Demonstrované cvičení k přednášce Matematika I
15.5.2006
1
Příklad 1. Dokažte, že reálný vektorový prostor všech funkcí R  R je
nekonečně dimenzionální.
2
Řešení. Nechť má konečnou dimenzi k. Pak funkce 1, x,. . . xk
tvoří lineárně
nezávislou množinu o k + 1 vektorech. Spor. 2
3
Příklad 2. Napište nějakou bázi reálného vektorového prostoru matic 3 × 3
nad R s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice
matice 

1 2 0
0 2 0
1 -2 -3


v této bázi.
4
Příklad 3. Zaveďte nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z
předchozího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která
je indukovaná Vámi zavedeným součinem.
5
Příklad 4. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem nalezněte ně-
jakou ortonormální bází podprostoru V  R, kde V = {(x1, x2, x3, x4) 
R4
|x1 + 2x2 + x3 = 0}.
6
Příklad 5. Určete matici standardního skalárního součinu v R3
v bázi dané
vektory (1, 5, 1), (2, 3, 0), (1, 0, -1).
7
Řešení. 

27 17 0
17 13 2
0 2 2


Označíme-li matici přechodu od dané báze ke standardní jako P, pak je to
PT
P. 2
8
Příklad 6. Uvažme skalární součin daný tím, báze tvořená vektory (1, 5, 1),
(2, 3, 0), (1, 0, -1) je v něm ortonormální. Napište matici tohoto skalárního
součinu ve standardní bázi.
Řešení. (P-1
)T
P-1
.


43/16 -11/8 55/16
-11/8 3/4 -15/8
55/16 -15/8 83/16

 .
2
9
Příklad 7. Nechť A je čtvercová matice n × n. Dokažte, že matice AT
A je
symetrická.
10
Příklad 8. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného vý-
zkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1/6 diváků první stanice ke druhé
stanici, 1/5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vý-
voj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho
matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory.
11
Řešení.
5
6
1
5
1
6
4
5
.
Dominantní vlastní hodnota 1, příslušný vlastní vektor (6
5
, 1). Poměr diváků
se ustálí na 6 : 5. 2
12
Příklad 9. Rozhodněte, zda leží bod [1, 4, 2] uvnitř konvexního obalu bodů
[1, 5, 2], [6, 2, 0], [5, 0, 1], [0, 1, 3].
13
Příklad 10. Určete příčku mimoběžek
p : [2, 5, 4] + t(1, 1, 1) a q : [3, 3, -1] + r(2, 1, 0),
procházející bodem [1, 3, 1].
14
Příklad 11. Parametricky vyjádřete rovinu   R4
, která je dána rovnicemi
x1 + x2 - x4 = 1
x2 + 3x3 + x4 = 0.
15
Příklad 12. Vyjádřete afinní zobrazení f : R2
 R2
dané ve standardní
afinní bázi v R2
jako
f(x1, x2) =
1 0
2 1
x1
x2
+
3
3
,
v bázi ([1, 0], (1, 2), (-1, 1)).
16