8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA Keď sme v paragrafe 4.1, odvolávajúc sa na geometrický názor, ilustrovali pojem lineár- neho podpriestoru, ako príklad sme uviedli, že netriválne vlastné lineárne podpriestory " nášho" trojrozmerného vektorového priestoru R3 sú práve priamky a roviny prechá- dzajúce počiatkom 0. Kritickejší čitateľ mohol vtedy oprávnene zapochybovať o adek- vátnosti a prirodzenosti tohto pojmu, či aspoň pocítiť potrebu zaviesť taký pojem pod- priestoru, ktorý by napr. v R3 zahŕňal všetky priamky a roviny, nielen tie prechádzajúce počiatkom. Podobne sme v paragrafe 6.1 hneď po definícii pojmu lineárneho zobrazenia boli nútení učiniť poznámku o jeho odlišnosti od pojmu lineárnej funkcie používaného v matematickej analýze. Vzápätí sme prijali záväzok, že sa s týmto nedostatkom v prí- hodný čas vyrovnáme. Ten čas práve nastal. Spomínané medzery zaplníme definíciami pojmu afinného pod- priestoru alebo tiež lineárnej variety a pojmu afinného zobrazenia. Afinita znamená príbuznosť, spriaznenosť. Čitateľ sám uvidí, že objekty označené prívlastkom " afinný" sú úzko spriaznené so zodpovedajúcimi objektmi nesúcimi prívlastok " lineárny". Ťažis- kom kapitoly bude klasifikácia vzájomnej polohy afinných podpriestorov vo vektorovom priestore. 8.1. Body a vektory Na vektory, čiže na prvky vektorových priestorov ­ aspoň pokiaľ ide o konečnoroz- merné vektorové priestory nad R, ­ sa dívame ako na orientované úsečky s počiatkom v bode 0. Už táto veta prezrádza, že pôvodne sa na prvky takéhoto priestoru dívame ako na body a celý priestor chápeme ako homogénny, t. j. všetky body považujeme za rovnocenné a nevyčleňujeme v ňom nijaký privilegovaný bod za počiatok. Až na základe tohto pôvodného porozumenia dokážeme po vyčlenení nejakého počiatku O (ktorým sa môže stať ľubovoľný bod homogénneho priestoru) nahradiť bod A príslušného priestoru orientovanou úsečkou - OA a následne abstrahovať od jej polohy, to znamená uvidieť za ňou vektor u = - OA, daný len jej veľkosťou, smerom a orientáciou, ktorý možno umiestniť do ľubovoľného bodu priestoru ­ nielen do počiatku. Afinným priestorom nad poľom K rozumieme vektorový priestor V nad týmto poľom, pri pohľade na ktorý sme sa vrátili k onomu pôvodnému porozumeniu jeho štruktúre a prvkom. Tie sa z vektorov stali opäť bodmi a počiatok (t. j. nulový vektor) stratil svoje výsadné postavenie ­ stal sa z neho bod ako každý iný. Formálnu definíciu afinného priestoru nad poľom K tu uvádzať nebudeme. Sme to- tiž toho názoru, že matematická formalizácia rozdielu medzi oboma spomínanými po- hľadmi na prvky vektorového priestoru by v tejto chvíli vniesla do veci viac zmätku než svetla. Celkom postačí, keď úlohu prepínača medzi oboma pohľadmi zveríme dvojiciam slov " bod" ­ " vektor" a " afinný" ­ " lineárny", prípadne " afinný" ­ " vektorový". Na druhej 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA strane však pred nami vyvstáva potreba formálnej definície podmnožín vektorového priestoru, ktoré sú " vernými kópiami" lineárnych podpriestorov ­ nemusia však prechá- dzať počiatkom, ale možu byť umiestnené " kdekoľvek". 8.2. Afinné podpriestory V celom tomto a nasledujúcich dvoch paragrafoch V označuje nejaký pevný, no inak ľubovoľný, vektorový priestor nad poľom K a m, n sú prirodzené čísla. Kvôli pohodliu čitateľa budeme písmenami p, q, r (možno s indexmi) značiť výlučne body, u, v, w označujú zasa výlučne vektory, kým x, y, z môžu podľa potreby označovať body i vektory. Taktiež sa dohodneme, že rozdiel dvoch bodov budeme chápať ako vektor, kým súčet bodu a vektora ako bod. Nech p, q V , p = q. Priamkou prechádzajúcou alebo tiež určenou bodmi p, q rozumieme množinu (p, q), ktorú dostaneme tak, že do bodu p umiestnime všetky možné skalárne násobky vektora q - p. Typický bod priamky (p, q) má teda tvar x = p + t(q - p) = (1 - t)p + tq, kde t K, čiže (p, q) = {sp + tq; s, t K & s + t = 1} V. Tento výraz má, samozrejme, zmysel aj pre p = q, vtedy však nejde o priamku ale o jednobodovú množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihneď vidíme, že (p, q) = (q, p) pre ľubovoľné p, q V . Lineárnu kombináciu, t. j. výraz tvaru t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn = n i=0 tipi, kde n N, p0, . . . , pn V , t0, t1, . . . , tn K, nazývame afinnou kombináciou bodov p0, p1, . . . , pn, ak platí t0 + t1 + . . . + tn = 1. Výsledok afinnej kombinácie bodov bu- deme chápať ako bod; iné lineárne kombinácie bodov ako afinné sa v našich úvahách nevyskytnú. (Ešte si všimnite, že každá afinná kombinácia je neprázdna, t. j. obsahuje aspoň jeden člen.) Neprázdnu podmnožinu M vektorového priestoru V nazývame jeho afinným pod- priestorom, prípadne lineárnou varietou vo V , ak pre všetky body p, q, r M a každý skalár s K platí sp + (1 - s)q M a p - q + r M. Inak povedané, = M V je afinný podpriestor, ak M je uzavretá vzhľadom na afinné kombinácie uvedených dvoch typov. Prvá podmienka znamená, že pre všetky p, q M platí (p, q) M, t. j. M s každou dvojicou bodov obsahuje celú priamku nimi určenú. Druhú podmienku dodávame len kvôli poliam charakteristiky 2; ak char K = 2, tak už vyplýva z prvej, takže je vlastne zbytočná. Na druhej strane, napr. vo vektorovom priestore V nad poľom Z2 pre všetky body p, q V platí (p, q) = {p, q}, teda len prvej podmienke by vyhovovala každá podmnožina M V . Podrobnejšie o tom pojednáva nasledujúce tvrdenie, ktoré je očividne analógiou tvrdenia 4.1.2. 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 3 8.2.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú neprázdnu množinu M V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) M je afinný podpriestor vo V , t. j. pre ľubovoľné p, q, r M, s K platí sp + (1 - s)q M a p - q + r M; (ii) M je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné afinné kombinácie trojíc bodov, t. j. pre všetky p, q, r M, s, t K platí sp + tq + (1 - s - t)r M; (iii) M je uzavretá vzhľadom na akékoľvek afinné kombinácie, t. j. pre všetky n N, body p0, p1, . . . , pn M a skaláry t0, t1, . . . , tn K také, že t0 + t1 + . . . + tn = 1, platí t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn M; Ak char K = 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou (i- ) pre ľubovoľné p, q M, s K platí sp + (1 - s)q M. Dôkaz. Implikácie (iii) (ii) (i) sú zrejmé aj bez predpokladu char K = 2. Doká- žeme implikáciu (i) (iii); pri dôkaze vyjde navyše najavo, že pre char K = 2 stačí na odvodenie záveru (iii) slabšia podmienka (i- ) miesto (i). Predpokladajme (i) (teda tým skôr (i- )) a pripusťme, že podmienka (iii) neplatí. Označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré to nastane. Potom n 2 a pre všetky k < n podmienka (iii) platí, čiže M je uzavretá na afinné kombinácie n bodov. Nech p0, . . . , pn M, t0, . . . , tn K sú také, že t0 + . . . + tn = 1 a t0p0 + . . . + tnpn / M. Treba zvážiť dve možnosti. (a) Ak ti = 1 pre aspoň jedno i n, tak bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpo- kladať, že t0 = 1. Označme q = t1 1 - t0 p1 + . . . + tn 1 - t0 pn. Keďže t1 1 - t0 + . . . + tn 1 - t0 = t1 + . . . + tn 1 - t0 = 1, q M, lebo q je afinnou kombináciou n bodov z M. Potom t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn = t0p0 + (1 - t0)q M vyplýva už z podmienky (i- ). To je však spor. (b) Ak ti = 1 pre všetky i n, tak ide o afinnú kombináciu p0 +p1 +. . .+pn-1 +pn a t1 +. . .+tn-1 = -1. Potom q = -p1 -. . .-pn-1 je afinnou kombináciou n-1 bodov z M, teda q M. Podľa druhej z podmienok v (i) máme p0 + p1 + . . . + pn-1 + pn = p0 - q + pn M, čo je opäť spor. Ak char K = 2, možno sa zaobísť bez tejto podmienky. Keďže 1 2 + 1 2 = 1, už z (i- ) vyplýva 1 2 p0 + 1 2 pn M. Nakoľko 2 + (-1) = 1, opäť len z (i- ) dostávame p0 + p1 + . . . + pn-1 + pn = 2 1 2 p0 + 1 2 pn - q M. 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Poznámka. Ak char K = , tak možnosť (b) zrejme nemôže nastať, teda v uvedenom dôkaze stačí uvažovať len možnosť (a). Zároveň vidno, že v druhej časti bodu (b) je podstatný predpoklad char K = 2. Bez neho by sme totiž nevedeli zaručiť existenciu prvku 1/2 = 2-1 K inverzného k prvku 2 = 1 + 1 K. Nasledujúca veta ukazuje, že afinné podpriestory skutočne nie sú ničím iným, než lineárnymi podpriestormi posunutými do ľubovoľného bodu príslušného vektorového priestoru. 8.2.2. Veta. Nech M V . Potom M je afinný podpriestor vo V práve vtedy, keď existuje bod p V a lineárny podpriestor S V taký, že M = p + S = {p + u; u S}. V tom prípade pre všetky q, r M, u S platí q - r S, q + u M, M = q + S, S = {x - q; x M} = {x - y; x, y M}. Dôkaz. Nech M V je afinný podpriestor a p M je jeho ľubovoľný bod. Položme S = {x - p; x M}. Potom zrejme M = p + S. Stačí teda dokázať, že S V je lineárny podpriestor. Keďže p M, platí 0 = p - p S. Ukážeme uzavretosť S na lineárne kombinácie. Nech u, v S, a, b K. Potom u = x - p, v = y - p pre nejaké x, y M. Jednoduchý výpočet dáva au + bv = a(x - p) + b(y - p) = ax + by + (1 - a - b)p - p. Prvé tri sčítance tvoria afinnú kombináciu bodov z M, teda ax+by +(1-a-b)p M; preto tiež au + bv S Nech naopak M = p + S pre nejaký bod p V a lineárny podpriestor S V . Podľa tvrdenia 8.2.1 stačí ukázať uzavretosť M na afinné kombinácie trojíc. Nech x, y, z M, s, t K. Potom x = p + u, y = p + v, z = p + w pre nejaké u, v, w S. Počítajme sx + ty + (1 - s - t)z = s(p + u) + t(p + v) + (1 - s - t)(p + w) = p + su + tv + (1 - s - t)w. Keďže tu + sv + (1 - s - t)w S, dostávame sx + ty + (1 - s - t)z M. Ďalšie tri podmienky možno teraz overiť priamymi výpočtami, ktoré prenechávame čitateľovi; štvrtá z nich okamžite vyplýva. 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 5 8.2.3. Dôsledok. Každý lineárny podpriestor S vektorového priestoru V je jeho afin- ným podpriestorom. Afinný podpriestor M vektorového priestoru V je jeho lineárnym podpriestorom práve vtedy, keď 0 M. Zameraním alebo tiež smerovým podpriestorom afinného podpriestoru M V na- zývame lineárny podpriestor Dir M = {x - y; x, y M} V. (Označenie pochádza z anglického slova direction). Podľa vety 8.2.2 je Dir M jediný lineárny podpriestor vo V taký, že M = p + Dir M pre nejaké (pre každé) p M. Taktiež pre každé p M platí Dir M = {x - p; x M}. Pre každú usporiadanú (n + 1)-ticu bodov (p0, . . . , pn), vektorového priestoru V , prípadne pre jeho konečnú neprázdnu podmnožinu {p0, . . . , pn}, označme (p0, . . . , pn) = {t0p0 + . . . + tnpn; t0, . . . , tn K & t0 + . . . + tn = 1} množinu všetkých afinných kombinácií bodov p0, . . . , pn. Z práve dokázaného tvrdenia vyplýva, že (p0, . . . , pn) je najmenší afinný podpriestor vo V , ktorý obsahuje všetky body p0, . . . , pn; nazývame ho afinný obal bodov p0, . . . , pn alebo tiež afinný podpries- tor generovaný bodmi p0, . . . , pn. Vo všeobecnosti možno pre ľubovoľnú (i nekonečnú) neprázdnu množinu X V de- finovať jej afinný obal (X), nazývaný tiež afinný podpriestor generovaný množinou X, ako množinu všetkých (konečných) afinných kombinácií bodov z X. Opäť platí, že (X) je najmenší afinný podpriestor vo V , pre ktorý X (X). 8.2.4. Tvrdenie. Nech p0, p1, . . . , pn V . Potom (p0, p1, . . . , pn) = p0 + [p1 - p0, . . . , pn - p0], Dir (p0, p1, . . . , pn) = [p1 - p0, . . . , pn - p0]. Dôkaz prenechávame ako cvičenie čitateľovi. Dimenziou alebo tiež rozmerom afinného podpriestoru M V , označenie dim M, nazývame dimenziu jeho zamerania, teda dim M = dim Dir M. Body p0, p1, . . . , pn vektorového priestoru V nazývame afinne nezávislé, ak vektory p1 - p0, . . . , pn - p0 sú lineárne nezávislé. Z nasledujúceho očividného tvrdenia okrem iného vyplýva, že body p0, p1, . . . , pn V sú afinne nezávislé práve vtedy, keď pre nejaké (pre každé) 0 k n vektory pj - pk, kde 0 j n a j = k, sú lineárne nezávislé. Inak povedané, platí 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 8.2.5. Tvrdenie. Body p0, p1, . . . , pn V sú afinne nezávislé práve vtedy, keď dim (p0, p1, . . . , pn) = n Zrejme 0-rozmerné afinné podpriestrory vo V sú práve všetky body p V (pres- nejšie, všetky jednobodové podmnožiny vo V ). Tieto afinné podpriestory nazývame tiež triviálne. Jednorozmené afinné podpriestory vo V nazývame priamkami. Každá priamka má naozaj tvar (p, q) pre nejaké afinne nezávislé (t. j. rôzne) body p, q V . Dvojrozmerné afinné podpriestory vo V nazývame rovinami. Taktiež samotný priestor V je svojim nevlastným afinným podpriestorom. Ak dim V = n, tak (n - 1)-rozmerné afinné podpriestory vo V nazývame nadrovinami. Kým pojmy " bod", " priamka" a " rovina" sú absolútne v tom zmysle, že závisia len na dimenzii príslušného afinného podpriestoru, pojem nadroviny je relatívny, lebo závisí na vzťahu dimenzií afinného podpriestoru a celého priestoru. Napríklad ak dim V = 1 (t. j. ak samotné V je priamka), tak každý bod vo V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmernom priestore (t. j. v rovine) sú zasa všetky priamky. V trojrozmernom priestore V pojmy roviny a nadroviny splývajú. V štvorrozmernom priestore sú zasa nadrovinami trojrozmerné podpriestory; atď. Ešte poznamenajme, že v 0-rozmernom (t. j. jednobodovom) priestore V niet priamok, rovín ani nadrovín. 8.3. Prienik a spojenie afinných podpriestorov V tomto paragrafe mierne zovšeobecníme niektoré výsledky paragrafov 4.3 a 5.4. o prie- niku a súčte lineárnych podpriestorov do podoby použiteľnej pre afinné podpriestory. 8.3.1. Tvrdenie. Nech M, N V sú afinné podpriestory. Potom M N je afinný podpriestor vo V práve vtedy, keď M N = . V tom prípade Dir(M N) = Dir M Dir N. Dôkaz. Ak M N = , tak to samozrejme nie je afinný podpriestor. Nech M N = . Označme S = Dir M, T = Dir N príslušné smerové podpriestory. Zvoľme ľubovoľný bod p M N. Stačí dokázať rovnosť M N = p + (S T). Zvoľme q M N. K nemu existujú u S, v T také, že q = p + u = p + v. Potom u = v S T a q p + (S T). Teda M N p + (S T). Obrátená inklúzia je triviálna. Neprázdnosť prieniku M N možno zaručiť za predpokladu, že lineárny priestor Dir M + Dir N je " dosť veľký". 8.3.2. Tvrdenie. Nech M, N V sú afinné podpriestory. Potom Dir M + Dir N = V M N = . 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 7 Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Zvoľme ľubovoľné p M, q N. Keďže S + T = V , existujú vektory u S, v T také, že q - p = u + v. Potom q = p + (q - p) = p + u + v V dôsledku toho p + u = q - v M N, lebo p + u M a q - v N. Spojením afinných podpriestorov M, N V , označenie M N, nazývame afinný obal ich zjednotenia. Teda M N = (M N). Zrejme M N je najmenší afinný podpriestor vo V , ktorý obsahuje M aj N, a pre lineárne podpriestory S, T V platí S T = S + T. 8.3.3. Tvrdenie. Nech M, N V sú afinné podpriestory. (a) Ak M N = , tak Dir(M N) = Dir M + Dir N, M N = M + Dir N = N + Dir M. (b) Ak M N = , tak pre ľubovoľné p M, q N platí Dir(M N) = [q - p] + Dir M + Dir N, M N = M + ([q - p] + Dir N) = N + ([q - p] + Dir M). Poznámka. Stojí za zmienku, že obe rovnosti z (b) sú splnené aj za predpokladu M N = . V tom prípade však pre ľubovoľné r M N platí q - p = (r - p) + (q - r) Dir M + Dir N, takže vektor q - p možno v príslušných vzťahoch vynechať. Rovnako tomu bude i v príklade 8.3.5. Dôkaz. Stačí dokázať len (b), lebo (a) z neho vyplýva vo svetle našej poznámky. Označ- me S = Dir M, T = Dir N a zvoľme p M, q N. Budeme dokazovať iba rovnosť M N = p + [q - p] + S + T; zvyšok je už jej bezprostredným dôsledkom. Každý bod r M N je afinnou kombináciou r = m i=0 sipi + n j=0 tjqj kde p0, . . . , pm M, q0, . . . , qn M, s0, . . . , sm, t0, . . . , tn K a i si + j tj = 1. Potom pi-p S, qj -q T pre i m, j n. Označme s = s0+. . .+sm, t = t0+. . .+tn a počítajme r = (sp + tq) + m i=0 si(pi - p) + n j=0 tj(qj - q) = p + t(q - p) + m i=0 si(pi - p) + n j=0 tj(qj - q) p + [q - p] + S + T, 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA keďže s = 1 - t. Teda M N p + [q - p] + S + T. Obrátená inklúzia je triviálna. 8.3.4. Dôsledok. Nech M, N V sú konečnorozmerné afinné podpriestory. Potom dim(M N) = dim M + dim N - dim(M N), ak M N = , dim M + dim N - dim(Dir M Dir N) + 1, ak M N = . 8.3.5. Príklad. Vo vektorovom priestore V uvažujme konečnorozmerné afinné pod- priestory M = p + [u1, . . . , um], N = q + [v1, . . . , vn]. Potom M N = p + [u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M N = , p + [q - p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M N = , dim(M N) = dim[u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M N = , dim[q - p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn]), ak M N = . Ak navyše predpokladáme, že tak vektory u1, . . . , um ako aj vektory v1, . . . , vn sú lineárne nezávislé, tak dim(M N) = m + n - k, ak M N = , m + n - k + 1, ak M N = , kde k = dim([u1, . . . , um] [v1, . . . , vn]). 8.3.6. Príklad. V stĺpcovom priestore R4 sú dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, -3, 1, -1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, -2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a bližšie neurčené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] sú lineárne podpriestory a M = p + S, N = q + N sú afinné podpriestory v R4 . Nájdeme dimenzie lineárnych podpriestorov S + T, S T a afinných podpriestorov M N, M N v závislosti na p, q. Lineárny podpriestor S + T je generovaný stĺpcami blokovej matice 1 0 1 2 -3 1 3 1 0 4 -1 0 0 2 0 -2 6 0 4 2 1 3 5 1 , pričom stĺpce ľavého bloku generujú lineárny podpriestor S a stĺpce pravého bloku lineárny podpriestor T. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s blokovou maticou 1 0 1 0 1 -3 0 0 3 0 0 0 0 2 0 4 -4 0 -3 3 1 0 0 1 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 9 v stupňovitom tvare, ktorej riadky majú vedúce prvky v stĺpcoch 1, 2, 3 a 6. Hneď vidíme, že vektory x, y, z tvoria bázu S a vektory x, y, z, w bázu S+T. Doupravovaním pravého bloku na riadkovo ekvivalentný stupňovitý tvar 4 -4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 sa možno presvedčiť, že i vektory u, v, w sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu T. Zhrnutím dostávame dim S = dim T = 3, dim(S + T) = 4. Odtiaľ podľa vety 5.4.1 vyplýva dim(S T) = 3 + 3 - 4 = 2. Takže S + T = R4 , a bez toho, že by sme čokoľvek ďalej počítali, z tvrdenia 8.3.2 vieme, že nezávisle na bodoch p, q platí M N = . Preto dim(M N) = dim(S T) = 2 podľa tvrdenia 8.3.1. S použitím tvrdenia 8.3.3 a dôsledku 8.3.4 dostávame dim(M N) = dim(S + T) = 4. 8.4. Vzájomná poloha afinných podpriestorov V tomto paragrafe podáme sľúbenú klasifikáciu vzájomnej polohy dvojíc netriviálnych vlastných afinných podpriestorov vo vektorovom priestore V . (Hoci to nie je z logického hľadiska nevyhnutné, aby sme sa vyhli triedeniu trivialít, body a celý priestor V z na- šich úvah vylučujeme.) Táto téma prirodzeným spôsobom rozširuje látku stredoškolskej geometrie, zahŕňajúcu klasifikáciu vzájomnej polohy priamok v rovine resp. priamok a rovín v (trojrozmernom) priestore. Polohu netriviálnych vlastných lineárnych variet M, N V budeme klasifikovať na základe dvoch kritérií: (A) Ak platí Dir M Dir N Dir N Dir M, hovoríme, že M, N sú rovnobežné a píšeme M N. V opačnom prípade, t. j. ak platí Dir M Dir N & Dir N Dir M, hovoríme, že M, N nie sú rovnobežné, a píšeme M N. (B) Ak platí M N = , hovoríme, že M, N sa pretínajú. V opačnom prípade, t. j. ak M N = , hovoríme, že M, N sa nepretínajú, alebo, že sú disjunktné. Celkovo teda dostávame štyri možnosti: (1) M N & M N = , čiže M, N sú rovnobežné a pretínajú sa. Ľahko možno nahliadnuť, že v takom prípade platí Dir M Dir N M N a Dir N Dir M N M. Teda M N alebo M N. Hovoríme, že jedna z lineárnych variet M, N je podvarietou druhej, alebo, že M, N sú vo vzťahu inklúzie. (2) M N & M N = , čiže M, N sú rovnobežné a nepretínajú sa. Tento prípad nazývame vzťahom pravej rovnobežnosti. (3) M N & M N = , čiže M, N nie sú rovnobežné a pretínajú sa. Hovoríme, že M, N sú rôznobežné. (4) M N & M N = , čiže M, N nie sú rovnobežné a nepretínajú sa. V tomto prípade ešte rozlišujeme dve ďalšie možnosti: 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA (4a) Ak Dir M Dir N = {0}, hovoríme, že M, N sú mimobežné. (4b) Ak Dir M Dir N = {0}, hovoríme, že M, N sú čiastočne rovnobežné. Prípady (1), (2), (3) sú nám dobre známe zo stredoškolskej planimetrie, s prípadom (4) sa však v rovine stretnúť nemožno ­ dve priamky v rovine buď splývajú alebo sú to pravé rovnobežky alebo rôznobežky. Zo stredoškolskej stereometrie, okrem prípadov (1), (2), (3), ktoré sa realizujú vo vzájomných polohách dvojíc priamok, dvojíc rovín ako i priamky a roviny v trojrozmernom priestore, poznáme aj prípad (4a) ­ ide o prí- pad mimobežných priamok. S prípadom (4b), t. j. s prípadom čiastočnej rovnobežnosti sme sa však dosiaľ nestretli a nedokážeme ho spojiť so žiadnou názornou geometrickou predstavou. Nie je to náhoda. Platí totiž nasledujúce tvrdenie. 8.4.1. Tvrdenie. Nech M, N V sú čiastočne rovnobežné lineárne variety. Potom dim M 2, dim N 2 a dim V 4. Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Potom S T je netriválny vlastný lineárny podpriestor každého zo zameraní S, T. Teda dim(S T) 1, dim M = dim S 2, dim N = dim T 2 a taktiež dim(S T) min(dim S, dim T) - 1. S použitím vety 5.4.1 z toho vyplýva dim(S + T) = dim S + dim T - dim(S T) dim S + dim T - min(dim S, dim T) + 1 = max(dim S, dim T) + 1 3. Keďže M N = , podľa tvrdenia 8.3.2 je S + T vlastný lineárny podpriestor vo V . Preto dim V dim(S + T) + 1 4. Na druhej strane v ľubovoľnom vektorovom priestore V dimenzie 4 nie je ťažké nájsť príklady čiastočne rovnobežných lineárnych variet. Presvedčte sa, že napr. M = [e1, e2], N = e4 + [e2, e3] sú čiastočne rovnobežné roviny v K4 . Skúste nájsť iné príklady. 8.5. Afinné zobrazenia Nech U, V sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Hovoríme, že f : V U je afinné zobrazenie, ak pre ľubovoľné body p, q, r V a skalár s K platí f(sp + (1 - s)q = sf(p) + (1 - s)f(q), f(p - q + r) = f(p) - f(q) + f(r). Podobným spôsobom ako tvrdenie 8.2.1 možno dokázať, že afinné sú práve tie zob- razenia f : V U, ktoré zachovávajú všetky afinné kombinácie trojíc bodov, či, takisto, vôbec všetky afinné kombinácie; v prípade poľa charakteristiky = 2 stačí žiadať zacho- vávanie afinných kombinácií dvojíc. 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 11 8.5.1. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom pre ľubovoľné zobrazenie f : V U nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) f je afinné zobrazenie; (ii) pre všetky p, q, r V , s, t K platí f(sp + tq + (1 - s - t)r) = sf(p) + tf(q) + (1 - s - t)f(r); (iii) pre každé n N a všetky body p0, p1 . . . , pn V a skaláry t0, t1, . . . , tn K také, že t0 + t1 + . . . + tn = 1, platí f(t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn) = t0f(p0) + t1f(p1) + . . . + tnf(pn). Ak char K = 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou (i- ) pre všetky p, q V , s K platí f(sp + (1 - s)q) = sf(p) + (1 - s)f(q). Posunutím alebo transláciou vektorového priestoru V o vektor u V nazývame zobrazenie V V dané predpisom x x + u. Zrejme kompozíciou posunutia o vektor u V a posunutia o vektor v V je posunutie o vektor u+v. Každé posunutie je bijektívne zobrazenie; inverzné zobrazenie k posunutiu o vektor u je posunutie o opačný vektor -u. Z nasledujúcej vety okrem iného vyplýva, že každé afinné zobrazenie možno dostať kompozíciou lineárneho zobrazenia a posunutia. 8.5.2. Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Zobrazenie f : V U je afinné práve vtedy, keď existuje vektor u U a lineárne zobrazenie : V U také, že pre každé x V platí f(x) = (x) + u. Dôkaz. Treba dokázať dve veci: (1) Pre ľubovoľný vektor u U a lineárne zobrazenie : V U je predpisom f(x) = (x) + u dané afinné zobrazenie f : V U. (2) Ak f : V U je afinné zobrazenie, tak priradenie (x) = f(x) - f(0) definuje lineárne zobrazenie : V U. V jednom i druhom prípade možno zachovávanie príslušných afinných resp. lineárnych kombinácií overiť priamymi výpočtami, ktoré prenechávame čitateľovi. Zrejme vektor u U ako aj lineárne zobrazenie sú podmienkou vety určené jed- noznačne. Zobrazenie = f - f(0) nazývame lineárnou časťou a vektor u = f(0) absolútnym členom afinného zobrazenia f. Píšeme tiež f = + u. Afinné zobrazenia sú tak zovšeobecnením funkcií f : K K tvaru f(x) = ax+b, kde a, b K, ktoré (najmä v prípade K = R) v matematickej analýze nazývame lineárnymi, na viacrozmerné vektorové priestory. 8.5.3. Dôsledok. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom (a) ľubovoľná translácia priestoru V je afinné zobrazenie; (b) ľubovoľné lineárne zobrazenie : V U je afinné; (c) afinné zobrazenie f : V U je lineárne práve vtedy, keď f(0) = 0. 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 8.5.4. Tvrdenie. Nech U, V , W sú vektorové priestory nad poľom K a g : W V , f : V U sú afinné zobrazenia. Potom aj ich kompozícia f g : W U je afinné zobrazenie. Dôkaz. Hoci priamym výpočtom možno overiť, že f g zachováva afinné kombinácie, podáme radšej dôkaz založený na vete 8.5.2, ktorý nám poskytne informáciu navyše. Nech f = + u, g = + v, kde : V U, : W V sú lineárne zobrazenia a u = f(0), v = g(0). Potom pre z W s využitím linearity dostávame (f g)(z) = ((z) + v) + u = ( )(z) + (v) + u. Teda f g je afinné zobrazenie zložené z lineárneho zobrazenia a posunutia o vektor (v) + u. Vzorec odvodený v našom dôkaze stojí za zaznamenanie. Pre lineárne zobrazenia : W V , : V U a vektory v V , u U platí ( + u) ( + v) = ( ) + (v + u). 8.5.5. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K, f : V U je afinné zobrazenie a M V , N U sú afinné podpriestory. Potom f(M) je afinný podpriestor v U a f-1 (N) je afinný podpriestor vo V alebo prázdna množina. Dôkaz. Nech f = + u, kde je lineárna časť f a u = f(0). Nech ďalej M = p + S, N = q + T, kde p M, q N a S V , T U sú lineárne podpriestory. Potrebný záver vyplýva z tvrdení 6.1.3, 8.2.2 a nasledujúcich rovností f(M) = f(p) + (S), f-1 (N) = z + -1 (T), kde z V je ľubovoľné také, že (z) = q - u, , ak neexistuje z V také, že (z) = q - u, ktorých dôkaz prenechávame čitateľovi. Keďže každé posunutie je bijekcia, afinné zobrazenie f = + u: V U s lineárnou časťou je injektívne práve vtedy, keď je injektívne. Podobne, f je surjektívne práve vtedy, keď je surjektívne. Z toho už priamo vyplývajú ďalšie tri výsledky. Prvý z nich zovšeobecňuje vetu 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu. 8.5.6. Veta. Nech f : V U je afinné zobrazenie, pričom V je konečnorozmerný vektorový priestor. Potom pre ľubovoľné y Im f platí dim V = dim f-1 (y) + dim Im f. Afinnou transformáciou vektorového priestoru V nazývame ľubovoľné afinné zob- razenie f : V V . Aj pre afinné transformácie platí obdoba dôsledku 6.2.4. 8.5.7. Dôsledok. Nech f : V V je afinná transformácia konečnorozmerného vekto- rového priestoru V . Potom f je injektívna práve vtedy, keď je surjektívna. 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 13 8.5.8. Tvrdenie. Nech f : V U je afinné zobrazenie s lineárnou časťou a abso- lútnym členom u = f(0). Potom f je bijektívne práve vtedy, keď je bijektívne. V tom prípade aj inverzné zobrazenie f-1 : U V je afinné a platí f-1 = -1 - -1 (u). Teda f-1 je kompozíciou lineárneho zobrazenia -1 a posunutia o vektor --1 (u). Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory a , sú bázy v U resp. vo V . Rozšírenou maticou afinného zobrazenia f : V U s lineárnou časťou a absolútnym členom u vzhľadom na bázy , nazývame blokovú maticu (f), = (), | (u) . Ak teda dim U = m, dim V = n, A = (), je matica lineárneho zobrazenia v bázach = (v1, . . . , vn), a a = (u) sú súradnice vektora u v báze , tak rozšírenou maticou afinného zobrazenia f v bázach , je bloková matica (f), = (v1), . . . , (vn) | (u) = (A | a) Km×(n+1) . Súradnice bodu x V v báze a súradnice jeho obrazu f(x) U v báze sú tak spojené rovnosťou (fx) = (), (x) + (u) = A (x) + a. Samozrejme, ak f je lineárne zobrazenie, t. j. ak f = a u = 0, nemá význam rozširovať maticu (), o nulový stĺpec. Z tvrdenia 8.5.4, presnejšie z formuly odvodenej počas jeho dôkazu, a z tvrdenia 8.5.8 s použitím výsledkov paragrafov 6.4 a 7.2 vyplýva náš záverečný výsledok. 8.5.9. Tvrdenie. Nech U, V , W sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K a , , sú nejaké bázy priestorov U, V , resp. W. (a) Ak g : W V , f : V U sú afinné zobrazenia, ktoré majú v príslušných bázach rozšírené matice (g), = (B | b), (f), = (A | a), tak ich kompozícia f g : W U má v bázach , rozšírenú maticu (f g), = (A B | A b + a). (b) Ak f : V U je afinná bijekcia s rozšírenou maticou (f), = (A | a) v bázach , , tak k nej inverzné zobrazenie je afinná bijekcia f-1 : U V , ktorá má v bázach , rozšírenú maticu f-1 , = A-1 | - A-1 a . 14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Cvičenia 1. Dokážte postupne záverečné štyri podmienky z tvrdenia 8.2.2. 2. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. (a) Tri afinne nezávislé body p0, p1, p2 V sa nazývajú nekolineárne. Dokážte, že p0, p1, p2 sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. (b) Podobne, štyri afinne nezávislé body p0, p1, p2, p3 V sa nazývajú nekomplanárne. Dokážte, že p0, p1, p2 p3 sú komplanárne práve vtedy, keď ležia v jednej rovine. 3. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a p0, p1, . . . , pn, q V . Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Body p0, p1, . . . , pn sú afinne nezávislé práve vtedy, keď pre nejaké (ľubovoľné) i n sú lineárne nezávislé vektory pj - pi, kde j {0, 1, . . . , n} {i}. (b) q (p0, p1, . . . , pn) práve vtedy, keď q - p0 [p1 - p0, . . . , pn - p0]. Odvoďte z toho obe rovnosti z tvrdenia 8.2.4. (c) Ak body p0, p1, . . . , pn sú afinne nezávislé, tak q (p0, p1, . . . , pn) práve vtedy, keď vektory p1 - p0, . . . , pn - p0, q - p0 sú lineárne závislé. 4. Vo vektorovom priestore R4 sú dané body p0 = (1, 1, 2, 2)T , p1 = (0, 1, 0, 1)T , p2 = (1, 2, 0, 3)T a q = (0, 2, -4, 2)T , r = (-1, 2, -4, 1)T . (a) Zistite, či platí q (p0, p1, p2), r (p0, p1, p2). (b) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1, p2), (p0, p1, p2, q), (p0, p1, p2, r). (c) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1, p2) (q, r), (p0, p1, p2) (q, r) a určte vzájomnú polohu afinných podpriestorov (p0, p1, p2), (q, r). (d) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1) (q, r), (p0, p1) (q, r) a určte vzájomnú polohu afinných podpriestorov (p0, p1), (q, r). 5. (a) Nájdite príklad troch priamok v R3 tak, aby ľubovoľné dve z nich boli mimobežné. (b) Dokážte, že priamka a rovina v trojrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné. (c) Vo vektorovom priestore R4 nájdite príklad mimobežnej priamky a roviny. (d) Dokážte, že dve roviny vo štvorrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné. (e) Nájdite príklad dvoch mimobežných rovín v R5. 6. Nech p0, p1, p2, p3, p4 sú ľubovoľné afinne nezávislé body vo vektorovom priestore V nad poľom K. Potom roviny (p0, p1, p2), p4 + [p2 - p0, p3 - p0] sú čiastočne rovnobežné. Dokážte. 7. Repér vo vektorovom priestore sa zvykne definovať ako usporiadaná (n+1)-tica afinne nezávislých bodov = (r0, r1, . . . , rn) V n+1, taká, že (r0, r1, . . . , rn) = V , prípadne ako usporiadaná (n + 1)-tica (r, ) = (r, v1, . . . , vn) V n+1, pozostávajúca z ľubovoľného bodu r V a bázy = (v1, . . . , vn) vektorového priestoru V . Dokážte nasledujúce dve tvrdenia: (a) Nech = (r0, r1, . . . , rn) je usporiadná (n+1)-tica bodov z V . Potom je repér vo V v zmysle prvej definície, práve vtedy, keď = (r1 - r0, . . . , rn - r0) je báza vektorového priestoru V , t. j. práve vtedy, keď (r0, ) je repér v zmysle druhej definície. (b) Nech r je bod z V a = (v1, . . . , vn) je usporiadaná n-tica vektorov z V . Potom (r, ) je repér v zmysle druhej definície práve vtedy, keď = (r, r+v1, . . . , r+vn) je repér v zmysle prvej definície. Z toho dôvodu nie je potrebné rozlišovať medzi repérmi v zmysle jednej či druhej definície. 8. Nech = (r, ) je repér vo vektorovom priestore V nad poľom K. Afinnými súradnicami bodu x V vzhľadom na repér nazývame súradnice vektora x - r vzhľadom na bázu , čiže (x) = (x-r) . Ak je repér známy z kontextu, hovoríme len o afinných súradniciach bodu x. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) (0, ), kde = (e1, . . . , en) je kanonická báza, je repér v Kn a pre každé x Kn platí (x)(0,) = x. (b) Body repéru = (r0, r1, . . . , rn) majú vzhľadom na tento repér afinné súradnice (r0) = 0, (r1) = e1, . . . , (rn) = en. (c) Ak dim V = n a = (r, ) je repér vo V , tak predpisom x (x) je definované bijektívne afinné zobrazenie V Kn a pre každé x V , c = (c1, . . . , cn)T Kn platí 8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 15 x = r + (x), (r + c) = c. 9. V R3 sú dané body r0 = (5, 2, 1)T , r1 = (0, 2, 1)5, r2 = (5, 0, 2)T , r3 = (5, 2, 0)T . (a) Dokážte, že = (r0, r1, r2, r3) je repér v R3. (b) Nájdite afinné súradnice bodov x = (4, 4, -3)T , y = (-5, -2, -1)T , z = (0, 0, 0)T vzhľadom na repér . (c) Nájdite body p, q, r, ak poznáte ich afinné súradnice (p) = (0, 2, 1)T , (q) = (-1, 1, -1)T , (r) = (0, 0, 0)T . 10. Nech = (p, ), = (r, ) sú dva repéry vo vektorovom priestore V nad poľom K. Potom afinné súradnice ľubovoľného bodu x V vzhľadom na tieto repéry sú zviazané vzťahom (x) = P, (x - p) = P, (x) - (p) , kde P, je matica prechodu z bázy do bázy . Dokážte. 11. Dokážte tvrdenie 8.5.1. (Návod: Modifikujte dôkaz tvrdenia 8.2.1.) 12. Dokážte podmienky (1), (2) z dôkazu tvrdenia 8.5.2. 13. Doplňte vynechané dôkazy oboch rovností z dôkazu tvrdenia 8.5.5. 14. Na základe tvrdenia 8.5.5 doplňte dôkazy vety 8.5.6, dôsledku 8.5.7 a tvrdenia 8.5.8. 15. Predpokladajme, že dvaja pozorovatelia P a P popisujú udalosti v čase a v trojrozmernom pries- tore vzhľadom na po dvoch rovnobežné a rovnako orientované súradné osi x, y, z, resp. x , y , z , pričom počiatok súradnej sústavy pozorovateľa P má z hľadiska pozorovateľa P v čase t = t0, zodpovedajúcom času t = 0 pozorovateľa P , súradnice (x0, y0, z0)T . Nech navyše pozorovateľ P sa vzhľadom na pozorovateľa P pohybuje rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v = (vx, vy, vz)T (pozri príklad 6.4.7 a cvičenie 6.14). (a) Odvoďte tvar Galileovej transformácie, ktorou sú za týchto okolností v klasickej (t. j. v nerela- tivistickej) fyzike zviazané časopriestorové súradnice bodových udalostí z hľadiska pozorovateľov P resp. P : t = t - t0, x = x - x0 - vxt, y = y - y0 - vyt, z = z - z0 - vzt. Nahliadnite, že ide o afinnú transformáciu s rozšírenou maticou (Gv | - s0), kde Gv je matica Galileovej transformácie z cvičenia 6.14 a s0 = (t0, x0, y0, z0)T . (b) Nech f, g : R4 R4 sú Galileove transformácie s rozšírenými maticami (Gv | - s0) resp. (Gw | - s1), kde v, w R3, s0, s1 R4. Nájdite rozšírenú maticu kompozície afinných zobrazení f g a rozšírenú maticu inverzného zobrazenia f-1. Dokážte, že ide opäť o Galileove transformácie uvedeného typu a vysvetlite fyzikálny význam získaných výsledkov. 16. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Označme A(V, U) množinu všetkých afinných zobrazení f : V U. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) A(V, U) s operáciami súčtu a skalárneho násobku definovanými po zložkách tvorí lineárny podpriestor vektorového priestoru UV . A(V, U) navyše obsahuje vektorový priestor L(V, U) všet- kých lineárnych zobrazení : V U ako svoj lineárny podpriestor. (Pozri príklad 1.6.5 a tvrde- nie 6.5.1.) (b) Priradením f (f - f(0), f(0)) je definovaný lineárny izomorfizmus vektorových priestorov A(V, U) L(V, U) × U (pozri príklad 1.6.4). (c) Nech , sú nejaké bázy priestorov U resp. V . Potom priradením f (f), je daný lineárny izomorfizmus vektorových priestorov A(V, U) Km×(n+1). (d) Predpokladajme, že U, V sú konečnorozmerné a dim U = m, dim V = n. Odvoďte, či už z (b) alebo z (c), že potom aj A(V, U) je konečnorozmerný a dim A(V, U) = m(n + 1). (e) Ak V je konečnorozmerný, tak jeho duál V = L(V, K) tvorí nadrovinu v A(V, K) (pozri text tesne pred tvrdením 6.5.3).