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat
pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.28/57

Interpretace V
Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat
pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku.
Součet vektorů u =
-
OA, v =
--
OB je potom
znázorněný orientovanou uhlopříčkou
u + v =
-
OC rovnoběžníka, jehož dvě přilehlé
strany tvoří úsečky OA, OB.
O


!
E
v
u
u + v



Q
 
 
 
rrrj
T
v
u
v - u
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.28/57

Interpretace VI
Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými
skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly:
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.29/57

Interpretace VI
Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými
skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly:
pokud c  R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j.
orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka
je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné
přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v,
pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud
c < 0
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.29/57

Interpretace VI
Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými
skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly:
pokud c  R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j.
orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka
je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné
přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v,
pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud
c < 0
(je-li c = 0 nebo v je nulový vektor, tak,
samozřejmě, i cv je nulový vektor, takže
nezáleží na jeho směru ani orientaci).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.29/57

Interpretace VII

0v 
)
-v



0
2v
Násobení vektoru skalárem
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.30/57

Interpretace VII
Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či
prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, t. j.
navzájem kolmé přímky procházející počátkem,
a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové
vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý
souřadnicový systém v rovině či v prostoru.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.31/57

Interpretace VII
Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či
prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, t. j.
navzájem kolmé přímky procházející počátkem,
a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové
vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý
souřadnicový systém v rovině či v prostoru.
Každý bod roviny či prostoru je potom
jednoznačně určený uspořádanou dvojicí, resp.
trojicí svých souřadnic a naopak, každá dvojice
resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje
nějaký bod roviny či prostoru.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.31/57

Interpretace VIII
Rovněž každý vektor v rovině či v prostoru je
potom jednoznačně určený souřadnicemi svého
koncového bodu a naopak libovolná uspořádaná
dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně
určuje nějaký vektor v rovině či prostoru.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.32/57

Interpretace VIII
Rovněž každý vektor v rovině či v prostoru je
potom jednoznačně určený souřadnicemi svého
koncového bodu a naopak libovolná uspořádaná
dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně
určuje nějaký vektor v rovině či prostoru.
Při pevném souřadnicovém systému tak
můžeme množinu všech vektorů v rovině
ztotožnit s množinou R2
a množinu všech vektorů
v prostoru s množinou R3
.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.32/57

Interpretace IX
Jsou-li (při takovémto ztotožnění)
u = (u1, u2)  R2
, v = (v1, v2)  R2
dva
vektory v rovině, tak snadno ověříme, že pro
jejich součet u + v, daný vektorovým
rovnoběžníkem, platí
u+v = (u1, u2)+(v1, v2) = (u1 +v1, u2 +v2).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.33/57

Interpretace X
Je-li c  R, pak pro skalární násobek cu
dostáváme
cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2).
Podobně to můžeme ověřit pro vektory v
prostoru, t. j. uspořádané trojice reálných čísel.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.34/57

Interpretace XI
Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti
souřadných os a rovnosti jednotkových délek
v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách
žádnou roli.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.35/57

Interpretace XI
Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti
souřadných os a rovnosti jednotkových délek
v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách
žádnou roli.
Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě
různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky
neležící v rovině (v prostoru) protínající se
v počátku O.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.35/57

Interpretace XI
Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti
souřadných os a rovnosti jednotkových délek
v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách
žádnou roli.
Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě
různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky
neležící v rovině (v prostoru) protínající se
v počátku O.
Za jednotkové délky ve směrech jednotlivých
souřadných os můžeme zvolit délky libovolných
(ne nutně stejně dlouhých) úseček.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.35/57

Vektorové prostory I
1.6 Vektorové prostory
Bud' K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též
lineárním prostorem nad K nazýváme množinu
V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními
operacemi ­
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.36/57

Vektorové prostory I
1.5 Vektorové prostory
Bud' K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též
lineárním prostorem nad K nazýváme množinu
V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními
operacemi ­
sčítáním + : V × V  V a
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.36/57

Vektorové prostory I
1.5 Vektorové prostory
Bud' K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též
lineárním prostorem nad K nazýváme množinu
V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními
operacemi ­
sčítáním + : V × V  V a
násobením  : K × V  V ­ takovými, že platí
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.36/57

Vektorové prostory II
(x, y, z  V )(x + (y + z) = (x + y) + z)),
(x, y  V )(x + y = y + x),
(x  V )(x + 0 = x),
(x  V )(y  V )(x + y = 0),
(a, b  K)(x  V )(a  (b  x) = (ab)  x),
(x  V )(1  x = x),
(a  K)(x, y  V )(a  (x + y) = (a  x) + (a  y)),
(a, b  K)(x  V )((a + b)  x = (a  x) + (b  x)).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.37/57

Vektorové prostory III
Skaláry značíme ,,obyčejnými" malými latinskými
písmeny a vektory tučnými malými latinskými
písmeny.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.38/57

Vektorové prostory III
Skaláry značíme ,,obyčejnými" malými latinskými
písmeny a vektory tučnými malými latinskými
písmeny.
Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném(
tělese K a sčítání vektorů značíme stejným
znakem +, jde o různé operace.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.38/57

Vektorové prostory III
Skaláry značíme ,,obyčejnými" malými latinskými
písmeny a vektory tučnými malými latinskými
písmeny.
Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném(
tělese K a sčítání vektorů značíme stejným
znakem +, jde o různé operace.
Podobně násobení v (číselném) tělese a
násobení vektoru skalárem jsou různé operace,
ačkoliv obě značíme  .
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.38/57

Vektorové prostory III
Skaláry značíme ,,obyčejnými" malými latinskými
písmeny a vektory tučnými malými latinskými
písmeny.
Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném(
tělese K a sčítání vektorů značíme stejným
znakem +, jde o různé operace.
Podobně násobení v (číselném) tělese a
násobení vektoru skalárem jsou různé operace,
ačkoliv obě značíme  .
Později budeme stejně značit příslušné operace
a nuly v různých vektorových prostorech.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.38/57

Vektorové prostory IV
Z formálního hlediska připomínají axiómy
vektorového prostoru vlastnosti (číselného)
tělesa K:
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.39/57

Vektorové prostory IV
Z formálního hlediska připomínají axiómy
vektorového prostoru vlastnosti (číselného)
tělesa K:
sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní
binární operace na V s neutrálním prvkem
0  V ,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.39/57

Vektorové prostory IV
Z formálního hlediska připomínají axiómy
vektorového prostoru vlastnosti (číselného)
tělesa K:
sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní
binární operace na V s neutrálním prvkem
0  V ,
operace násobení vektoru skalárem splňuje
jakousi podmínku ,,asociativity", 1  K je její
,,neutrální prvek"
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.39/57

Vektorové prostory IV
Z formálního hlediska připomínají axiómy
vektorového prostoru vlastnosti (číselného)
tělesa K:
sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní
binární operace na V s neutrálním prvkem
0  V ,
operace násobení vektoru skalárem splňuje
jakousi podmínku ,,asociativity", 1  K je její
,,neutrální prvek"
a platí dva ,,distributivní zákony".
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.39/57

Vektorové prostory V
Jeden podstatný rozdíl ­ násobení
v (číselném) tělese K je binární operací na
množině K, t. j. zobrazením  : K × K  K,
násobení ve vektorovém prostoru V nad
číselným tělesem K není binární operace na V ,
ale binární operace  : K × V  V .
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.40/57

Vektorové prostory VI
To nám však nebrání zavést obdobné dohody
jako pro operace v (číselném) tělese: násobení
má přednost před sčítáním a znak násobení
budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např.
psát ax + y namísto (a  x) + y.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.41/57

Vektorové prostory VII
Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž
umístění neovlivní výslednou hodnotu výrazů
jako např. v abx nebo a1x1 + . . . + anxn.
Poslední výraz budeme taktéž značit
n
i=1 aixi
a nazývat lineární kombinací vektorů
x1, . . . , xn s koeficienty a1, . . . , an.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.42/57

Vektorové prostory VIII
Speciálně pro n = 1 to znamená
1
i=1 aixi = a1x1; kvůli úplnosti pro n = 0
ještě klademe prázdnou lineární kombinaci
0
i=1 aixi rovnou 0.
Tvrzení 1.5.0 Necht' V je vektorový prostor nad
(číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n  N,
a, b, a1, . . . , an  K a x, y, z, x1, . . . , xn  V
platí
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.43/57

Vektorové prostory IX
(a) x + y = x + z  y = z,
(b) (ax = ay& a = 0)  x = y,
(ax = bx& x = 0)  a = b,
(c) a0 = 0 = 0x,
(d) ax = 0  (a = 0  x = 0),
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.44/57

Vektorové prostory X
(e) -x = (-1)x,
(f) a(x - y) = ax - ay,
(a - b)x = ax - bx,
(g) a(x1 + . . . + xn) = ax1 + . . . + axn,
(a1 + . . . + an)x = a1x + . . . + anx.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.45/57

Příklady I
1.6 Příklady vektorových prostorů
1.6.0 Rozšíření těles
Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za
vektorový prostor nad sebou samým. Obecněji,
pokud těleso L je rozšířením tělesa K, tak L
můžeme považovat za vektorový prostor nad
tělesem K (formálne stačí ,,zapomenout" na
násobení některých dvojic prvků a, b  L a
součin ab připustit jen pro a  K, b  L).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.46/57

Příklady II
Podobným způsobem můžeme vektorový prostor
V nad tělesem L zúžením násobení
L × V  V na násobení K × V  V změnit
na vektorový prostor nad tělesem K.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.47/57

Příklady III
1.6.1 n-rozměrné řádkové a sloupcové
vektory nad daným tělesem
Pro libovolné těleso K a n  N je množina
Kn
= {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn  K}
všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu
s operacemi
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.48/57

Příklady IV
x + y =(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)
=(x1 + y1, . . . , xn + yn),
cx =c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn),
kde x = (x1, . . . , xn)  Kn
,
y = (y1, . . . , yn)  Kn
a c  K, vektorový
prostor nad tělesem K.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.49/57

Příklady V
Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0, . . . , 0) hraje
úlohu nuly v Kn
. Pokud bude potřebné rozlišit
nulové vektory v prostorech Kn
pro různá
přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn
používat označení 0n. Opačný prvek
k x = (x1, . . . , xn)  Kn
je zřejmě
-x = -(x1, . . . , xn) = (-x1, . . . , -xn).
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.50/57

Příklady VI
Ř íkáme, že operace na Kn
jsou definované po
složkách. Prvky tohoto vektorového prostoru
nazýváme n-rozměrné řádkové vektory nad
tělesem K. Vektorový prostor K0
sestává
z jediného prvku , představujícího
,,uspořádanou nultici", která je nutně nulou v K0
.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.51/57

Příklady VII
Někdy bude výhodnější pracovat
s n-rozměrnými sloupcovými vektory nad
tělesem K, t. j. s vektory tvaru
x =





x1
...
xn





,
kde x1, . . . , xn  K.
Píšeme rovněž Kn
.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.52/57

Příklady VIII
1.6.2 Polynomy nad daným tělesem
Polynomem nebo též mnohočlenem f
stupně n, kde -1  n  Z, v proměnné x nad
tělesem K rozumíme formální výraz tvaru
f(x) = a0 + a1x + . . . + an-1xn-1
+ anxn
=
n
i=0 aixi
,
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.53/57

Příklady IX
kde a0, a1, . . . , an-1, an  jsou skaláry,
nazývané koeficienty polynomu f, a an = 0.
Nulu 0  K považujeme za polynom stupně -1
a nenulové skaláry a  K za polynomy stupně
0. Zřejmě každý polynom f definuje (stejně
označovanou) funkci f : K  K danou
předpisem c  f(c), t. j. dosazením konkrétních
hodnot c  K za proměnnou x do polynomu f.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.54/57

Příklady X
Množinu všech polynomů v proměnné x nad K
stupně nejvýše n, kde -1  n  Z, budeme
značit K(n)
[x]; množinu všech polynomů
v proměnné x nad K značíme K[x].
Libovolný polynom g(x) =
m
i=0 bixi
 K[x]
stupně m < n můžeme psát ve tvaru
g(x) = b0+b1x+. . .+bmxm
+0xm+1
+. . .+0xn
,
t. j. v tvaru g(x) =
n
i=0 bixi
, kde bi = 0 pro
m < i  n. 1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.55/57

Příklady XI
S použitím této konvence lze definovat součet
f + g polynomů f =
n
i=0 aixi
, g =
m
i=0 bixi
z K[x] předpisem
(f +g)(x) = f(x)+g(x) =
max(m,n)
i
=0
(ai +bi)xi
.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.56/57

Příklady XII
Pokud navíc c  K, klademe
(cf)(x) = cf(x) =
ni
=0
caixi
.
Snadno ověříme, že s takto po složkách
definovanými operacemi součtu a skalárního
násobku tvoří každá z množin polynomů K(n)
[x],
kde -1  n  Z, a zároveň i množina všech
polynomů K[x] vektorový prostor nad tělesem K.
1. VEKTOROVÉ PROSTORY ­ p.57/57