Demonstrované cvičení k přednášce Matematika I
7.3.2006
Příklad 1. Ročně zahyne na silnicích v ČR přibližně 1200 lidí. Určete prav-
děpodobnost, že někdo ze studentů, kteří mají zapsán předmět Matematika I
(nyní 215), zemře v následujících deseti letech při dopravní nehodě. Předpoklá-
dejte, že počet obyvatel ČR je konstantní a to 107
obyvatel a že každý má v
jednom roce stejnou ,,šanci stát se účastníkem smrtelné dopravní nehody a to
1200/107
.
Řešení.
1 - (1 -
12
105
)2150 .
= 0, 23.
2
Příklad 2. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti
lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy?
Řešení.
8 + 4
3
8
2
12
5
.
2
Příklad 3. Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých
koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, že
pátá vytažená koule bude černá?
Řešení. 3
8
. 2
Příklad 4. Kolika způsoby lze rozestavit n věží na šachovnici n × n tak, aby
bylo každé neobsazené pole ohrožováno některou z věží?
Řešení. Daná rozestavení jsou sjednocením dvou množin: množiny rozestavení,
kdy je alespoň v jednom řádku jedna věž (tedy v každém řádku právě jedna) a
množiny rozestavení, kdy je v každém sloupci alespoň (tedy právě) jedna věž.
Podle principu inkluze a exkluze je počet hledaných rozestavení:
2nn
- n!
2
Příklad 5. Z bodu [-2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1s-1
ve směru (3, 2) úsečka délky 2. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, -2] druhá
úsečka délky 1 ve směru (-1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se?
Příklad 6. Určete viditelnost stran pravidelného šestiúhelníka s jedním vrcho-
lem v bodě [5, 5] a středem v bodě [4, 5], při pohledu z bodu [2, 1].
Příklad Určete, zda bod [5, 6] leží v pásu roviny omezeném rovnoběžkami p :
[-100, 54] + s(-3, 4) a q : [77, -45] + t(-3, 4).
Příklad 7. Na jisté internetové stránce probíhá hlasování o nejlepšího hoke-
jistu světa uplynulého desetiletí. Počet hlasů pro jednotlivé hráče je uváděn v
procentech a to zaokrouhleně na celá procenta. Poté, co odevzdal svému favori-
tovi hlas i Mirek, se na procentuálním zisku 13% hlasů pro Jaromíra Jágra nic
nezměnilo. Kolik mininálně lidí (včetně Mirka) se volby účastnilo?