Demonstrované cvičení, Matematika I, 28.2.2006
1
Příklad 1. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět a za deset let,
vkládám-li 2000 Kč měsíčně, vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení
probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč? (státní
příspěvek se připisuje vždy až následující rok)
Řešení. Označme xn sumu našetřených peněz po uplynutí n-tého roku. Pro
xn sestavíme rekurentní formuli:
xn = 1, 03(xn-1+24000)+1500 = 1, 03xn-1+1, 0324000+1500 = 1, 03xn-1+26220.
Podle vztahu uvedeného jak na přednášce, tak na demonstrovaných cviče-
ních je
xn = 26220
n-1
i=0
(1, 03)i
= 26220 
1, 03n
- 1
0, 03
Dosazením pak x5
.
= 139206 Kč a x10
.
= 300583 Kč. 2
2
Příklad 2. Kolik můžeme vytvořit různých znaků základního Breilova písma
(znak spočívá ve zvýraznění nějakých bodů v obdélníkovém schématu 2 × 3).
Uvažujeme i znaky, které nedávají smysl.
Řešení. 26
= 64. 2
3
Příklad 3. Určete koeficient u členu x1x2
2x4
3 polynomu (o třech neznámých)
(2x1 + 3x2 + 4x3)7
.
Řešení. Permutace s opakováním. 7!
2!4!
2  32
 44
. 2
4
Příklad 4. Na kolik nejvýše částí dělí rovinu n-čtverců?
Řešení. Pro počet xn odvodíme rekurentní formuli xn = xn-1 + 8(n - 1),
n  2. Protože x1 = 2, tak
xn = 8(
n-1
i=1
i) + 2 = 4n(n - 1) + 2.
2
Příklad 5. Pro libovolné pevné n  N určete počet všech řešení rovnice
x1 + x2 +    + xk  n
v množině přirozených čísel.
5
Příklad 6. V klobouku je šest bílých a pět černých koulí. Vytahujeme koule
bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude bílá. Jaká
je pravděpodobnost, že n-tá (1  n  11) vytažená koule bude bílá?
6
Příklad 7. V klobouku je šest bílých a pět černých koulí. Vytahujeme koule
bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že třetí vytažená koule bude bílá za
předpokladu, že druhá vytažená koule byla černá? Jsou tyto jevy závislé či
nezávislé?
7
Příklad 4. Na jisté internetové stránce probíhá hlasování o nejlepšího hoke-
jistu světa uplynulého desetiletí. Počet hlasů pro jednotlivé hráče je uváděn v
procentech a to zaokrouhleně na celá procenta. Poté, co odevzdal svému favo-
ritovi hlas i Mirek, se na procentuálním zisku 13% hlasů pro Jaromíra Jágra
nic nezměnilo. Kolik mininálně lidí (včetně Mirka) se volby účastnilo?
8