9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC V tejto kapitole sa opäť pozrieme cez prizmu toho, čo sme sa dosiaľ naučili, na sústavy lineárnych rovníc. Uvidíme, že množina riešení každej takej sústavy tvorí afinný (v ho- mogénnom prípade dokonca lineárny) podpriestor niektorého stĺpcového vektorového priestoru Kn . Taktiež naopak, ukážeme, že každý afinný podpriestor v Kn možno po- písať ako podpriestor riešení vhodnej sústavy lineárnych rovníc. Na vyjadrenie množiny riešení tejto sústavy pomocou parametrov sa potom možno dívať ako na parametrické rovnice príslušného afinného podpriestoru. Získané znalosti nám umožnia v konkrétnych prípadoch určiť vzájomnú polohu afinných podpriestorov. V celej kapitole K označuje pevné, inak ľubovoľné, pole; m, n sú ľubovoľné, pevne zvolené prirodzené čísla. 9.1. Podpriestor riešení homogénnej sústavy a jeho báza Nech A Km×n , b Km . Uvažujme homogénnu sústavu lineárnych rovníc s maticou A A x = 0, a nehomogénnu sústavu s maticou A a pravou stranou b A x = b. Množiny ich riešení označíme R(A) = {x Kn ; A x = 0}, resp. R(A | b) = {x Kn ; A x = b}. Predpisom (x) = A x je definované lineárne zobrazenie : Kn Km , pričom R(A) = Ker . Z toho okamžite vyplýva 9.1.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú maticu A Km×n množina R(A) riešení homogén- nej sústavy A x = 0 tvorí lineárny podpriestor vektorového priestoru Kn . Doteraz sme homogénnu sústavu riešili úpravou jej matice A na redukovaný stupňo- vitý tvar B. Z tohto tvaru sme potom vyčítali, ktoré neznáme si zvolíme za parametre a ktoré neznáme si vyjadríme pomocou nich. Presnejšie, neznámu xj sme si zvolili za parameter práve vtedy, keď sa v j-tom stĺpci matice B nenachádzal vedúci prvok žiadneho riadku matice B; ak sa v j-tom stĺpci nachádzal vedúci prvok nejakého riadku, tak neznámu xj sme si vyjadrili pomocou týchto parametrov. Uvedená veta nám umožňuje alternatívny popis množiny riešení R(A) ­ kedže ide o lineárny podpriestor v Kn , môžeme ho najúspornejšie popísať zadaním (niektorej) 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA jeho bázy. Každú bázu priestoru R(A) nazývame tiež fundamentálnym systémom rie- šení sústavy A x = 0. Potom každé riešenie príslušnej homogénnej sústavy možno jednoznačne vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov z fundamentálneho systému riešení, a tiež naopak, každa lineárna kombinácia vektorov fundamentálneho systému je riešením príslušnej sústavy. Fundamentálny systém riešení nájdeme nasledujúcim po- stupom. Maticu A upravíme pomocou ERO na redukovaný stupňovitý tvar B Km×n . Množinu {1, . . . , n} rozdelíme na dve podmnožiny J, J , podľa toho, či sa v j-tom stĺpci matice B nachádza alebo nenachádza vedúci prvok nejakého jej riadku. Označme k počet prvkov množiny J a zapíšme ju v tvare J = {j1 < j2 < . . . < jk}. Pre každý index jl J zostrojíme vektor vl = (v1l, . . . , vnl)T Kn takto: Zvolíme vjll = 1 a vjil = 0 pre i = l. Pre j J vypočítame hodnoty vjl k uvedeným hodnotám parametrov vj1l, . . . , vjkl tak, aby celý vektor vl vyhovoval podmienke B vl = 0. Potom vektory v1, v2, . . . , vk tvoria bázu podpriestoru riešení R(A). Pritom zrejme platí k = n-h(A). Namiesto dôkazu posledného tvrdenia si celý postup ozrejmíme na príklade. 9.1.2. Príklad. Predpokladajme, že sme maticu A pomocou ERO už upravili na re- dukovaný stupňovitý tvar B = 1 2 0 0 -1/3 0 0 1 0 1/2 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 0 . Vedúce prvky riadkov sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 3 a 4. Teda neznáme x2 a x5 si zvolíme za parametre a neznáme x1, x3 a x4 si vyjadríme pomocou nich. Naša prvá voľba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu zodpovedá vektor v1 = (-2, 1, 0, 0, 0)T . Druhá voľba parametrov je x2 = 0, x5 = 1. Tomu zodpovedá vektor v2 = (1/3, 0, -1/2, 2, 1)T . Potom vektory v1, v2 tvoria bázu podpriestoru (fundamentálny systém) riešení R(A) = R(B) R5 . Ak sa " z estetických dôvodov" chceme vyhnúť zlomkom vo výsledku, stačí miesto vektorov obsahujúcich ako súradnice zlomky vziať ich vhodné nenulové skalárne ná- sobky. V našom prípade stačí nahradiť bázový vektor v2 " krajším" bázovým vektorom 6v2 = (2, 0, -3, 12, 6)T . Pre " veľkosť" podpriestoru riešení homogénnej sústavy z našich úvah vyplýva 9.1.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú maticu A Km×n platí dim R(A) = n - h(A). 9.2. Podpriestor riešení nehomogénnej sústavy Prejdime teraz k otázke štruktúry množiny riešení R(A | b) nehomogénnej sústavy A x = b. 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 3 9.2.1. Tvrdenie. Nech A Km×n , b Km . (a) Ak y, z R(A | b), tak y - z R(A). (b) Ak z R(A | b), x R(A), tak z + x R(A | b). Dôkaz. Možno overiť priamym výpočtom. Z uvedeného tvrdenia vyplýva, že na popis množiny R(A | b) všetkých riešení neho- mogénnej sústavy stačí poznať podpriestor R(A) všetkých riešení príslušnej homogénnej sústavy, t. j. nejaký fundamentálny systém (v1, . . . , vk) jej riešení, a ľubovoľné jedno rie- šenie z R(A | b) nehomogénnej sústavy. Tvrdenie možno potom schématicky zapísať v niektorom z tvarov R(A | b) = z + R(A) = {z + x; x R(A)} = z + [v1, . . . , vn] = {z + c1v1 + . . . + ckvk; c1, . . . , ck K}. Každý si môže vybrať ten, ktorý sa mu najväčšmi pozdáva. S využitím pojmov predchádzajúcej kapitoly možno naše úvahy zhrnúť do nasledu- júcej podoby. 9.2.2. Tvrdenie. Nech A Km×n , b Km . Ak sústava A x = b má aspoň jedno riešenie, tak R(A | b) je afinný podpriestor v Kn so zameraním R(A). To znamená, Dir R(A | b) = R(A) a dim R(A | b) = dim R(A) = n - h(A). 9.3. Frobeniova veta a riešenie nehomogénnej sústavy Odpoveď na otázku riešiteľnosti nehomogénnej sústavy možno dať porovnaním hodnosti jej základnej a rozšírenej matice. Začneme pozorovaním, že sústava A x = b má aspoň jedno riešenie z Kn práve vtedy, keď b Im (kde (x) = A x). Ak tento prípad nastane, tak, ako sme už ukázali, R(A | b) = z + R(A). 9.3.1. Veta. (Frobenius) Nech A Km×n , b Km . Potom nehomogénna sústava A x = b má riešenie práve vtedy, keď h(A | b) = h(A). Dôkaz. Z poznámky vyslovenej tesne pred vetou vyplýva, že sústava A x = b má riešenie práve vtedy, keď b [s1(A), . . . , sn(A)], t. j. práve vtedy keď [s1(A), . . . , sn(A), b] = [s1(A), . . . , sn(A)]. Keďže h(A | b) = dim[s1(A), . . . , sn(A), b], h(A) = dim[s1(A), . . . , sn(A)] a druhý z týchto podpriestorov je podpriestorom prvého, uvedená podmienka je zrejme ekvivalentná s rovnosťou h(A | b) = h(A). 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Frobeniova veta vlastne hovorí už známu vec: nehomogénna sústava A x = b nemá riešenie práve vtedy, keď sa pri úprave jej rozšírenej matice (A | b) na redukovaný stup- ňovitý tvar objaví nejaký riadok tvaru (0, . . . , 0 | d) Kn+1 , kde 0 = d K. Takýto riadok totiž zodpovedá rovnici 0 = d. Ak upravíme pomocou ERO rozšírenú maticu (A | b) na redukovaný stupňovitý tvar (B | c), kde B Km×n a c Km , tak B je tiež v redukovanom stupňovitom tvare. Potom R(A | b) = R(B | c) = práve vtedy, keď sa žiaden vedúci prvok nejakého riadku matice (B | c) nenachádza v poslednom, t. j. (n + 1)-om stĺpci. Bázu priestoru riešení R(A) = R(B) nájdeme postupom popísaným v paragrafe 9.1. Nech J, J a k majú tam uvedený význam. Jedno riešenie z = (z1, . . . , zn)T nehomogénnej sústavy dostaneme voľbou parametrov zj1 = . . . = zjk = 0 pre jl J . Zvyšné hodnoty zj potom vypočítame tak, aby z vyhovovalo podmienke B z = c, t. j. zj = cj pre j J. 9.3.2. Príklad. Predpokladajme, že sme maticu (A | b) pomocou ERO už upravili na redukovaný stupňovitý tvar (B | c) = 1 0 0 3 1/4 0 0 1 0 4 2 -1 0 0 1 1 -5 6 0 0 0 0 0 0 2 -1 -2/7 0 . Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, teda R(A | b) = R(B | c) = . Vedúce prvky riadkov sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 2 a 3. Teda neznáme x4, x5 a x6 si zvolíme za parametre a neznáme x1, x2 a x3 si vyjadríme pomocou nich. Prvej voľbe x4 = 1, x5 = x6 = 0 zodpovedá vektor v1 = (-3, -4, -1, 1, 0, 0)T . Druhá voľba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor v2 = (-1/4, -2, 5, 0, 1, 0)T . Treťou voľbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získame vektor v3 = (0, 1, -6, 0, 0, 1)T . Potom vektory v1, v2, v3 tvoria bázu podpriestoru riešení R(A) = R(B) R6 príslušnej homogénnej sústavy. Konečne voľbou parametrov x4 = x5 = x6 = 0 získame jedno riešenie z = (2, -1, -2/7, 0, 0, 0)T nehomogénnej sústavy. Výsledok možno prehľadne zapísať do tabuľky (treba si však uvedomiť, že sme ju vypĺňali uvedeným postupom): v1 v2 v3 z x1 -3 -1/4 0 2 x2 -4 -2 1 -1 x3 -1 5 -6 -2/7 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 Porovnajte túto tabuľku s maticou (B | c) ! 9.4. Parametrické a všeobecné rovnice afinných podpriestorov Hoci sa v tomto i v nasledujúcom paragrafe obmedzíme len na afinné podpriestory stĺpcového vektorového priestoru Kn , naše úvahy majú širšiu platnosť. Zvolením pevnej 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 5 bázy ich možno pomocou súradnicového zobrazenia zrejmým spôsobom preniesť aj na afinné podpriestory ľubovoľného konečnorozmerného vektorového priestoru V . Každý afinný podpriestor M Kn má tvar M = p + [u1, . . . , uk] = p + [] pre nejaký bod p = (p1, . . . , pn)T M a vhodnú usporiadanú k-ticu = (u1, . . . , uk) vektorov z Kn , kde uj = (u1j, . . . , unj)T . To znamená, že pre ľubovoľné x Kn platí x M práve vtedy, keď existuje t = (t1, . . . , tk)T Kk také, že x = p + t, kde usporiadanú k-ticu sme ako obyčajne stotožnili s maticou (uij) Kn×k so stĺpcami u1, . . . , uk. Rovnosť x = p + t je maticovým zápisom parametrických rovníc afinného podpriestoru M Kn . Vektor t Kn nazývame vektorom parametrov a jeho zložky t1, . . . , tk K parametrami. Po rozpísaní do zložiek x1 = p1 + u11t1 + u12t2 + . . . + u1ktk x2 = p2 + u21t1 + u22t2 + . . . + u2ktk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = pn + un1t1 + un2tn + . . . + unktk dostaneme obvyklejší tvar, s akým sme sa v dimenzii n = 2 resp. n = 3 už stretli v stredoškolskej analytickej geometrii. Ak navyše vektory u1, . . . , uk sú lineárne nezávislé, čo možno vždy dosiahnuť vyne- chaním " nadbytočných" vektorov, tak parametrické rovnice podpriestoru M nám priamo ukážu jeho dimenziu: dim M = k. Zápis afinného podpriestoru M Kn v tvare M = p + [], kde p M a je nejaká usporiadaná k-tica, ktorá generuje jeho zameranie Dir M (môžeme si dovoliť predpokladať, že je dokonca báza v Dir M), budeme nazývať jeho parametrickým vyjadrením. Parametrické vyjadrenie M = p + [] afinného podpriestoru možno pria- mo prepísať do jeho parametrických rovníc x = p + t, (t Kk ). Taktiež naopak, z jeho parametrických rovníc možno okamžite získať jeho parametrické vyjadrenie. Súvis medzi týmito dvoma druhmi popisu je natoľko bezprostredný, že ich ani nemusíme príliš úzkostlivo rozlišovať. Na druhej strane, v predchádzajúcich paragrafoch sme videli, že každá sústava line- árnych rovníc A x = b s rozšírenou maticou (A | b) Km×(n+1) (pokiaľ má riešenie), popisuje afinný podpriestor R(A | b) Kn . Nájsť parametrické rovnice tohto podpries- toru už vieme, treba si to len uvedomiť. Ak totiž = (v1, . . . , vk) je báza podpriestoru R(A) riešení príslušenej homogénnej sústavy a z R(A | b) je ľubovoľné jedno riešenie nehomogénnej sústavy ­ a jedno i druhé (pokiaľ existuje) naozaj vieme nájsť ­, tak x = z + t, kde t Kk je vektor parametrov, sú parametrické rovnice afinného podpriestoru R(A | b) Kn . 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Inak povedané, vyriešiť sústavu lineárnych rovníc A x = b znamená vlastne nájsť nejaké (prípadne nie celkom hocaké ale v istom zmysle " pekné") parametrické rovnice (alebo parametrické vyjadrenie) afinného podpriestoru R(A | b) Kn . Často je však potrebné riešiť obrátenú úlohu: k parametricky zadanému afinnému podpriestoru M Kn nájsť jeho všeobecné rovnice, t. j. sústavu lineárnych rovníc A x = b o n neznámych x1, . . . , xn takú, že M = R(A | b). Nech teda M = p + [] je afinný podpriestor v Kn , daný bodom p Kn a usporiadanou k-ticou = (u1, . . . , uk) vektorov z Kn , ktorú stotožníme s maticou = (uij) Kn×k so stĺpcami uj. Parametrické rovnice x = p + t podpriestoru M, kde x = (x1, . . . , xn)T Kn je vektor neznámych a t = (t1, . . . , tk)T Kk je vektor parametrov, možno prepísať do tvaru In x = t + p, ktorý možno reprezentovať blokovou maticou (In | | p). Naša metóda bude založená na eliminácii parametrov t1, . . . , tk úpravou tejto matice pomocou ERO. Maticu (In | | p) budeme upravovať na riadkovo ekvivalentnú maticu tak, aby stredný blok vo výslednej matici bol v stupňovitom tvare. Môžu nastať dve možnosti (1) h() = n, čo spoznáme podľa toho, že všetky riadky stredného bloku výslednej matice sú nenulové. V tom prípade M = V a všeobecné rovnice tohto podpriestoru tvorí prázdna sústava (t. j. sústava ktorá neobsahuje žiadnu rovnicu). My sa jed- noducho uspokojíme s konštatovaním M = V a nijakými všeobecnými rovnicami sa ďalej nebudeme zaoberať. (2) h() < n. Vtedy možno stredný blok výslednej matice rozdeliť do dvoch pod sebou umiestnených blokov D 0 , kde horný blok D je stupňovitá matica typu h() × k, ktorá má všetky riadky nenulové, teda dolný nulový blok má rozmer (n - h()) × k. Toto rozdelenie stredného bloku indukuje rozdelenie celej výsled- nej matice do blokov A D b A 0 b . Potom A x = b sú všeobecné rovnice afinného podpriestoru M, t. j. platí M = p + [] = R(A | b). Popísaný algoritmus možno stručne zhrnúť do schémy (In | | p) ERO ---- A D b A 0 b , kde D je matica v stupňovitom tvare s nenulovými riadkami (ktorých počet teda nutne je h(D) = h()). Ako vedľajší produkt takéhoto výpočtu, možno z k-tice vybrať bázu zamerania Dir M = []: je tvorená vektormi uj1 , . . . , ujl , kde 1 j1 < . . . < jl k sú indexy tých stĺpcov matice D, v ktorých sa nachádzajú vedúce prvky jej riadkov (pozri tvrdenie 4.5.3). Správnosť celého algoritmu vyplýva z nasledujúceho tvrdenia. 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 7 9.4.1. Tvrdenie. Nech B Kn×m , C Kn×k a p Kn . Ak bloková matica (B | C | p) je riadkovo ekvivalentná s blokovou maticou A D b A 0 b , kde D je matica v stupňovitom tvare s nenulovými riadkami, tak R(A | b) = x Km ; ( t Kk )(B x = C t + p) . Dôkaz. Matica (B | C | p) zodpovedá sústave B x = C t + p v neznámych x1, . . . , xm, t1, . . . , tk. Podobne matica A D b A 0 b zodpovedá sústave A x = D t + b A x = b v rovnakých neznámych. Vzhľadom na riadkovú ekvivalenciu príslušných matíc sú obe sústavy ekvivalentné. Dokážeme, že pre ľubovoľné x Km nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) A x = b; (ii) ( t Kk )(A x = D t + b & A x = b); (iii) ( t Kk )(B x = C t + p). Keďže implikácie (ii) (iii) (i) platia triviálne, vysvetlenie potrebuje iba implikácia (i) (ii). Zrejme hodnosť matice D sa rovná počtu jej riadkov a ten je n. Preto tiež h(D | A x - b ) = h(D) nezávisle na x. Ale to podľa Frobeniovej vety 9.3.1 znamená, že sústava D t = A x - b (v neznámych t1, . . . , tk) má nejaké riešenie t Kk pre ľubovoľné x Km . Poznámka. Z uvedeného dôkazu vyplýva, že tvrdenie 9.4.1 zostáva v platnosti, aj keď matica D nie je v stupňovitom tvare; stačí žiadať len lineárnu nezávislosť jej riadkov. Tú však možno najistejšie nahliadnuť práve úpravou príslušnej matice na stupňovitý tvar. 9.4.2. Príklad. Nájdeme všeobecné rovnice afinného podpriestorru M = p + [] stĺp- cového vektorového priestoru Z5 11 nad poľom Z11, kde p = (1, 2, 3, 4, 5)T a je tvorená stĺpcami matice 2 1 0 1 1 5 2 6 0 2 7 0 1 6 0 9 0 3 5 8 . 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Budeme upravovať maticu 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 5 2 6 0 2 7 0 1 6 0 9 0 3 5 8 1 2 3 4 5 pomocou ERO tak, aby stredný blok nadobudol stupňovitý tvar. Po niekoľkých krokoch dostaneme 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 4 3 0 0 1 10 2 1 0 0 9 3 0 1 1 2 1 0 1 0 10 2 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 4 6 2 . Predovšetkým vidíme, že tretí vektor štvorice je lineárnou kombináciou predchá- dzajúcich dvoch, preto ho možno v príslušnom parametrickom vyjadrení podpriestoru M vynechať. Zvyšné tri vektory v sú lineárne nezávislé, čiže dim M = 3. Konečne, všeobecné rovnice podpriestoru M vyzerajú takto 10x1 + 2x2 + x3 = 6 9x1 + 3x2 + x4 + x5 = 2 . Dosadením sa možno presvedčiť, že bod p skutočne vyhovuje tejto sústave a vektory štvorice príslušnej homogénnej sústave. 9.5. Rovnice prieniku a spojenia afinných podpriestorov V tomto paragrafe sa pokúsime zostaviť všeobecné recepty, pomocou ktorých budeme vedieť napísať či už všeobecné alebo parametrické rovnice prieniku a spojenia dvoch afin- ných podpriestorov stĺpcového vektorového priestoru Kn . Pri tom vezmeme do úvahy tri možnosti zadania pôvodných podpriestorov: (1) Oba podpriestory sú zadané všeobecnými rovnicami. (2) Oba podpriestory sú zadané parametricky. (3) Jeden podpriestor je zadaný pomocou všeobecných rovníc a druhý parametricky. Každú situáciu budeme ilustrovať na jednom až dvoch konkrétnych príkladoch, v kto- rých navyše vyšetríme i vzájomnú polohu oboch afinných podpriestorov. (1) Nech afinné podpriestory M, N Kn majú všeobecné rovnice A x = b resp. B x = c, kde A Km×n , b Km , B Kl×n , c Kl . Potom všeobecnými rovnicami prieniku M N je sústava A x = b B x = c s rozšírenou maticou A B b c . 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 9 Parametrické vyjadrenie prieniku M N možno získať vyriešením tejto sústavy. Ak hľadáme parametrické vyjadrenie spojenia M N, najprv vyriešením sústav s roz- šírenými maticami (A | b) resp. (B | c) získame parametrické vyjadrenia jednotlivých podpriestorov M a N. Z nich na základe tvrdenia 8.3.3 (b) zostavíme parametrické vy- jadrenie podpriestoru M N (pozri tiež príklad 8.3.5). Konečne, ak nás zaujímajú vše- obecné rovnice podpriestoru M N, možeme ich odvodiť z jeho parametrických rovníc metódou opísanou v druhej časti predchádzajúceho paragrafu 9.4 (pozri tvrdenie 9.4.1 a príklad 9.4.2). 9.5.1. Príklad. Afinné podpriestory M, N vektorového priestoru Q4 sú dané sú- stavami x1 + x2 - x3 + x4 = 9 x1 - x2 + x3 - x4 = -3 resp. x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0 x1 - 3x2 - 2x3 + x4 = 6 . Ak dáme tieto sústavy dohromady, získame všeobecné rovnice prieniku. Ich riešenie však bude výhodné trochu odložiť a najprv upraviť rozšírené matice pôvodných sústav: 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 9 -3 1 0 0 0 0 1 -1 1 3 6 , 1 3 2 -1 1 -3 -2 1 0 6 1 0 0 0 0 1 2/3 -1/3 3 -1 . Z upravených matíc okamžite dostávame parametrické vyjadrenie pôvodných podpries- torov (matica v hranatých zátvorkách označuje lineárny podpriestor generovaný jej stĺpcami) M = 3 6 0 0 + 0 0 1 -1 1 0 0 1 , N = 3 -1 0 0 + 0 0 -2 1 3 0 0 3 . Ak napíšeme obe upravené rozšírené matice všeobecných rovníc podpriestorov M a N do blokov pod seba, dostaneme rozšírenú maticu všeobecných rovníc podpriestoru M N. Jej úpravou na redukovaný stupňovitý tvar vyjde 1 0 0 0 0 1 0 1/5 0 0 1 -4/5 0 0 0 0 3 9/5 -21/5 0 . 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Odtiaľ už priamo vyplýva parametrické vyjadrenie M N = 3 9/5 -21/5 0 + 0 -1 4 5 . Zistili sme, že dvojrozmerné afinné podpriestory M, N majú jednorozmerný prienik, teda sú rôznobežné. Preto tiež dim(M N) = 2 + 2 - 1 = 3. Ak postavíme vedľa seba generátory smerových podpriestorov Dir M a Dir N, úp- ravou príslušnej matice zistíme, že prvé tri sú lineárne nezávislé a posledný z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich. Teda stĺpce matice = 0 0 0 1 -1 -2 1 0 3 0 1 0 tvoria bázu zamerania afinného podpriestoru M N. Jeho parametrické vyjadrenie je M N = p + [], kde p = (3, 9/5, -21/5, 0)T . Úpravou blokovej matice (I4 | | p) podľa algoritmu z dru- hej časti paragrafu 9.4. (pozri poznámku za tvrdením 9.4.1) výmenou prvého a posled- ného riadku dostaneme všeobecné rovnice podpriestoru M N: x1 = 3 . (2) Nech M = p + [], N = q + [] sú parametrické vyjadrenia dvoch afinných podpriestorov v Kn . Potom, ako už vieme, M N = p + [q - p, , ] a podľa tvrde- nia 4.5.3 vynechaním vhodných stĺpcov z blokovej matice (q - p, , ) možno dostať bázu zamerania Dir(M N). Všeobecné rovnice podpriestoru M N dostaneme úpra- vou blokovej matice (In | q - p, , | p), prípadne matice, v ktorej je prostredný blok nahradený bázou zamerania Dir(M N), podľa algoritmu z paragrafu 9.4. Pokiaľ nás zaujímajú všeobecné rovnice prieniku M N, najjednoduchšie ich získame tak, že parametrické rovnice každého z podpriestorov M, N prevedieme na všeobecné rovnice a tieto spojíme dohromady. Parametrické vyjadrenie prieniku M N dostaneme vyriešením jeho všeobecných rovníc. Jestvuje aj iná cesta k parametrickým rovniciam prieniku M N. Ako vedľajší pro- dukt pri nej možno získať bázy zameraní Dir M, Dir N, Dir(M N), teda aj parametrické rovnice spojenia M N. Pri tejto metóde upravujeme blokovú maticu ( | | q - p) pomocou ERO na stupňovitý tvar A B c 0 B c , 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 11 kde matica A má všetky riadky nenulové (teda lineárne nezávislé a ich počet je h(A ) = h() = dim M). Prienik M N je tvorený všetkými x = q + t N, ktoré patria zároveň do M, t. j. existuje vektor parametrov s taký, že x = p + s. Hľadáme teda všetky vektory parametrov t, ku ktorým existuje nejaký vektor parametrov s taký, že platí s = t + (q - p). Podľa tvrdenia 9.4.1 (stačí v ňom zameniť poradie prvého a druhého zvislého bloku) k danému t existuje takéto s práve vtedy, keď B t = c. Vyriešením tejto sústavy získame parametrické vyjadrenie t = r + z, kde r R(B | c) a je báza lineárneho podpriestoru R(B), s vektorom parametrov z, ktoré dosadíme do parametrických rovníc podpriestoru N. Dostaneme tak parametrické rovnice x = q + (r + z) = (q + r) + ( ) z podpriestoru M N. Metóda zostavenia všeobecných rovníc prieniku M N ako i oboch typov rovníc spojenia M N, popísaná v prvej časti bodu (2), je (aspoň dúfame) dostatočne jasná. V nasledujúcom príklade sa preto sústredíme len na nájdenie parametrických rovníc prieniku M N metódou z druhej časti a určenie vzájomnej polohy M a N. 9.5.2. Príklad. Nech M = 1 1 1 4 1 1 2 5 , N1 = 0 2 2 3 + 1 2 3 2 2 8 5 0 9 3 4 11 , N2 = 1 1 2 2 + 1 2 3 2 2 8 5 0 9 3 4 11 sú afinné podpriestory v R4 . Zrejme Dir N1 = Dir N2; označme tento lineárny podpries- tor D. Obe úlohy o dvojiciach podpriestorov M, N1 aj M, N2 budeme riešiť súčasne. Platí 1 1 1 4 1 1 2 5 1 2 3 2 2 8 5 0 9 3 4 11 0 1 2 1 2 2 3 2 1 1 0 3 0 0 0 0 1 2 3 1 0 5 4 -2 6 0 0 0 0 1 2 0 2 1 1 0 . Ak si z matice na pravej strane odmyslíme krajný pravý blok, po vynechaní rovnice 0 = 0 z nej dostaneme sústavu 4t1 - 2t2 + 6t3 = 0. Lineárny podpriestor Dir M D je tvorený práve všetkými lineárnyni kombináciami t, kde je matica generátorov D (a jeho báza, čo možno zistiť doupravením stredného bloku na stupňovitý tvar) a t vyhovuje uvedenej homogénnej rovnici. Teda dim(Dir M D) = dim Dir M = 2. Preto Dir M D a platí M N1 aj M N2. 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Sústava 4t1 - 2t2 + 6t3 = 2 0 = 1, ktorej musí vyhovovať vektor parametrov t = (t1, t2, t3)T , aby ním určený bod z N1 patril aj do M, nemá riešenie. Preto M N1 = a M, N1 sú pravé rovnobežky. Naopak, analogická sústava pre dvojicu M, N2 vedie na jedinú, očividne riešiteľnú rovnicu 4t1 - 2t2 + 6t3 = 1. V dôsledku toho M N2. (3) Nech afinný podpriestor M Kn je daný všeobecnými rovnicami A x = b a afinný podpriestor N = q + [] Kn je daný parametricky. Ak hľadáme všeobecné rov- nice prieniku M N, stačí nájsť všeobecné rovnice podpriestoru N a pridať ich k sústave A x = b. Ich vyriešením potom možno dostať aj parametrické vyjadrenie M N. Ak hľadáme popis spojenia M N, najvýhodnejšie je vyriešiť všeobecné rovnice podpries- toru M a z parametrických vyjadrení oboch podpriestorov M, N zostaviť parametrické vyjadrenie M N podľa tvrdenia 8.3.3 a príkladu 8.3.5. Elimináciou parametrov odtiaľ dostaneme všeobecné rovnice podpriestoru M N. Iná metóda, ako nájsť parametrické vyjadrenie prieniku M N spočíva v dosadení parametrického vyjadrenia podpriestoru N do všeobecných rovníc podpriestoru M. Tým dostaneme sústavu A (q + t) = b, alebo po úprave s ňou ekvivalentnú sústavu (A ) t = b - A q, ktorej musí vyhovovať vektor parametrov t, aby ním určený bod x = q + t N patril aj do podpriestoru M, teda do prieniku M N. Uvedenú sústavu vyriešime úpravou jej rozšírenej matice (A | b - A q). Podobne ako v prípade (2) riešenie dostaneme v parametrickom tvare t = r + z, kde r R(A | b - A q) a je báza lineárneho podpriestoru R(A ), s vektorom parametrov z, ktoré dosadíme do parametrických rovníc podpriestoru N. Tak získame parametrické rovnice x = q + (r + z) = (q + r) + ( ) z podpriestoru M N. I tentokrát sa v nasledujúcom príklade zameriame len na nájdenie parametrických rovníc prieniku M N druhou z opísaných metód a na určenie vzájomnej polohy M a N. 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 13 9.5.3. Príklad. Afinný podpriestor M R4 má všeobecné rovnice x1 - x2 + x3 - x4 = 1 x1 + x2 - x3 + x4 = 3. Rozšítenú maticu tejto sústavy označíme (A | b). Afinný podpriestor N R4 je ur- čený ako afinný obal N = (p, q, r, s) bodov p = (3, 0, 1, 1)T , q = (4, -1, 2, 2)T , r = (4, 1, 2, 0)T a s = (7, 3, 4, 5)T . Jeho parametrické vyjadrenie potom je N = p + [q - p, r - p, s - p] = 3 0 1 1 + 1 1 4 -1 1 3 1 1 3 1 -1 4 . Keďže A (q - p, r - p, s - p) = 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 4 -1 1 3 1 1 3 1 -1 4 = 2 2 3 0 0 8 , b - A p = 1 3 - 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 3 0 1 1 = -2 0 , bod tvaru p + t1(q - p) + t2(r - p) + t3(s - p) N patrí do prieniku M N práve vtedy, keď príslušný vektor parametrov t = (t1, t2, t3)T vyhovuje sústave s rozšírenou maticou 2 2 3 0 0 8 -2 0 1 1 0 0 0 1 -1 0 . Podpriestor riešení tejto sústavy má parametrické vyjadrenie -1 0 0 + -1 1 0 . Dosadením do parametrického vyjadrenia N dostaneme M N = 3 0 1 1 + 1 1 4 -1 1 3 1 1 3 1 -1 4 -1 0 0 + 1 1 4 -1 1 3 1 1 3 1 -1 4 -1 1 0 = 2 1 0 2 + 0 2 0 -2 a dim(M N) = 1. Ľahko nahliadneme, že hodnosť matice sústavy podpriestoru M je 2, preto tiež dim M = 4 - 2 = 2, a dim N = 3. Z toho dôvodu M N je vlastný podpriestor tak v M ako aj v N, čiže M, N sú rôznobežné. 14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Cvičenia 1. Nájdite nejaký fundamentálny systém riešení sústavy homogénnych lineárnych rovníc A x = 0 pre matice (a) A = 1 0 -1 -1 0 2 0 -1 1 -1 1 0 1 5 -2 Q3×5; (b) A = 2 1 3 1 2 1 3 2 1+ 6 R3×3; (c) A = 1+i 1-i 2+3i 5-i -1-5i 13 C2×3; (d) A = 0 4 0 9 0 3 2 5 0 1 1 0 Z3×4 11 . Vyjadrite všeobecné riešenie každej sústavy ako lineárnu kombináciu fundamentálneho systému riešení. 2. Nájdite nejaké riešenie nehomogénnej sústavy Ax = b a fundamentálny systém riešení príslušnej homogénnej sústavy danej rozšírenou maticou (a) (A| b) = 1 1 1 2 3 7 1 2 2 2 2 5 Q3×4; (b) (A| b) = 1 e-1 -1 e-1 2 R2×3; (c) (A| b) = 1 2 1 0 -1 1 2 1 2 7 5 1 -1 2 -1 R3×5; (d) (A| b) = 1 2 3 1 1 1 3 4 0 1 4 2 Z3×4 5 . Vyjadrite všeobecné riešenie každej sústavy v tvare súčtu jedného jej riešenia a lineárnej kombi- nácie fundamentálneho systému riešení príslušnej homogénnej sústavy. 3. V každom z nasledujúcich prípadov napíšte parametrické rovnice afinného podpriestoru M vek- torového priestoru R3 alebo R4 nad poľom R a nájdite jeho všeobecné rovnice: (a) M = {(0, 2, -1)} R3; (b) M = (1, -1, 2) + [(1, -5, 4)] R3; (c) M = [(1, 3, -1), (2, 0, 5)] R3; (d) M = (e1 + e4, 2e2 - e3) R4 (e) M = (0, 2, -1, 1) + [(3, 1, 10, -8), (3, 5, 8, -6)] R4; (f) M = ((1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)) R4; (g) M = R4. 4. Pre dané lineárne podpriestory S, T vektorového priestoru R4 nájdite v každom z nasledujúcich prípadov nejaké bázy lineárnych podpriestorov S T, S + T R4 a určte ich dimenzie: (a) S = (1, 1, 1, 1)T , (2, 0, 0, 3)T , T = (3, 2, 1, 0)T , (6, 3, 2, 4)T ; (b) S = [e1 - e2 + 2e3 + e4], T = [(1, 0, 2, 0)T , (2, -1, 4, 1)T , (4, -1, 8, 1)T ; (c) S = [e1 + e2, e2 + e3, e3 + e4], T = (1, 0, 1, 0)T , (0, 1, 0, 1)T , (1, 0, 0, 1)T . 5. Pre dané afinné podpriestory M, N vektorového priestoru R4 nájdite v každom z nasledujúcich prípadov všeobecné aj parametrické rovnice ich prieniku M N a určte ich vzájomnú polohu ako aj dimenziu spojenia M N: (a) M = (1, 0, 2, 0)T , (0, 2, 0, 1)T , N = (4, 1, 7, 2)T + (1, 2, 3, 4)T , (0, 1, 2, 3)T , (0, 0, 1, 2)T ; (b) M = (0, 0, 1, -1)T + (1, 2, 2, 1)T , (2, 1, 1, 2)T , N = (0, 1, 1, 0)T , (1, 0, 0, 1)T , (1, -1, 0, 0)T ]; (c) M = [e1, e2], N = (1, 1, 1, 1)T + [e3, e4]. 6. Afinné podpriestory M, N vektorového priestoru R5 sú dané všeobecnými rovnicami. V každom z nasledujúcich prípadov zistite ich vzájomnú polohu, napíšte parametrické rovnice ich prieniku aj spojenia a určte dimenzie afinných oboch podpriestorov M N, M N: (a) M : x1 + 2x2 = 0, x2 - 3x3 = 1, 4x3 - x4 + x5 = 2, N : 2x1 + 3x3 - x5 = 5, x2 + x4 = 0, x1 - 2x3 = 7; (b) M : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5, x1 - x2 + x3 = 1, x2 + 2x4 - x5 = 2, x3 = 1, N : 3x1 + x2 + 2x3 + 5x4 - x5 = 10, x1 + x3 + 2x4 - x5 = 1; (c) M : x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, N : x1 + x2 + x3 = 6, x1 - x2 + x3 = 2. 7. Jeden z afinných podpriestorov M, N vektorového priestoru R4 je daný všeobecnými rovnicami a druhý parametricky. V každom z nasledujúcich prípadov zistite ich vzájomnú polohu, napíšte parametrické rovnice ich prieniku M N a všeobecné rovnice ich spojenia M N a určte dimenzie afinných podpriestorov M N, M N: 9. AFINNÉ PODPRIESTORY A SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 15 (a) M : x + y + z = 0, x - 2y + z = 4, x - u = 0, N = (1, 0, -1, 0)T ; (b) M : 2x - y + 2z = 3, x + z - 2u = 0, N = (1, 4, 1, 1)T , (1, 0, 1, 0)T ; (c) M : x + y = 0, x + z = 1, x + u = 2, N = (1, 1, 2, 2)T , (2, 2, 3, 2)T . 8. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a S je jeho lineárny podpriestor. Označme V/S množinu všetkých afinných podpriestorov M priestoru V takých, že Dir M = S. Dokážte postup- ne nasledujúce tvrdenia: (a) Pre každý prvok x V existuje práve jeden podpriestor X V/S taký, že x X. Inými slovami, množina V/S tvorí rozklad množiny V a triedou rozkladu, do ktorej patrí prvok x V , je afinný podpriestor x + S V/S (pozri paragraf 0.6). (b) Prvky x, y V patria do tej istej triedy rozkladu V/S práve vtedy, keď x - y S. Inak povedané, vzťahom x S y x- y S je definovaná ekvivalencia na množine V prislúchajúca k rozkladu V/S, teda V/S = V/S. (c) Nech x1 S x2, y1 S y2 a c K. Potom tiež x1 + y1 S x2 + y2 a cx1 S cx2. (d) Nech X = x + S, Y = y + S patria do V/S. Vďaka (c) sú predpismi X + Y = (x + y) + S, cX = cx + S korektne definované operácie na množine V/S (to znamená, že výsledky týchto operácií nezávisia na reprezentantoch x, y tried X resp. Y ale výlučne na podpriestoroch X, Y ). (e) Množina V/S s uvedenými operáciami súčtu a skalárneho násobku tvorí vektorový priestor nad poľom K; nazývame ho faktorový priestor vektorového priestoru V podľa podpriestoru S. Čo je nulou v tomto vektorovom priestore? (f) Priradením x S(x) = x + S je definované surjektívne lineárne zobrazenie S : V V/S s jadrom Ker S = S. (g) Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a : V U je lineárne zobrazenie. Priradením x+Ker (x) je korektne definované injektívne lineárne zobrazenie V/ Ker U. V dôsledku toho platí V/ Ker = Im . (h) Ak V je konečnorozmerný, tak dim V/S = dim V - dim S, čo je ďalšia analógia medzi vlast- nosťami dimenzie a logaritmu (porovnaj s tvrdením 5.4.3). 9. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a S, T sú jeho lineárne podpriestory. Dokážte tzv. kosoštvorcovú vetu o izomorfizme: (S + T)/T = S/(S T). (Návod: Dokážte, že priradením (x + y) + T x + (S T), kde x S, y T, je korektne definovaný lineárny izomorfizmus (S + T)/T S/(S T).) 10. Nech pole K má konečný počet prvkov q, V je vektorový priestor nad K konečnej dimenzie n a S je jeho lineárny podpriestor dimenzie k (0 k n). Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Faktorový priestor V/S má práve qn-k prvkov. (b) Počet všetkých k-rozmerných afinných podpriestorov priestoru V je práve qn-k n k q , kde n k q je q-binomický koeficient (pozri cvičenia 5.16, 5.17).