Demonstrované cvičení k přednášce Matematika I
25.4.2006
1
Příklad 1. Zjistěte, jaké zobrazení zadává následující matice:


5/6 -1/6 -1/3
-1/6 5/6 -1/3
-1/3 -1/3 1/3


2
Řešení. Promítání na rovinu kolmou na vektor (1, 1, 2). 2
3
Příklad 2. Zjistěte, jaké zobrazení zadává následující matice:


2/3 -1/3 -2/3
-1/3 2/3 -2/3
-2/3 -2/3 -1/3


4
Řešení. Zrcadlení podle roviny kolmé na vektor (1, 1, 2). 2
5
Příklad 3. Napište Leslieho matici pro model množení králíků z příkladu
1.36., uvažujeme-li, že králíci umírají s dovršením třetího měsíce věku. Cha-
rakterizujte populaci na základě vlastností této matice.
6
Řešení. 

0 1 1
1 0 0
0 1 0


2
7
Příklad 4. Uvažujme následující populaci nezmarů, kteří se dožívají tří mě-
síců. Každý nezmar splodí mezi prvním a druhým měsícem života tři ne-
zmárky, stejně tak mezi druhým a třetím měsícem života. Nezmaři stáří do
jednoho měsíce neplodí. Třetina nezmarů po dovršení druhého měsíce života
umírá, po dovršení třetího měsíce umírají všichni.
Napište Leslieho matici modelu růstu této populace a zjistěte, na jakém
poměru mezi jednotlivými věkovými skupinami se populace ustálí. Na jaké
hodnotě se ustálí přírustek populace?
8
Řešení. 

0 3 3
1 0 0
0 2/3 0


Jediná kladná vlastní hodnota je 2, odpovídající vlastní vektor (6, 3, 1), po-
měr mezi jednotlivými skupinami se tedy ustálí na hodnotě 6 : 3 : 1. 2
9
Příklad 5. Uvažujme komplexní polynomy stupně nejvýše k (tj. funkce tvaru
akxk
+    + a1x + a0, ai  C, i = 0 . . .k) s operací sčítání funkcí. Ukažte, že
jde o vektorový prostor nad reálnými čísly a napište nějakou jeho bazi. Jaká
je jeho dimenze?
10
Řešení. dimenze je 2k + 2. 2
11
Příklad 6. Rozhodněte o následujících tvrzeních, jestli jsou pravdivá, či ne-
pravdivá. Buď je dokažte nebo vyvraťte protipříkladem.
1. Každá čtvercová matice n × n nad R má právě n reálných vlastních
hodnot (každá je počítána tolikrát, jaká je její násobnost).
2. Reálná čtvercová matice n×n nad R může mít komplexní vlastní hod-
notu.
3. Komplexní čtvercová matice n × n může mít pouze reálné vlastní hod-
noty.
12
Řešení.
1. Ne. Skoro každá matice je protipříkladem.
2. Ano.
3. Ano.
2
13
Příklad 7. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy
všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je
18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud
získá 800 Kč. Zformulujte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho
matici.
14
Řešení. 





1 a a a 0
0 0 0 0 0
0 b 0 0 0
0 0 b 0 0
0 0 0 b 1






,
kde a = 19
37
a b = 18
37
. 2
15
Příklad 8. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že
pravděpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez
použití výpočetního software určete A100
.
16
Řešení. Hra skončí po třech sázkách. Jsou tedy všechny mocniny A, počínaje
A3
shodné. 





1 7/8 3/4 1/2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1/8 1/4 1/2 1






2
17
Příklad 9. Je dáno lineární zobrazení R3
 R3
ve standardní bázi následujicí
maticí: 

1 -1 0
0 1 1
2 0 0

 .
Napište matici tohoto zobrazení v bázi
e1 = (1, 1, 0)
e2 = (0, 1, 1)
e3 = (0, 0, 1).
18
Příklad 10. Řešte následující diferenční rovnici:
xn+4 = xn+3 - 2xn+2 + xn+1 - xn.
19