4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ V tejto kapitole sa opäť vrátime k štúdiu abstraktných vektorových priestorov nad vše- obecným poľom. K bude v celej kapitole označovať nejaké pevné, inak ľubovoľné pole a V bude nejaký pevne zvolený vektorový priestor nad K. Čitateľ sa však nedopustí nijakej chyby, ak si pod všeobecným poľom K bude predstavovať pole R všetkých reál- nych čísel. Zakaždým, keď sa budeme odvolávať na geometrický názor, bude to dokonca užitočné. Na druhej strane by však nemal spúšťať zo zreteľa, že naše úvahy majú pod- statne širšiu platnosť ­ okrem vektorových priestorov nad R sa z nám známych príkladov vzťahujú tak na vektorové priestory nad poľom C všetkých komplexných čísel, poľom Q všetkých racionálnych čísel ako i na vektorové priestory nad konečnými poľami Zp. 4.1. Lineárne podpriestory vektorového priestoru Množina S V sa nazýva lineárny podpriestor vektorového priestoru V , ak S = a pre všetky skaláry a K a vektory x, y S platí ax S a x + y S. Inak povedané, neprázdna podmnožina S V je lineárny podpriestor práve vtedy, keď je uzavretá na operácie skalárneho násobku a súčtu vektorov. Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom práve vyslovenej definície. 4.1.1. Tvrdenie. Nech S je lineárny podpriestor vektorového priestoru V . Potom 0 S a S s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku zúženými z V na S tvorí vektorový priestor nad poľom K. V každom vektorovom priestore V sú {0} a V lineárne podpriestory (v prípade, keď V = {0}, dokonca splývajú, inak ide o dva rôzne podpriestory) ­ {0} nazývame triválny alebo tiež nulový a V nevlastný alebo tiež plný lineárny podpriestor. Teda pre vlastný netriviálny lineárny podpriestor S V platí {0} = S = V . Napr. vo vektorovom priestore R3 netriviálne vlastné podpriestory sú práve všetky priamky a roviny prechádzajúce počiatkom 0. Nasledujúce tvrdenie charakterizuje lineárne podpriestory ako množiny uzavreté na lineárne kombinácie. 4.1.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú podmnožinu S vektorového priestoru V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) S je lineárny podpriestor vo V ; (ii) S = a pre všetky skaláry a, b K a vektory x, y S platí ax + by S; (iii) pre každé n N a pre všetky skaláry a1, . . . , an K a vektory x1, . . . , xn S platí a1x1 + . . . + anxn S. Dôkaz. Postupne dokážeme implikácie (i) (ii), (ii) (iii) a (iii) (i). 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA (i) (ii): Ak S je lineárny podpriestor, tak S = . Nech a, b K, x, y S. Keďže S je uzavreté na skalárne násobky, platí ax, by S. Z uzavretosti S na súčet vyplýva ax + by S. (ii) (iii): Nech platí (ii). Keďže S = , existuje s S. Potom 0 = 0s + 0s S a tiež ax = ax + 0s S pre každé a K, x S. Teda podmienka z (iii) je splnená pre n = 0 (lebo prázdna lineárna kombinácia je 0) a n = 1; podľa (ii) je splnená tiež pre n = 2. Keby nebola splnená pre všetky n N, označíme n najmenšie prirodzené číslo s touto vlastnosťou. Potom n > 2 a pre všetky k < n podmienka z (iii) platí. Nech a1, . . . , an K, x1, . . . , xn S sú také, že a1x1 + . . . + anxn / S. Avšak a1x1 + . . . + anxn = (a1x1 + . . . + an-1xn-1) + anxn S, keďže pre prirodzené čísla n - 1 a 2 podmienka z (iii) platí. To je spor. (iii) (i): Z platnosti (iii) pre n = 0 vyplýva, že 0 S (prázdna lineárna kombinácia je totiž 0). Teda S = . Voľbou n = 1 dostávame uzavretosť S na skalárne násobky. Uzavretosť S na súčet vyplýva z voľby n = 2, a1 = a2 = 1. 4.1.3. Príklad. Keďže s príkladmi lineárnych podpriestorov vektorových priestorov Kn sa ešte stretneme pri mnohých príležitostiach, uvedieme tu niekoľko " exotickejších" príkladov. Napospol pôjde o podpriestory priestorov KX všetkých funkcií z nejakej množiny X do poľa K (pozri príklad 1.6.5). (a) Označme K(X) množinu všetkých funkcií f : X K, pre ktoré je množina {x X; f(x) = 0} konečná. Pre ľubovoľnú lineárnu kombináciu funkcií f, g K(X) platí {x X; af(x) + bg(x) = 0} {x X; f(x) = 0} {x X; g(x) = 0}. Z toho vyplýva, že K(X) je lineárny podpriestor vektorového priestoru KX . Ak X je ko- nečná, tak K(X) = KX ; ak X je nekonečná, tak K(X) je netriválny vlastný podpriestor v KX . (b) Nech X R je ľubovoľná množina reálnych čísel. Potom C(X, R), alebo len stručne C(X) označuje množinu všetkých spojitých funkcií f : X R. Keďže lineárne kombinácie spojitých funkcií sú zrejme opäť spojité fumkcie, C(X) je lineárny podprie- stor v RX . (c) Ak X je nejaký (ohraničený alebo neohraničený) interval reálnych čísel, tak D(X) označuje množinu všetkých funkcií f : X R, ktoré majú v každom bode x X ko- nečnú deriváciu (v prípadných krajných bodoch intervalu X sa žiada existencia konečnej derivácie zľava alebo sprava). Keďže každá diferencovateľná funkcia je spojitá na svojom definičnom obore a lineárna kombinácia diferencovateľných funkcií je opäť diferencova- teľná, D(X) je lineárny podpriestor vektorového priestoru C(X). 4.2. Lineárny obal množiny vektorov Množinu všetkých lineárnych kombinácií vektorov z podmnožiny X vektorového prie- storu V nazývame lineárnym obalom množiny X a označujeme ju [X]. Teda [X] = {a1x1 + . . . + anxn; n N & a1, . . . , an K & x1, . . . , xn X}. 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 3 Ak X = {x1, . . . , xn} je konečná, tak miesto [{x1, . . . , xn}] píšeme len [x1, . . . , xn]. Zrejme tento zápis má zmysel aj pre ľubovoľnú usporiadanú n-ticu (nie nutne rôznych) vektorov (x1, . . . , xn), a platí [x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an K}. 4.2.1. Tvrdenie. Nech X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineárny obal [X] množiny X je najmenší lineárny podpriestor vektorového priestoru V taký, že X [X]. Dôkaz. Musíme dokázať dve veci: (a) [X] je lineárny podpriestor vo V ; (b) pre každý lineárny podpriestor S V platí X S [X] S. (a) Zrejme [X] obsahuje 0 ako prázdnu lineárnu kombináciu, teda [X] = . Nech c, d K a u = a1x1 + . . . + anxn, v = b1y1 + . . . + bmym sú prvky z [X], pričom ai, bj K, xi, yj X. Potom cu + dv = ca1x1 + . . . + canxn + db1y1 + . . . + dbmym [X], keďže je to opäť lineárna kombinácia vektorov z X. Podľa podmienky (ii) tvrdenia 4.1.2 je [X] lineárny podpriestor vo V . (b) Nech S V je lineárny podpriestor taký, že X S. Potom podľa podmienky (iii) tvrdenia 4.1.2 všetky lineárne kombinácie vektorov z S, a tým skôr vektorov z X, patria do S. Teda [X] S. Dokázané tvrdenie nás oprávňuje nazývať lineárny obal [X] množiny X V tiež line- árnym podpriestorom generovaným množinou X. Ak [X] = S, hovoríme, že X generuje lineárny podpriestor S, prípadne že X je generujúca množina alebo tiež množina gene- rátorov lineárneho podpriestoru S V . Ak S = V , t. j. ak [X] = V , hovoríme krátko o generujúcej množine. Používa sa tiež názov vytvárajúca množina. Kvôli prehľadnosti zhrnieme základné vlastnosti operácie lineárneho obalu X [X]. 4.2.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľné podmnožiny X, Y vektorového priestoru V a v V platí: (a) [] = [0] = {0}; (b) X [X]; (c) X Y [X] [Y ]; (d) X je lineárny podpriestor vo V práve vtedy, keď X = [X]; (e) [[X]] = [X]; (f) v [X] [X {v}] = [X]. Dôkaz. (a), (b) a (c) sú triviálne, (d) priamo vyplýva z tvrdenia 4.2.1 a (e) je bezpro- stredným dôsledkom (d). (f) Nech v [X]. S použitím (b), (c) a (e) dostávame [X {v}] [[X] {v}] = [[X]] = [X]. Teda [X {v}] = [X]. Keďže v [X {v}], obrátená implikácia je triviálna. 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 4.3. Prienik a súčet lineárnych podpriestorov Nech X, Y sú ľubovoľné podmnožiny vektorového priestoru V . Potom množinu X + Y = {x + y; x X & y Y } nazývame súčtom množín X, Y . 4.3.1. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom aj S T a S + T sú lineárne podpriestory vo V . Navyše platí S + T = [S T], t. j. S + T je najmenší lineárny podpriestor vo V , ktorý obsahuje S aj T. Dôkaz. Zrejme 0 ST. Z toho, že S aj T sú uzavreté na lineárne kombinácie, vyplýva, že aj S T má túto vlastnosť. Dokážeme, že aj množina S +T je uzavretá na lineárne kombinácie. Nech a1, a2 K a u1 = x1 +y1, u2 = x2 +y2 sú vektory z S +T, pričom x1, x2 S, y1, y2 T. Potom a1u1 + a2u2 = a1(x1 + y1) + a2(x2 + y2) = (a1x1 + a2x2) + (a1y1 + a2y2) S + T, lebo S, T sú lineárne podpriestory, teda a1x1 + a2x2 S a a1y1 + a2y2 T. Dokážeme poslednú rovnosť. Inklúzie S T S + T [S T] sú zrejmé. Keďže S + T je lineárny podpriestor vo V a [S T] je najmenší lineárny podpriestor vo V , ktorý obsahuje množinu S T, platí tiež [S T] S + T. Na druhej strane čitateľ iste ľahko nájde príklady na to, že zjednotenie dvoch lineár- nych podpriestorov S, T vektorového priestoru V nemusí byť lineárnym podpriestorom. Presnejšie, S T je lineárny podpriestor vo V práve vtedy, keď S T alebo T S. Porozmýšľajte prečo. Každý prvok z S + T súčtu lineárnych podpriestorov S, T V možno vyjadriť v tvare z = x + y pre nejaké x S, y T. Vo všeobecnosti to však možno urobiť viacerými spôsobmi. Súčet lineárnych podpriestorov S, T vektorového priestoru V na- zývame priamym alebo tiež direktným súčtom, ak každé z S + T možno jednoznačne vyjadriť v tvare z = x + y, kde x S, y T; takýto súčet zvykneme tiež označovať S T. 4.3.2. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) S + T = S T, t. j. súčet S + T je direktný; (ii) S T = {0}. Dôkaz. (i) (ii): Nech z ST. Potom z možno vyjadriť v tvare z = z+0, kde z S, 0 T, ako aj v tvare z = 0 + z, kde 0 S, z T. Z predpokladanej jednoznačnosti vyplýva z = 0. Teda S T = {0}. (ii) (i): Nech S T = {0}. Predpokladajme, že vektor z S + T možno vyjadriť v tvaroch z = x1 +y1 = x2 +y2, kde x1, x2 S, y1, y2 T. Potom x1 -x2 = y2 -y1. 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 5 Keďže x1 - x2 S, y2 - y1 T, uvedená spoločná hodnota patrí do S T. Preto x1 - x2 = y2 - y1 = 0, t. j. x1 = x2, y1 = y2. To dokazuje požadovanú jednoznačnosť. Uvedenú definíciu možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť na priamy súčet ľubovoľ- ného konečného počtu lineárnych podpriestorov. Zodpovedajúce zovšeobecnenie pod- mienky (ii) z práve dokázaného tvrdenia však už celkom priamočiare nie je. Podrobnosti nájde čitateľ v cvičení 8. 4.4. Lineárna nezávislosť Nech u1, . . . , un V . Hovoríme, že usporiadaná n-tica vektorov (u1, . . . , un) je li- neárne závislá, ak existujú skaláry c1, . . . , cn K také, že c1u1 + . . . + cnun = 0, ale (c1, . . . , cn) = 0. V opačnom prípade hovoríme, 6e usporiadaná n-tica vektorov (u1, . . . , un) je lineárne nezávislá. Pre n = 0 kvôli úplnosti dodávame, že usporiadanú 0-ticu (t. j. prázdnu postupnosť) vektorov považujeme za lineárne nezávislú. Miesto " lineárne (ne)závislá usporiadaná n-tica vektorov (u1, . . . , un)" budeme často hovoriť len o lineárne (ne)závislých vektoroch u1, . . . , un. Rozmeňme si teraz " na drobné", čo znamená ono " v opačnom prípade" v definícii lineárnej nezávislosti. Podľa tejto definície vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď ( c1, . . . , cn K)(c1u1 + . . . + cnun = 0 c1 = . . . = cn = 0). Vidíme, že logická štruktúra pojmu lineárnej nezávislosti je trochu zložitejšia, než sme boli doteraz zvyknutí. Keďže ide o kľúčový pojem, je potrebné sa pri ňom na chvíľu pristaviť. Uvedomme si, že pre n-ticu skalárov (c1, . . . , cn) = 0 platí c1u1 + . . . + cnun = 0 pre ľubovoľnú n-ticu vektorov (u1, . . . , un), bez ohľadu na to, či je lineárne závislá alebo nezávislá. Avšak pre niektoré n-tice vektorov (u1, . . . , un) môžeme ako výsledok lineár- nej kombinácie c1u1 + . . . + cnun dostať 0 aj pomocou inej n-tice skalárov (c1, . . . , cn) než len 0 = (0, . . . , 0) ­ takéto usporiadané n-tice (u1, . . . , un) nazývame lineárne zá- vislé. Pre niektoré usporiadané n-tice vektorov (u1, . . . , un) je voľba (c1, . . . , cn) = 0 jediná možnosť ako lineárnou kombináciou c1u1 + . . . + cnun získať výsledok 0 ­ takéto usporiadané n-tice nazývame lineárne nezávislé. Na precvičenie práve definovaných pojmov čitateľovi odporúčame, aby si dokázal štyri jednoduché no užitočné pozorovania: (a) jediný vektor u je lineárne nezávislý práve vtedy, keď u = 0; (b) vektory u, v sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je násobkom druhého; (c) ak niektorý z vektorov u1, . . . , un je 0, tak tieto vektory sú lineárne závislé; (d) ak sa niektoré dva z vektorov u1, . . . , un rovnajú alebo niektorý z nich je násobkom iného, tak tieto vektory sú lineárne závislé. Inak povedané, len usporiadaná n-tica nenulových a navzájom rôznych vektorov, z kto- rých žiaden nie je násobkom druhého, môže (no stále ešte nemusí) byť lineárne nezávislá. Nasledujúce tvrdenie asi vysvetľuje názov " lineárna závislosť" lepšie než samotná definícia. 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 4.4.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľné n N a u1, . . . , un V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) vektory u1, . . . , un sú lineárne závislé; (ii) niektorý z vektorov uk, k n, je lineárnou kombináciou predchádzajúcich; (ii') niektorý z vektorov uk, k n, je lineárnou kombináciou nasledujúcich; (iii) niektorý z vektorov uk, k n, je lineárnou kombináciou ostatných. Dôkaz. Dokážeme implikácie (i) (ii) (iii) a (iii) (i). Rovnako by bolo možné do- kázať aj implikácie (i) (ii') (iii). (i) (ii): Nech u1, . . . , un sú lineárne závislé vektory a c1, . . . , cn sú skaláry, nie všetky rovné 0, také, že c1u1 + . . . + cnun = 0. Nech k je najväčší z indexov 1, . . . , n taký, že ck = 0. Potom ci = 0 pre k < i n, teda c1u1 + . . . + ckuk = n i=1 ciui = 0. Z toho dostávame uk = c-1 k (c1u1 + . . . + ck-1uk-1), t. j. uk je lineárnou kombináciou predchádzajúcich vektorov. (ii) (iii) platí triválne. (iii) (i): Ak uk = n i=1 i=k ciui je lineárnou kombináciou ostatných vektorov, polož- me ck = -1. Potom pre n-ticu skalárov (c1, . . . , cn) = 0 platí c1u1 + . . . + cnun = 0, teda vektory u1, . . . , un sú lineárne závislé. Poznámka. Všimnite si, že dôkaz implikácie (i) (ii) pokrýva aj prípad k = 1. Vte- dy c1 = 0 a c1u1 = 0, preto tiež u1 = 0. Teda u1 je naozaj lineárnou kombináciou predchádzajúcich (t. j. prázdnej postupnosti) vektorov. Každý vektor x z lineárneho obalu [u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvare x = c1u1 + . . . + cnun pre nejakú n-ticu skalárov (c1, . . . , cn). Nasledujúce tvrdenie ukazuje, že lineárna nezá- vislosť vektorov u1, . . . , un je ekvivalentná s jednoznačnosťou tohto vyjadrenia. 4.4.2. Veta. Vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď každý vektor x [u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvare x = c1u1 + . . . + cnun pre jedinú usporiadanú n-ticu (c1, . . . , cn) Kn . Dôkaz. Nech u1, . . . , un sú lineárne nezávislé vektory. Predpokladajme, že vektor x [u1, . . . , un] možno vyjadriť v tvaroch x = c1u1 + . . . + cnun = d1u1 + . . . + dnun, kde (c1, . . . , cn), (d1, . . . , dn) Kn . Potom (c1 - d1)u1 + . . . + (cn - dn)un = 0. Z lineárnej nezávislosti vektorov u1, . . . , un vyplýva c1 - d1 = . . . = cn - dn = 0, čiže (c1, . . . , cn) = (d1, . . . , dn). Teda vyjadrenie vektora x v tvare lineárnej kombinácie vektorov u1, . . . , un je jednoznačné. 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 7 Predpokladajme teraz, že každý vektor x [u1, . . . , un] má jednoznačné vyjadrenie v tvare lineárnej kombinácie vektorov u1, . . . , un. Špeciálne to platí aj pre vektor x = 0, ktorý má vyjadrenie 0 = 0u1 + . . . + 0un. Z jednoznačnosti tohto vyjadrenia vyplýva c1u1 + . . . + cnun = 0 c1 = . . . = cn = 0 pre ľubovoľnú n-ticu skalárov (c1, . . . , cn). Teda vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé. Nasledujúce tvrdenie dáva do súvislosti lineárnu (ne)závislosť s lineárnym obalom. 4.4.3. Tvrdenie. Nech u1, . . . , un, v V pričom vektory u1, . . . , un sú lineárne ne- závislé. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) v [u1, . . . , un]; (ii) vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé; (iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un]. Dôkaz. (i) (ii): Ak v [u1, . . . , un] tak vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé podľa tvrdenia 4.4.1. (ii) (iii): Nech vektory u1, . . . , un, v sú lineárne závislé. Potom niektorý z nich je li- neárnou kombináciou predchádzajúcich. Keďže vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé, môže to byť len vektor v. Teda v [u1, . . . , un]. (iii) (i) je obsiahnuté v bode (f) tvrdenia 4.2.2. 4.4.4. Veta. Nech u1, . . . , un, v1, . . . , vm V , pričom vektory u1, . . . , un sú lineárne nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} možno vybrať indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik sú lineárne nezávislé a generujú rovnaký podpriestor ako vektory u1, . . . , un, v1, . . . , vm. Dôkaz. Označme X = {v1, . . . , vm}. Vektory vi1 , . . . , vik vyberieme z množiny X na- sledujúcim spôsobom. Ak X [u1, . . . , un], položme k = 0, t. j. nevyberieme žia- den z nich. V opačnom prípade nech vi1 je prvý z vektorov množiny X, ktorý neleží v podpriestore [u1, . . . , un]. Ak X [u1, . . . , un, vi1 ], tak k = 1 a vi1 je jediný vy- braný vektor. Podľa predchádzajúceho tvrdenia sú vektory u1, . . . , un, vi1 lineárne ne- závislé. Ak X [u1, . . . , un, vi1 ], označíme vi2 prvý vektor množiny X, ktorý neleží v [u1, . . . , un, vi1 ] (zrejme i1 < i2 a vi1 = vi2 ). Vektory u1, . . . , un, vi1 , vi2 sú podľa tvr- denia 4.4.3 opäť lineárne nezávislé. Podľa potreby pokračujeme rovnakým spôsobom, až kým pre takto získané lineárne nezávislé vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik neplatí inklú- zia X [u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik ], kedy sa zastavíme. (V krajnom prípade dostaneme k = m, t. j. vyberieme všetky vektory z množiny X.) Z uvedenej inklúzie okamžite vyplýva rovnosť [u1, . . . , un, v1, . . . , vm] = [u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik ], keďže každý z generátorov podpriestoru na ľavej strane je prvkom podpriestoru na pravej strane. 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 4.5. Lineárny obal a lineárna nezávislosť v priestoroch Km V tomto paragrafe si ukážeme, ako možno na základe našich doterajších znalostí o sústa- vách lineárnych rovníc tou istou metódou úpravy matíc pomocou ERO na (redukovaný) stupňovitý tvar riešiť pre vektory z priestoru Km nasledujúce tri otázky: (1) rozhodnúť pre dané vektory x1, . . . , xn, y Km či y patrí alebo nepatrí do line- árneho obalu [x1, . . . , xn]; (2) rozhodnúť pre dané vektory x1, . . . , xn Km či sú lineárne závislé alebo nezávislé; (3) vybrať z vektorov x1, . . . , xn Km lineárne nezávislé vektory xj1 , . . . , xjk tak, aby platilo j1 < . . . < jk a vektory xj1 , . . . , xjk generovali vo V ten istý lineárny podpriestor ako vektory x1, . . . , xn. Hoci všetky tri otázky možno riešiť naraz jednotným spôsobom, z metodických dô- vodov začneme jednoduchšími otázkami (1) a (2), a až potom pristúpime k trochu zložitejšej otázke (3). Navyše pri tom zavedieme označenie, ktorého sa budeme držať v celom paragrafe. Nech x1, . . . , xn, y Km sú stĺpcové vektory, pričom xj = x1j ... xmj , y = y1 ... ym . Označme X = (xij) Km×n maticu so stĺpcami x1, . . . , xn, a (X | y) Km×(n+1) blokovú maticu zloženú z matice X a vektora y. Potom pre c = (c1, . . . , cn)T Kn platí: (1) c1x1 + . . . + cnxn = y X c = y; (2) c1x1 + . . . + cnxn = 0 X c = 0. Inak povedané: (1) y [x1, . . . , xn] práve vtedy, keď sústava X c = y s rozšírenou maticou (X | y) má aspoň jedno riešenie; (2) vektory x1, . . . , xn sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď homogénna sústava X c = 0 má jediné riešenie c = 0; ak táto sústava má aj nejaké nenulové riešenie, tak vektory x1, . . . , xn sú lineárne závislé. (Nedajte sa spliesť atypickým označením: xij sú teraz koeficienty sústavy, yi sú zložky pravej strany a cj sú neznáme.) Otázku (1) už vieme riešiť. Stačí pomocou ERO upraviť maticu (X | y) na stupňovi- tý tvar. Ak výsledná matica obsahuje riadok tvaru (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, tak sústava X c = y nemá riešenie a y / [x1, . . . , xn]. Ak sa taký riadok vo výslednej matici nenachádza, tak sústava má aspoň jedno riešenie a y [x1, . . . , xn]. Podobne je to s otázkou (2). Opäť stačí pomocou ERO upraviť maticu X na stup- ňovitý tvar a pozrieť sa, či v každom stĺpci leží vedúci prvok nejakého riadku. Ak je to tak, niet čo voliť za parametre, c = 0 je jediným riešením sústavy X c = 0 a vektory x1, . . . , xn sú lineárne nezávislé. V opačnom prípade máme možnosť voľby aspoň jedného parametra, sústava má aj nejaké nenulové riešenie a vektory x1, . . . , xn sú lineárne závislé. Ešte si všimnime úzku súvislosť oboch otázok. Vedúcim prvkom riadku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je práve v (n+1)-om stĺpci ležiaci prvok z. Teda matica v stupňovitom tvare 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 9 riadkovo ekvivalentná s (X | y) neobsahuje taký riadok práve vtedy, keď v jej poslednom stĺpci neleží vedúci prvok žiadneho riadku. 4.5.1. Príklad. Uvažujme stĺpcové vektory x1 = (1, 1, -1, -1)T , x2 = (0, 1, 0, 1)T , x3 = (3, 1, -3, -5)T , x4 = (0, 0, 1, 2)T , y = (3, 5, -2, 1)T , z = (1, 1, 1, 1)T v pries- tore R4 . Máme rozhodnúť, či vektory y, z patria do lineárneho obalu [x1, x2, x3, x4]. Označme si nasledujúce matice (X | y) = 1 0 3 0 1 1 1 0 -1 0 -3 1 -1 1 -5 2 3 5 -2 1 , (X | z) = 1 0 3 0 1 1 1 0 -1 0 -3 1 -1 1 -5 2 1 1 1 1 . Matice (X | y), (X | z) sú riadkovo ekvivalentné s maticami 1 0 3 0 0 1 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 resp. 1 0 3 0 0 1 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 -2 . Okamžite vidíme, že platí y [x1, x2, x3, x4] a z / [x1, x2, x3, x4]. 4.5.2. Príklad. Zistíme, či stĺpce reálnej matice X = 2 0 1 3 2 1 2 3 0 2 3 1 1 2 4 2 sú lineárne závislé alebo nezávislé. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s maticou 1 2 4 2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 . Vidíme, že stĺpce matice X sú lineárne nezávislé. Na druhej strane, ako matica nad poľom Z5 je X riadkovo ekvivalentná s maticou 1 2 4 2 0 1 3 4 0 0 2 3 0 0 0 0 . Teda stĺpce matice X, chápané ako vektory z vektorového priestoru Z4 5, sú lineárne závislé. Kľúčom k odpovedi na otázku (3) je nasledujúce tvrdenie. 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 4.5.3. Tvrdenie. Nech X, Y Km×n sú riadkovo ekvivalentné matice, pričom ma- tica Y je v stupňovitom tvare. Pre 1 j n označme xj = sj(X) j-ty stĺpec matice X. Nech j1 < . . . < jk sú indexy všetkých stĺpcov matice Y , v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov. Potom plati: (a) vektory xj1 , . . . , xjk sú lineárne nezávislé; (b) ak v j-tom stĺpci matice Y neleží vedúci prvok žiadneho jej riadku (t. j. 1 j n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je lineárnou kombináciou vektorov xj1 , . . . , xjl , kde l k je najväčší index, pre ktorý platí jl < j; (c) [xj1 , . . . , xjk ] = [x1, . . . , xn]. Dôkaz. (a) Označme X , Y matice, pozostávajúce len zo stĺpcov s indexmi j1, . . . , jk matíc X resp. Y (ostatné stĺpce vynecháme). Potom postupnosťou tých istých ERO, ktorými sme X upravili na Y , dostaneme z X maticu Y , teda X Y . Matica Y je však v stupňovitom tvare a má v každom stĺpci vedúci prvok nejakého svojho riadku. Preto homogénna sústava X d = 0 má jediné riešenie d = 0 Kk , čo znamená, že stĺpce matice X , t. j. vektory xj1 , . . . , xjk , sú lineárne nezávislé. (b) Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že matica Y je dokonca v re- dukovanom stupňovitom tvare. Poloha vedúcich prvkov riadkov v jednotlivých stĺpcoch bude stále rovnaká. Nech j = j1, . . . , jk. Pri voľbe parametra cj = 1 a voľbou 0 za hodnotu všetkých ostatných parametrov (ak nejaké zostali) dostaneme jedno riešenie c = (c1, . . . , cn)T = 0 sústavy X c = 0. Nech l k je najväčší index taký, že jl < j. Pre naše riešenie c navyše platí cp = 0, ak j p n. Ak je totiž cp parameter, tak je to dôsledok našej voľby, a vo vyjadrení neznámych cjh pre l < h k sa (jediný nenu- lový) parameter cj nevyskytuje. Označme X maticu, ktorá pozostáva len zo stĺpcov matice X s indexmi j1, . . . , jl a j. Z uvedených dôvodov je vektor c = (cj1 , . . . , cjl , 1)T riešením sústavy X c = 0. To znamená, že xj = -(cj1 xj1 + . . . + cjl xjl ) [xj1 , . . . , xjl ]. (c) je bezprostredným dôsledkom (b) a tvrdenia 4.4.3. Práve dokázané tvrdenie nám dáva priamy návod na riešenie otázky (3). Stačí pomo- cou ERO upraviť maticu X = (x1, . . . , xn) na maticu Y v stupňovitom tvare a zistiť v nej indexy j1 < . . . < jk všetkých stĺpcov, v ktorých ležia vedúce prvky jej riad- kov. Potom xj1 , . . . , xjk sú hľadané lineárne nezávislé vektory, ktoré generujú lineárny podpriestor [x1, . . . , xn]. 4.5.4. Príklad. Zo stĺpcov reálnej matice X = 1 1 3 -1 1 2 0 2 1 3 1 1 3 2 4 2 0 2 0 2 treba vybrať lineárne nezávislé stĺpce, ktoré generujú lineárny obal všetkých stĺpcov matice X. Matica X je riadkovo ekvivalentná s maticou Y = 1 1 3 -1 1 0 1 2 2 -3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 11 v stupňovitom tvare. Vedúce prvky riadkov matice Y sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 2 a 4. Hľadané vektory sú teda stĺpce 1, 2 a 4 matice X. Zapísané vedľa seba tvoria maticu 1 1 -1 2 0 1 1 1 2 2 0 0 . I keď sme celý postup riešenia otázok (1), (2) a (3) vyložili len pre priestory stĺp- cových vektorov Km a týchto priestorov sa týkali aj všetky príklady, čitateľovi by už nemalo robiť ťažkosti modifikovať popísanú metódu aj na priestory riadkových vektorov Km ­ či už transponovaním, príslušných matíc riadkových vektorov alebo nahradením elementárnych riadkových operácií stĺpcovými. 4.6. Lineárne nezávislé postupnosti a množiny V tomto paragrafe stručne doplníme pojmy lineárnej závislosti a nezávislosti spôso- bom, ktorý umožňuje ich použitie i v prípade nekonečných postupností a ľubovoľných (t. j. konečných aj nekonečných) množín vektorov. Nakoľko však tieto otázky zostávajú na okraji nášho záujmu, popri príslušných definíciách sa obmedzíme len na niekoľko jednoduchých zovšeobecnení výsledkov o lineárnej (ne)závislosti usporiadaných n-tíc. Nekonečnú postupnosť (uk) k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . ) vektorov z priestoru V nazývame lineárne nezávislou, ak každá jej konečná podpostupnosť (uk1 , . . . , ukn ), kde 0 k1 < . . . < kn, je lineárne nezávislá. Dôkaz nasledujúceho jednoduchého tvrdenia prenechávame čitateľovi. 4.6.1. Tvrdenie. Nekonečná postupnosť (uk) k=0 vektorov z V je lineárne nezávislá práve vtedy, keď pre každé n N jej počiatočný úsek (u0, u1, . . . , un) je lineárne nezá- vislý. Napríklad postupnosť (1, x, x2 , . . . , xk , . . . ) všetkých mocnín x je lineárne nezávislá postupnosť vo vektorovom priestore K[x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom K. Polynóm f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn je totiž (definitoricky) nulový práve vtedy, keď a0 = a1 = . . . = an = 0. Množina X V sa nazýva lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné n N každá usporia- daná n-tica navzájom rôznych vektorov (u1, . . . , un) z množiny X je lineárne nezávislá. Ešte raz podčiarkujeme ono " navzájom rôznych" ­ keby totiž u1, . . . , un neboli na- vzájom rôzne vektory, nemohli by byť lineárne nezávislé. Lineárna závislosť či nezávislosť usporiadanej n-tice vektorov nezávisí od ich pora- dia ­ zrejme usporiadaná n-tica (u1, . . . , un) je lineárne nezávislá práve vtedy, keď je lineárne nezávislá usporiadaná n-tica (u(1), . . . , u(n)), kde je ľubovoľná per- mutácia množiny {1, . . . , n}. Inak povedané, lineárna (ne)závislosť usporiadanej n-tice (u1, . . . , un) navzájom rôznych vektorov je vlastnosťou množiny {u1, . . . , un}. Čitateľ už iste ľahko nahliadne platnosť nasledujúceho očividného tvrdenia. 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 4.6.2. Tvrdenie. Usporiadaná n-tica (u1, . . . , un) navzájom rôznych vektorov z V je lineárne nezávislá práve vtedy, keď množina {u1, . . . , un} V je lineárne nezávislá. Naše záverečné tvrdenie, ktoré dáva do súvisu lineárnu (ne)závislosť množiny s jej lineárnym obalom, je obdobou tvrdenia 4.4.3. Taktiež jeho dôkaz možno získať malou obmenou dôkazu spomínaného tvrdenia. 4.6.3. Tvrdenie. Nech X V je lineárne nezávislá množina a v V . Potom nasle- dujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) v [X]; (ii) množina X {v} je lineárne závislá; (iii) [X {v}] = [X]. Cvičenia 1. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom ST je lineárny podpriestor V práve vtedy, keď S T alebo T S. Dokážte. 2. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či daná podmnožina S vektorového priestoru V nad poľom K je jeho lineárnym podpriestorom. Svoje rozhodnutie zdôvodnite. Ak S nie je lineárny podpriestor, popíšte jeho lineárny obal [S]. (a) K = R, V = R, S = -1, 1 ; (b) K = C, V = C, S = {z C; |z| = 1}; (c) K = R, V = R2, S = {(x, y) R2; x - 2y = 0}; (d) K = C, V = C2, S = {(x, y) C2; x + iy = 1}; (e) K = R, V = C, S = {x C; Re x = Im x}; (f) K = Q, V = R, S = Q[ 3] = {a + b 3; a, b Q}; (g) K = Z2, V = Z3 2, S = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}; (h) K = Z3, V = Z2 3, S = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)}; (i) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) K[x]; f(1) = 0}; (j) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) K[x]; f(0) = 1}; (k) K ľubovoľné, V = K[x], S = {f(x) K[x]; f(0) = f(1)}; (l) K ľubovoľné, V = K[x], S = {a + bx + (a + b)x2; a, b K}; (m) K ľubovoľné, V = K[x], S = {a + bx + (a + b + 1)x2; a, b K}. 3. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či uvedené vektory z vektorového priestoru V nad poľom K sú lineárne nezávislé. Svoje rozhodnutie odôvodnite. (a) K = Q, V = Q2, u = (0, 0), v = (1, 1); (b) K = Q, V = Q3, w = (1, 2, 3)T ; (c) K = R, V = R4, x = (0, 1, 0, 1)T , y = (1, 0, 1, 0)T , z = (1, 0, 0, 1)T ; (d) K = C, V = C3, u = (1, i, -i), v = (2 + i, 3 - i, 1 + 2i), w = (2 + 2i, 2 - i, 2 + 2i); (e) K = Z5, V = Z4 5, x = (1, 3, 2, 4), y = (2, 2, 1, 1), z = (4, 2, 4, 2); (f) K = Z7, V = Z4 7, x = (1, 3, 2, 4), y = (2, 2, 1, 1), z = (4, 2, 4, 2); (g) K = R, V = R(3)[x], f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x(x - 1), f3(x) = x(x - 1)(x - 2); (h) K = Z13, V = Z13[x], f(x) = 5 + 12x, g(x) = 12 + 8x; (i) K = R, V = R[x], f(x) = 5 + 12x, g(x) = 12 + 8x. 4. Nech V je vektorový priestor nad poľom K, u1, . . . , un V sú lineárne nezávislé vektory a A Km×n. Pre i = 1, . . . , m označme vi = ai1u1 + . . . + ainun = ri(A) (u1, . . . , un)T . Potom vektory v1, . . . , vm V sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď riadky matice A sú lineárne nezávislé vektory v Kn. Dokážte. Čo sa zmení, ak u1, . . . , un sú lineárne závislé? 5. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či vektor u V patrí do lineárneho obalu vektorov x, y, z V . (a) K = R, V = R3, x = (1, 1, 2)T , y = (-2, 1, -1)T , z = (0, 1, 1)T , u = (1, 2, -1)T ; 4. LINEÁRNE PODPRIESTORY A LINEÁRNA NEZÁVISLOSŤ 13 (b) K = C, V = C2, x = (i, 1 + i), y = (1, 1 - i), z = (i, -i), u = (1 + i, 1 - i); (c) K = Z3, V = Z3 3, x = (0, 1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2, 0, 1), u = (1, 0, 1); (d) K = Z5, V = Z3 5, x = (0, 1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2, 0, 1), u = (1, 0, 1). 6. V každej z úloh (a)­(i) cvičenia 3 vyberte z daných vektorov lineárne nezávislé vektory, ktoré generujú ten istý lineárny podpriestor ako pôvodné vektory. Riešte rovnaký problém pre vektory x, y, z, u v každej z úloh (a)­(d) cvičenia 5. Využite pri tom výsledky cvičení 3 a 5. 7. Doplňte chýbajúce dôkazy častí (a)­(e) tvrdenia 4.2.2. 8. (a) Zovšeobecnite definíciu priameho súčtu na ľubovoľný konečný počet lineárnych podpriestorov daného vektorového priestoru. (b) Nech S1, . . . , Sn (n 2) sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Pre i = 1, . . . , n označme Ti = S1 + . . . + Si-1 + Si+1 + . . . + Sn, t. j. T1 = S2 + . . . + Sn, T2 = S1 + S3 + . . . + Sn, . . . , Tn = S1 +. . .+Sn-1. Potom S1 +. . .+Sn = S1 . . .Sn, t. j. súčet podpriestorov S1, . . . , Sn je priamy, práve vtedy, keď pre každé i n platí Si Ti = {0}. Dokážte. 9. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a X V je ľubovoľná podmnožina. Dokážte tzv. podmienku zámeny: ( u, v V )(u [X {v}] [X] v [X {u}]). Rozhodnite, či platí dokonca ekvivalencia ( u, v V )(u [X {v}] [X] v [X {u}] [X])? 10. Dokážte tvrdenia 4.6.1, 4.6.2 a 4.6.3. 11. Nech K je pole a (pk(x)) k=0 je postupnosť polynómov z K[x] taká, že pre k = l majú polynómy pk(x), pl(x) rôzny stupeň. Dokážte, že potom ide o lineárne nezávislú postupnosť.