7.  INVERZNÉ MATICE A  ZMENA  BÁZY
V tejto kapitole zavedieme pojem inverznej matice k danej štvorcovej matici a dáme ho do súvisu s pojmom inverzného lineárneho zobrazenia. Ďalej sa naučíme počítať inverzné matice a matice prechodu z jednej súradnej bázy do druhej. Nakoniec preskúmame vplyv zmeny bázy na maticu lineárneho zobrazenia. Začneme však s pojmom hodnosti matice, ktorý nám umožní rozhodnúť o existencii inverznej matice a - ako uvidíme neskôr - bude nám ešte veľakrát užitočný.
V celej kapitole K označuje pevné pole, m, n, p sú kladné celé čísla.
7.1. Hodnosť matice
V tomto paragrafe je potrebné rozlišovať medzi vektorovými priestormi riadkových resp. stĺpcových vektorov. Nebudeme teda používať nešpecifikované označenie Kn, ale priestor riadkových vektorov budeme značiť Klxn a priestor stĺpcových vektorov KnXl.
Pripomeňme, že Vi(A) E Klxn označuje i-tý riadok a s j (A) E KmXl zase j'-tý stĺpec matice A = (aij)mXn- Túto maticu teda môžeme zapísať v blokových tvaroch
/r1(A)\
r 2(A)
\rm(A)J
(s1(A),s2(A),...,sn(A)).
Riadkovou hodnosťou hr(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru Klxn generovaného riadkami matice A. Podobne, stĺpcovou hodnosťou hs (A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru KmXl generovaného stĺpcami matice A. Teda
hr(A) = dim[n(A), r2(A),..., rm(A)], h8(A) = dim[si(A), 82(A),..., sn(A)]
Označme (p: KnXl —► KmXl lineárne zobrazenie dané predpisom (p(x) = A ■ x pre x E KnXl. Pripomeňme, že hodnosťou lineárneho zobrazenia (p nazývame dimenziu jeho obrazu, t. j. h(ip) = dim Im y?. V našom prípade zrejme platí h(ip) = hs(A), keďže lineárny podpriestor Im (p C KmXl je generovaný stĺpcami matice A.
7.1.1. Lema.  Nech A E KmXn.
(a)  Nech matica B vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO. Potom [r1(A),r2(A),... ,rm(A)] = [ri(B),r2(B),..., rm(B)]. ^
(b)  Nech matica C vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO. Potom [Sl(A), 82(A),..., sn(A)] = [Sl(C), 82(C),..., sn(C)].
1
2
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Dôkaz. Zrejme pre ľubovoľné vektory u±,... ,Uk v každom vektorovom priestore V a ľubovoľný skalár c E K platí:
[itl,.. .,Ui,...,Uj,...,Uk] = [U!,...,^,.. .,Ui,. ..,Uk],
[ui,...,Ui,...,Uk] = [ui,..., cuí, ...,Uk]        (ak c ^ 0),
[Ui,. ..,Ui,...,Uj,...,Uk] = [Ui, ...,Ui,...,CUi + Uj,... ,Uk\.
7.1.2.  Tvrdenie.  Pre každú maticu A E KmXn platí hr(A) = hs(A).
Dôkaz. Upravme A pomocou ERO na redukovaný stupňovitý tvar B E KmXn a označme k počet nenulových riadkov v matici B. Podľa práve dokázanej lemy platí [ri(A),... ,rm(A)] = [n(B),... ,rm(B)]. Preto tiež hr(A) = hr(B). Keďže nenulové riadky matice B sú zrejme lineárne nezávislé (rozmyslite si prečo), hr(B) = k, čo je vlastne počet stĺpcov matice B, v ktorých sa nachádza vedúci prvok nejakého jej riadku. Označme 1 < ji < ... < jk < n indexy týchto stĺpcov. Podľa tvrdenia 4.5.3 vektory Sj1 (A),..., Sjk (A) sú lineárne nezávislé a platí [si(A),..., sn(A)] = [sj1(A),... ,Sjk(A)]. Preto tiež hs(A) = k = hr(A).
Kedze riadková a stĺpcová hodnosť ľubovoľnej matice A splývajú, túto ich spoločnú hodnotu budeme odteraz značiť jednoducho h(A) a nazývať hodnosťou matice A. Zrejme pre A E KmXn je h(A) < min(m, n).
Práve vykonané úvahy majú dva bezprostredné dôsledky.
7.1.3.  Tvrdenie.  Nech A E KmXn. Potom h(A) = h(AT).
7.1.4.   Tvrdenie. Nech Ui,...,un E KmXl sú ľubovolné vektory a A E KmXn je matica taká, že s j (A) = u j pre 1 < j < n. Potom
(a)   Ui,... ,un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď h (A) = n;
(b)   [ui,..., un] = KmXl práve vtedy, keďh(A) = m.
Všimnite si, že prípad (a) môže nastať iba vtedy, keď n < m; naopak, (b) môže nastať jedine za predpokladu m < n.
Sami si sformulujte a premyslite analogické tvrdenia pre riadkové vektory.
Ešte si dokážeme jeden odhad hodnosti súčinu matíc pomocou hodností jednotlivých činiteľov.
7.1.5.  Tvrdenie.  Nech A E KmXn, B E KnXP. Potom
h{A-B) <imn(h(A),h(B)).
Dôkaz. Označme ip: Kn —► Km, v/j: Kp —► Kn lineárne zobrazenia dané predpismi (p(x) = A ■ x pre x E Kn resp. ip(y) = B ■ y pre y E Kp. Zrejme lm(ip o ip) C. Im ip, preto
h(A ■ B) = h((p oý)< h((p) = h(A).
S využitím toho druhý potrebný odhad už dostaneme priamym výpočtom h(A ■ B) = h ((A ■ B)T) = h(BT ■ AT) < h(BT) = h(B).
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
3
7.2. Inverzné matice a inverzné lineárne zobrazenia
Nech A E KnXn, t. j. A je štvorcová matica typu n x n. Inverznou maticou k matici A rozumieme maticu B E KnXn takú, že
A   B = In = B   A.
Zrejme k danej štvorcovej matici A existuje najviac jedna inverzná matica (rozmyslite si prečo). Túto jednoznačne určenú maticu (ak existuje) budeme značiť A-1.
Nasledujúca veta je bezprostredným dôsledkom súvisu medzi lineárnymi zobrazeniami a ich maticami.
7.2.1.  Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad potom K a dimč7 = dim V = n. Nech ďalej ex, ß sú nejaké bázy v U, resp. vo V a A = (<p)a,ß je matica lineárneho zobrazenia <p: V —► U vzhľadom na bázy ß, ex. Potom k matici A existuje inverzná matica A-1 práve vtedy, keď k zobrazeniu <p existuje inverzné zobrazenie (p-1. V tom prípade A-1 je maticou lineárneho zobrazenia p>~x: U —► V vzhľadom na bázy ex, ß, t. j.
^ =  ((^W)"1 =  (Oft«
Hovoríme, že štvorcová matica A E KnXn je regulárna, ak k nej existuje inverzná matica A-1; v opačnom prípade hovoríme, že A je singulárna.
7.2.2.  Veta.  Matica A E KnXn je regulárna práve vtedy, keď h (A) = n.
Dôkaz. Označme <p: Kn —► Kn lineárnu transformáciu danú predpisom <p(x) = A-x pre x E Kn. K matici A existuje inverzná matica A-1 práve vtedy, keď k zobrazeniu <p existuje inverzné zobrazenie y-1, t. j. práve vtedy, keď <p je bijekcia. Podľa dôsledku 6.2.4 to nastane práve vtedy, keď <p je surjekcia, čiže limp = Kn, čo je ekvivalentné s rovnosťou dimlmip = n. Na dokončenie dôkazu si stačí spomenúť, že h (A) = h(<p) = dim Im <p.
Z praktických dôvodov bude užitočné si uvedomiť, že na to, aby sme sa presvedčili, že matica B E KnXn je inverzná k matici A E KnXn, stačí overiť len jednu (a to hocktorú) z rovností A ■ B = In, B ■ A = In.
7.2.3.   Tvrdenie. Pre ľubovoľné A, B E KnXn platí A ■ B = In práve vtedy, keď B   A = In.
Dôkaz. Označme ip, v/j: Kn —► Kn lineárne transformácie dané pre x E Kn predpismi <p(x) = A ■ x, resp. ip(x) = B ■ x. Nech A ■ B = In. To nastane práve vtedy, keď ip o -0 = id.Kn- Z toho vyplýva, že <p je surjekcia a i/j je injekcia (pozri paragraf 0.3). Keďže p), v/j sú lineárne transformácie konečnoroznierného vektorového priestoru, podľa dôsledku 6.2.4 to znamená, že <p aj i/j sú bijekcie, teda lineárne izomorfizmy, a i/j = <p~x. Potom však B = A-1, preto tiež B ■ A = In. Obrátená implikácia vyplýva zo symetrie tvrdenia.
S využitím posledného tvrdenia si ako cvičenie overte nasledujúce vzorce, z ktorých už vyplýva zvyšok tvrdenia.
4                              PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
7.2.4. Tvrdenie.  Nech A, B E KnXn sú regulárne matice. Potom aj matice A~x, A ■ B a AT sú regulárne a platí:
(A"1)"1 =A,         (A- B)-1 = B1 ■ A-1,         (AT)_1 = (A"1)T.
7.3. Realizácia ERO a ESO pomocou násobenia matíc
Prakticky všetky úlohy lineárnej algebry, s ktorými sme sa doteraz stretli, sme riešili tak, že sme danú situáciu reprezentovali nejakou vhodnou maticou, tú sme ďalej pomocou ERO upravili na redukovaný stupňovitý tvar a tento výsledný tvar sme potom interpretovali v závislosti na charaktere pôvodnej úlohy. Prezradme už vopred, že zatiaľ sme všetky úlohy, ktoré sa riešia úpravou matíc pomocou ERO prípadne ESO, zďaleka nevyčerpali. Naopak, táto metóda nás bude v lineárnej algebře neustále sprevádzať.
Skôr než pristúpime k ďalšiemu využitiu tejto metódy, tentoraz pri výpočte inverznej matice, však bude potrebné si uvedomiť, že ERO aj ESO možno realizovať pomocou násobenia matíc.
7.3.1. Tvrdenie.  Nech A E KmXn.
(a)  Nech B E KmXn vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO. Označme E maticu, ktorá vznikne z matice Im vykonaním tej istej ERO. Potom B = E ■ A.
(b)  Nech C E KmXn vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO. Označme F maticu, ktorá vznikne z matice In vykonaním tej istej ESO. Potom C = A ■ F.
Dôkaz. Možno overiť priamym výpočtom pre každý jednotlivý druh ERO resp. ESO. Ako cvičenie si to skúste napr. pre maticu A typu 3x2, resp. 3x3.
Štvorcové matice E E KnXn, ktoré vzniknú z jednotkovej matice In vykonaním jedinej ERO alebo ESO, nazývame elementárne matice. Posledná veta teda hovorí, že ľubovoľnú ERO (ESO) na matici A možno realizovať vynásobením matice A vhodnou elementárnou maticou E zľava (sprava).
7.4. Výpočet inverznej matice
Návod na výpočet inverznej matice k danej štvorcovej matici A E KnXn si možno najľahšie zapamätať v tvare nasledujúcej schémy:
(AIIJ^^IJA-1).
Tento postup má navyše tú výhodu, že sa nemusíme vopred starať, či inverzná matica k matici A existuje alebo nie. Ak A-1 existuje, tak ju nakoniec vypočítame, ak neexistuje, tak to odhalíme počas nášho výpočtu a ďalej v ňom nebudeme pokračovať. Celý postup si teraz vysvetlíme trochu podrobnejšie.
Bloková matica (A \ In) vznikne tak, že matice A a In jednoducho napíšeme vedľa seba. Túto maticu teraz budeme upravovať pomocou ERO tak, aby sme v ľavej časti z matice A dostali jednotkovú maticu In. Akonáhle sa nám to podarí, matica v pravej časti výslednej blokovej matice je už hľadaná matica A~x. Ak sa nám to nepodarí, t. j.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
5
matica A nie je riadkovo ekvivalentná s jednotkovou maticou (čo nastane práve vtedy, keď h (A) < n, a spoznáme to podľa toho, že sa nám v ľavej časti objaví nejaký nulový riadok), tak inverzná matica k matici A neexistuje.
Korektnosť uvedeného postupu vyplýva z nasledujúceho očividného tvrdenia a skutočnosti, že ERO možno reprezentovať násobením elementárnymi maticami zľava. Taktiež tu hrá úlohu fakt, že pre B E KnXn platí B = A~x práve vtedy, keď B ■ A = In, uvedený v tvrdení 7.2.3.
7.4.1.  Tvrdenie. Nech A E KnXn a Ei,E2,..., Ek E KnXn sú elementárne matice také, že Ek ■ ... ■ E2 ■ Ex ■ A = In. Potom A~x = Ek ■ ... ■ E2 ■ E1.
Poznamenajme, že k rovnakému cieľu vedie tiež postup reprezentovaný schémou:
A\   eso   ( In
Rozmyslite si prečo a sformulujte príslušné tvrdenie.
Z práve vykonaných úvah vyplývajú nasledujúce tri dôsledky. Posledný z nich je čiastočným obrátením odhadu hodnosti súčinu matíc za predpokladu regularity aspoň jedného z činiteľov.
7.4.2.  Tvrdenie. Matica A E KnXnje regulárna práve vtedy, keď ju možno rozložiť na súčin A = Ei ■ ... ■ Ek konečného počtu elementárnych matíc Ei,..., Ek E KnXn.
7.4.3.  Tvrdenie.  Pre ľubovoľné A, B E KmXn platí:
(a)   A ~ B, t. j. A je riadkovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna matica P E KmXm taká, že A = P   B;
(b)   A l B, t. j. A je stlpcovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna matica Q E KnXn taká, že A = B   Q.
7.4.4.  Tvrdenie. Nech A E KmXn, P E KmXm, Q E KnXn, pričom P, Q sú regulárne matice. Potom
h(A) = h(P ■ A) = h(A -Q) = h(P-A- Q).
Trochu všeobecnejšie možno uvedené úvahy použiť na násobenie ľubovoľnej matice vhodného rozmeru maticou A-1 (ak existuje) zľava resp. sprava. Tieto operácie možno uskutočniť pre regulárnu A E KnXn a ľubovoľné B E KnXm, C E KmXn podľa nasledujúcich schém:
(A | B) -^(In | A-1 -B),
A\      ESO      /      I-n
-¥
Ln
CJ         \C-A~1
Ešte si všimnime, že v špeciálnom prípade sme niečo podobné vlastne robili už dávno, pri riešení sústav lineárnych rovníc úpravou na redukovaný stupňovitý tvar pomocou ERO. Aj tento postup totiž možno vyjadriť pomocou schémy
(A\b)^+(B\c),
6
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
ktorá má pre regulárnu A E KnXn tvar
(A | b) -^(In | A-1 -b).
Ako vedľajší produkt našich úvah tak dostávame nasledujúci výsledok o riešení sústav n lineárnych rovníc o n neznámych.
7.4.5. Veta. Nech A E KnXn, b E Kn. Ak A je regulárna, tak sústava A- x = b má jediné riešenie x = A~x ■ b.
7.5. Matica prechodu
Nech V je vektorový priestor nad poľom K a ex = (ui,..., un), ß = (vi,..., vn) sú jeho dve bázy. Maticou prechodu z bázy ß do bázy ex nazývame maticu identického zobrazenia idy: V —► V vzhľadom na bázy ß, ex, ktorú značíme Pa,ß- Teda
Pa,ß = (Ídy)a,/3-
Podľa definície matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na dané bázy (pozri paragraf 6.4), stĺpce matice prechodu Pa,ß sú tvorené súradnicami vektorov bázy ß vzhľadom na bázu a, t. j. Sj(Pa,ß) = (vj)a pre 1 < j < n. Teda
Pa,ß =  ((Vl)a, Moc, • • • , (Vn)a),
a podľa vety 6.4.1 je táto matica jednoznačne určená podmienkou transformácie súradníc
(x)a = Pa,ß ■ (x)ß
pre ľubovoľné x E V.
Ak do zrejmej rovnosti x = ex ■ (x)a (pozri paragraf 5.3) budeme za x postupne dosadzovať vektory Vi,... ,vn bázy ß, s využitím vzťahu pre stĺpce súčinu matíc z paragrafu 2.3 dostaneme
v j = a ■ (vj)a = a ■ s3(POLiß) = s3(cx ■ Pa,ß)
pre každé 1 < j < n. Tým sme dostali ďalší dôležitý vzťah, ktorý jednoznačne charakterizuje maticu prechodu Pa,ß'-
OL ■ Pa,ß  = ß.
(Podotýkame, že súčin ex ■ Pa,ß treba chápať v zmysle paragrafu 2.3.)
Zhrnutím vykonaných úvah dostávame tri ekvivalentné charakterizácie matice prechodu.
7.5.1. Tvrdenie.  Nech ex, ß sú bázy n-rozmerného vektorového priestoru V nad potom K. Potom pre ľubovoľnú maticu P E KnXn nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) P = (idv)a,ß, t. j. P je matica prechodu z bázy ß do bázy ex;
(ii) (x)a = P ■ (x)ß pre každé x E V;
(iii) ex   P = ß.
Z definície matice prechodu a vety 6.4.2 okamžite vyplývajú nasledujúce rovnosti.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
7
7.5.2.  Tvrdenie. Nech ex, ß, 7 sú bázy konečnomzmerného vektorového priestoru V nad potom K. Potom
*OL,OL           J-m                 *ß,OL           *OL,ß        5                 ■*OS,/3   '   ■*   /3,~ľ           ■*0!,'7J
Z druhej z uvedených podmienok vidno, že matica prechodu Pa,/3 je vždy regulárna. Taktiež naopak, každá regulárna matica P E KnXn je maticou prechodu medzi vhodnou dvojicou báz.
7.5.3.  Tvrdenie. Nech V je n-rozmerný vektorový priestor nad potom K, P = (pij) E KnXn je ľubovoľná regulárna matica a ex = (ui,..., un) je nejaká báza vo V. Položme
ß = («x, ...,vn) = CfP,        7 = (tüi,..., wn) = ex ■ P1,
t. j. pre 1 < j < n platí v j = pijUi + ... + pnjUn a Wj = qijUi + ... + qnjUn, kde P-1 = (qij)nxn- Potom P je maticou prechodu z bázy ß do bázy <x a taktiež z bázy <x do bázy 7, čiže
Špeciálne, P je maticou prechodu z bázy (si(P),..., sn(P)) do bázy e = (ei,..., en) v Kn a taktiež z bázy e do bázy (si(P_1),..., sn(P~1)).
V prípade, keď V = Kn je priestor stĺpcových vektorov, možno každú jeho bázu a stotožniť s príslušnou regulárnou maticou, ktorej stĺpcami sú vektory danej bázy. Pri takomto stotožnení je návod na výpočet matice prechodu obsiahnutý v nasledujúcom tvrdení.
7.5.4.  Tvrdenie. Nech <x = (ui,... ,un), ß = (vi,..., vn) sú dve bázy stĺpcového vektorového priestoru Kn. Potom Pa,ß = £*_1 • ß.
Dôkaz. Z podmienky <x ■ Pa,ß = ß okamžite vyplýva požadovaná rovnosť.
To nám dáva návod na výpočet matice prechodu pre bázy <x, ß vektorového priestoru Kn podľa už známej schémy
{a\ß)^{In\Pa,ß) = {e\a-1-ß).
7.6. Matice lineárneho zobrazenia vzhladom na rôzne bázy
V tomto článku sa budeme zaoberať vplyvom zmeny báz na maticu lineárneho zobrazenia, presnejšie, vzťahom medzi maticami daného lineárneho zobrazenia vzhladom na rôzne dvojice báz.
7.6.1. Veta. Nech ip: Vi —► V2 je lineárne zobrazenie medzi konečnorozmernými vektorovými priestormi nad poľom K, <Xi, ßi sú dve bázy priestoru Vi a <X2, ß2 sú dve bázy priestoru V2. Potom
{{P)ß2,ßl    =   Pß2,OL2   '   {V)0L2,0L1    ■   PoL1,ß1-
8
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Dôkaz. Označme A = (<p)a2,a1, B = (<p)ß2,ß1 matice lineárneho zobrazenia <p vzhľadom na bázy cti, cx2, resp. bázy ßi, ß2. Pre ľubovoľné x E Vi platí:
B  ■   (a0/3i   =   (lPX)ß2   =  P/32,«2   •   (^)«2
= Pß2,a2 ' A ' \x)a1  = Pß2,a2 ' A ■ Pai,ß1 ' \X)ß1-
Na základe vety 6.4.1 z toho okamžite vyplýva dokazovaná rovnosť
B = Pß2,a2 ' A ■ Pc*i,/3i-
Poslednú transformační! formulku si možno najľahšie zapamätať pomocou nasledujúceho diagramu:
(Vi,ai)  --------->■ (V2,ct2)
ß2'a2
(V1,ß1)  ------->  (V2,ß2)
B
Nezabudnite, že zobrazenia skladáme „v obrátenom poradí", a tomu musí zodpovedať aj „obrátené poradie" násobenia matíc!
7.6.2. Príklad. Nech ip: Kn —► Km je lineárne zobrazenie a a, ß sú nejaké bázy priestorov Km resp. Kn. Označme A = (<p)a,ß, M = (ip)£(m)£(n) matice zobrazenia <p vzhľadom na bázy ß, a resp. vzhľadom na kanonické bázy e^n\ e^-m\ Podľa poslednej vety platí:
A  =  Pa>£(m.)   ■  M ■  P£(„))/3, M  =   P£(m)j0í   ■  A ■  Pß>£(n) ■
Ak stotožníme každú bázu s regulárnou maticou, ktorej stĺpce sú vektory tejto bázy, tak uvedené rovnosti nadobudnú tvar
A = a'1 ■ Im ■ M ■ I"1 • ß = a'1 ■ M ■ ß, M = J"1 • a • A  ß-1   In = a- A  ß'1,
umožňujúci priamy výpočet jednej z matíc A, M na základe znalosti báz ex, ß a. druhej z nich.
Položme si teraz obrátenú otázku. Za akých podmienok sú matice A, B G KmXn maticami toho istého lineárneho zobrazenia <p>: V —► U vzhľadom na nejaké dve (možno no nie nutne rôzne) dvojice báz konečnorozmerných vektorových priestorov U, VI Odpoveď na ňu dáva nasledujúca veta.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
9
7.6.3.  Veta. Nech U je m-rozmerný a V je n-rozmerný vektorový priestor nad potom K. Potom pre ľubovoľné matice A, B E KmXn nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i) A, B sú maticami toho istého lineárneho zobrazenia ip: V —► U vzhľadom na
nejaké dve (možno no nie nutne rôzne) dvojice báz priestorov U, V; (ii) existujú regulárne matice P E KmXm, Q E KnXn také, že B = P   A   Q; (iii) h(A) = h(B).
Dôkaz. Ekvivalencia (i) •£>• (ii) je priamym dôsledkom vety 7.6.1 a tvrdenia 7.5.3. Implikácia (ii) =>- (iii) vyplýva z tvrdenia 7.4.4.
Zostáva dokázať (iii)=^(ii). Označme h = h (A) = h(B). Pomocou ERO upravíme A aj -B na redukovaný trojuholníkový tvar A' = P\- A, resp. B' = P2 ■ B, kde Pi, P2 sú regulárne matice. Zrejme A', B' majú rovnaký počet nenulových riadkov rovný h. A' aj B' možno ďalej pomocou ESO upraviť na blokový tvar
A" = A'-Q1=(    Ih        n°h'n~h   )=B'-Q2 = B",
kde Qi, Q2 sú regulárne matice. Stačí pomocou vedúcich prvkov jednotlivých riadkov vynulovat' prípadné ďalšie nenulové prvky týchto riadkov a, ak treba, vymeniť poradie niektorých stĺpcov. Potom Pľ A Qľ = P2 B Q2, teda B = P2_1 Pľ A Qľ Q^1 a matice P = P2~   • -Pi, Q = Q\ ■ Q^   sú zrejme regulárne.
Na základe dôkazu tejto vety okamžite dostávame záverečný výsledok.
7.6.4.  Veta. Pre každé lineárne zobrazenie ip: V —► U medzi konečnorozmernými vektorovými priestormi nad poľom K možno zvoliť bázu ß priestoru V a bázu ex priestoru U tak, že ip má vzhľadom na bázy ß, ex maticu v blokovom tvare
/    \               /        Ih              Oh,n-h       \
\ Vm—hjh      ^m—hj-n—h J
kde n = áiiaV, m = dimč7 a h = h(ip).
Skúste si túto vetu dokázať priamo a bližšie špecifikovať bázy ß a ex. (Návod: Spomeňte si na dôkaz vety 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu.)
Cvičenia
1.   Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a cp: V —> U je lineárne zobrazenie. Potom pre ľubovoľné vektory v\,. . ., vn E V platí <p[v\,. . ., vn] = [<p(v\),. . . , <p(vn)]. Dokážte. Odvoďte z toho, že ak vi,. . . ,vn generujú V, tak ip(vi),.. . ,ip(vn) generujú Imip. Špeciálne, stĺpce matice A. E KrnXn generujú lineárny podpriestor Im9? C Krn, kde cp: Kn —> Krn je dané predpisom f (x) = A. ■ x.
2.   Určte hodnosť matice A. nad poľom K:
(*)K = R,A=(H-1);                          (b)X = C,A=(i+;^;4_V
/ 1 1 2\                                                                                / 1 1 2
(c) K = Z7, A =     3 5 4    ;                                   (d) K = Z17, A=[ 3 5 4
V 1 3 0/                                                                       V 1 3 0
3.   (a) Dokážte vzorce z tvrdenia 7.2.4.
10
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(b)  Dokážte, že pre ľubovolnú maticu A G KnXn a k, l G N platí Ak ■ A1 = Ak+l a (Ak)1 = Akl.
(c)  Pre regulárnu maticu A G XnXn rozšírte definíciu jej mocniny Ak na ľubovovoľný celočíselný exponent k a dokážte rovnosti Ak ■ A1 = Afe+Ž, (Ak)1 = Akl pre všetky fc,I £ Z (porovnaj s cvičením 2.13).
(d)  Za akých okolností platí pre matice A, B G xnXn rovnosť (A- B)k = Ak ■ Bk pre ľubovoľné k G N?
(e)  Za akých okolností platí pre regulárne matice A, B G xnXn rovnosť (A • B)fe = Bk ■ Ak pre ľubovoľné k G Z?
(f)  Nájdite príklad regulárnych matíc A, B G R2x2 takých, že všetky štyri matice (A • B)-2, (B ■ A)-2, A-2 • .B-2, B-2 • A-2 sú rôzne. Dá sa táto úloha riešiť aj bez počítania inverzných matíc?
4.   Nech P G KnXn je regulárna matica. Potom pre ľubovoľné matice A G KrnXn, B G KnXq platí /i(A • P) = /i(A), h(P ■ B) = h(B). Dokážte.
5.   Zistite, či uvedená matica A nad poľom K je regulárna; v tom prípade vypočítajte k nej inverznú maticu A-1:
/3 2 i\                                                  /i Vž Vě\
(a) X = Q, A =     4 2 i    ;                                   (b) K = K, A =     o   i   Vä   ;
V i o i/                                                                    Vo  o    i /
(c) K = C, A = ( ^ 1-i);                               (d) K = C, A = ( ^ ^
/ i io\                                                                     /i i o
(e) K = Z2, A =     i o i    ;                                   (f) K = Z3, A =     i o i
V o i i /                                                                    V o i i
6.   Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A-1 • B (ak A je regulárna):
(a)A=(-2_12),B=(--);                      (b) A = ( i -^2 o ) , B = ( ^ 2
Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu A • C     mali by ste dostať B. 7'.   Pre matice A, B nad poľom M vypočítajte maticu C = A ■ B-1 (ak B je regulárna):
(a) A= (I305V B= (025);                       (b) A= (10V B= (21
Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu C ■ B     mali by ste dostať A.
8.   Ná základe skúseností nadobudnutých v cvičeniach 5, 6 a 7 dokážte tvrdenie 7.3.1.
9.   Nájdite inverzné matice k maticiam Ra,  Sa  z príkladov 6.4.3, 6.4.4. Vysvetlite geometrický význam získaných výsledkov.
/ 1 1 i\              /  1    o  cr
10.   Bázy ex, ß vektorového priestoru R3 sú tvorené stĺpcami matíc     o 1 1  I resp.      -110
Vo o 1/             V  o   -1 1.
(a)  Nájdite matice prechodu Pe,a, Pß,e, Pa,ß a ^3,a-
(b)  Vektor x G M3 má vzhľadom na bázu ß súradnice (2,7,1)T. Nájdite vektor x ako aj jeho súradnice vzhľadom na bázu ex.
/ 1 o 1 \
11.   Báza ex vektorového priestoru R3 je tvorená stĺpcami matice     213    . Nájdite bázy ß, ~y pries-
Vo 2 1 / / 1 2 1 \                       / o 1 o\
toru M3, ak poznáte matice prechodu Pa ß =     2 1 2 J  a Py>a =     201 J. Vypočítajte matice
V 1 o 1 /            '          V 1 1 1/
prechodu Pß -y a P-y%ß-
12.   Lineárne zobrazenie íp: M3 —► M.4 je dané predpisom <p(x, y, z)T = (x + y, x — y, 3x + y + z, z)T.
(a)   Nájdite maticu zobrazenia cp vzhľadom na bázy ß priestoru R3 a a priestoru M    tvorené
/ o   1   o   1
stĺpcami matíc     1 2 3 I resp.         ~      ~
^149y^             V0001
(b)  Nech x = (1, —4, 3)T G M3. Nájdite súradnice vektora <p(x) G M4 vzhľadom na bázu ex.
(c)  Vektor y G M3 má vzhľadom na bázu ß súradnice (1,1,1)T. Nájdite vektor <p(y) G M4.
(d)  Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi - vysvetlite ako.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
11
(e) Určte hodnosť h zobrazenia ip a nájdite nejaké bázy priestorov R3, R4, vzhľadom na ktoré má matica íp blokový tvar (   Z1     j. Napíšte explicitne túto maticu.
13.   Lineárne zobrazenie ip: R4 —► M3 má vzhľadom na bázy ß priestoru M4 a a priestoru R3 tvorené
,    / j   o   i o\             /'1~10^                          /o 5 o 7N
stĺpcami matíc         _             resp.     o   i   -i     maticu A =     1122
Vo   0    10/             VO   0      1   V                          V5290,
(a)  Nájdite maticu zobrazenia ip vzhľadom na kanonické bázy e*-4-*, e*-3-*.
(b)  Nech u = (2,1,0, — 1)T G R4. Nájdite súradnice vektora ip(u) G R3 vzhľadom na bázu a.
(c)  Vektor v G M4 má vzhľadom na bázu ß súradnice (1, —1,1, — l)T. Nájdite vektor tp(v) G M3.
(d)  Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi - vysvetlite ako.
(e)  Určte hodnosť h zobrazenia ip a nájdite nejaké bázy priestorov M4, M3, vzhľadom na ktoré má
matica ip blokový tvar (   Z1     j. Napíšte explicitne túto maticu.
14.   Dokážte, že £ = Qn> =(1,1+ x, (1 + x)2,.. . , (1 + x)") je bázou vektorového priestoru W-n> [x] a nájdite matice prechodu i^ £, Pc,£> ^de £ = £       = (l)x)x2) • • • )xTl) Je kanonická báza priestoru
R(")[x].