Demonstrované cvičení k přednášce Matematika I
21.3.2006
1
Příklad 1. Na kolik maximálně částí dělí trojrozměrný prostor n koulí?
Řešení. Maximální počet yn částí, na které rozdělí n kružnic rovinu je yn =
yn-1 + 2(n - 1), y1 = 2, tedy yn = n2
- n + 2.
Pro maximální počet pn částí, na které potom rozdělí n koulí prostor pak
dostáváme rekurentní vztah pn+1 = pn + yn, p1 = 2, tedy celkem pn = n
3 (n2
-
3n + 8). 2
2
Příklad 2. Spočítejte obsah trojúhelníka zadaného přímkami
p : y = 2x - 1
q : 3y = -2x + 21
r : y = 3.
Řešení. Vrcholy jsou [2, 3], [6, 3], [3, 5], obsah pak 4 čtereční jednotky. 2
3
Příklad 3. Napište souřadnice vrcholů trojúhelníka, který vznikne otočením
rovnostranného trojúhelníka jehož dva vrcholy jsou [1, 1] a [2, 3] (třetí pak v
polorovině dané přímkou [1, 1][2, 3] a bodem [0, 0]) o 60
v kladném smyslu
kolem bodu [0, 0].
Řešení. Třetí vrchol trojúhelníka dostaneme např. otočením o 60
jednoho z
vrcholů kolem druhého (ve správném smyslu). [-3
2

3,

3- 1
2 ], [1
2 - 1
2

3, 1
2

3+
1
2 ]), [1 - 3
2

3,

3 + 3
2 ]. 2
4
Příklad 4. Kolik je surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3, 4, 5} na množinu
{1, 2, 3}?
Řešení. Principem inkluze a exkluze: 35
- 3(25
- 2) - 3 = 150. 2
5
Příklad 5. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Menza má
otevřeno od 11h do 14h. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu pří-
chodu (mezi 11h a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se na
obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu?
6
Příklad 6. Sečtěte následující řadu:
1  2  3 + 2  3  4 + 3  4  5 +    + n(n + 1)(n + 2).
7
Příklad 7. Co vznikne složením dvou středových souměrností v rovině podle
různých středů? Co složením tří středových souměrností podle různých středů?
Obecně složením sudého či lichého počtu středových symetrií? Odpovědi zdů-
vodněte.
8
Příklad 8. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvi-
valence:
1. M = R \ {0}, (a  b)  a
b  Q.
2. M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná množina).
3. M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná množina).
4. M je množina čtvercových matic 2 × 2, (A  B)  AB = BA.
9