Demonstrované cvičení, Matematika I
21.2.2006
1
Diferenční rovnice
Opakování matka moudrosti
Diferenční rovnicí rozumíme přepis pro členy posloupnosti {xn}
n=0 tvaru:
xn+k = f (xn+k-1, . . . , xn) ,
kde f je funkce R  R.
Typy diferenčních rovnic:
ˇ homogenní
ˇ nehomogenní
ˇ lineární
ˇ nelineární
ˇ prvního řádu
ˇ vyšších řádů
ˇ s konstantními koeficienty
ˇ s nekostantními koeficienty
Metody řešení: Uvedeme metody řešení pouze pro některé typy diferenčních
rovnic.
1. Pro rovnice prvního řádu je řešení dáno následovně: n-tý člen posloup-
nosti {y(n)}
n=0 zadané rekurentně
y(n + 1) = a(n)y(n) + g(n), n  1
spočítáme jako
y(n) =
n-1
i=0
a(i) y0 +
n-1
r=0
n-1
i=r+1
a(i) g(r).
2
2. Lineární homogenní diferenční rovnice s konstatními koeficienty. Mno-
žina řešení je vektorový prostor. Jeho báze je dána posloupnostmi
{n
i }
i=1, pro jednoduché kořeny charakteristického polynomu, resp. {kt
n
i }
i=1,
1  t  (s - 1), pro s-násobné kořeny charakteristického polynomu.
3. Lineární nehomogenní diferenční rovnice s konstantními koeficienty.
Množina řešení je afinní prostor, jehož zaměřením je vektorový prostor
řešení zhomogenizované rovnice. Jedno řešení určíme metodou neurči-
tých koeficientů.
3