Demonstrované cvičení k přednášce Matematika I
2.5.2006
1
Příklad 1. Napište dvě homogenní diferenční rovnice druhého řádu takové,
že posloupnosti, které vyhovují oběma rovnicím, tvoří jednodimenzionální
vektorový prostor.
2
Příklad 2. V R3
určete matici rotace o 60
v kladném smyslu kolem osy y v
bázi dané vektory (1, 0, 1), (0, -1, 1), (0, 1, 0).
3
Řešení. 


1
2
+

3
2

3
2
0
-

3 1
2
-

3
2
0
-

3 -1
2
-

3
2
1



2
4
Příklad 3. Rozhodněte, zda zobrazení dané následující maticí je ortogonální.
Pokud ano, určete osu otáčení a úhel, o který se otáčí.


2
3
2
3
1
3
-1
3
2
3
-2
3
-2
3
1
3
2
3

 .
5
Řešení. Otáčení o 60
kolem osy (1, 1, -1). 2
6
Příklad 4.
1. Jak můžeme zapsat stav Markovovského procesu po n-krocích, je-li
proces dán maticí A a výchozí stav vektorem x0?
2. Dokažte, že matice Markovovského procesu nemůže být nilpotentní.
7
Příklad Určete nějakou ortonormální bázi vektorového prostoru V = {(x1, x2, x3, x4) 
R4
|x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
8
Příklad Jaké posloupnosti utlumí lineární filtr T : xn

n=1  zn

n=1, zn =
xn+5 + xn+4 + xn+3 + xn+2 + xn+1 + xn?
9
Příklad V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu
vyplynulo, že po jednom roce přejde 1/6 diváků první stanice ke druhé stanici,
1/4 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu
diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici,
nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory.
10