Demonstrované cvičení k přednášce Matematika II
28.2.2006
1
Příklad 1. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky:
P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -1, P(5) = 6.
Řešení. Řešíme buď přímo nebo pomocí fundamentálních Lagrangeových
polynomů (viz přednáška). Je dobré je na tabuli napsat.
P(x) =
4
3
z3
- 12z2
+
101
3
z - 29.
2
2
Příklad 2. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky:
P(1 + i) = i, P(2) = 1, P(3) = -i.
Řešení. P(x) = (-3
5
- 4
5
i)x2
+ (2 + 3i)x - 3
5
- 14
5
i. 2
3
Příklad 3. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky:
P(1) = 0, P
(1) = 1, P(2) = 3, P
(2) = 3.
Řešení. Nejvhodnější je použít přepočítaný polynom ze skript. Opět zkuste
napsat fundamentální Hermiteovy polynomy (viz demontstr. cvičení). P(x) =
-2x3
+ 10x2
- 13x + 5. 2
4
Příklad 4. Pro n  N sečtěte řadu
S =
n
0
+
n
5
+
n
10
+   
kde řada pokračuje dokud mají vypisovaná kombinační čísla smysl (dole je
menší číslo než nahoře).
5
Řešení. Označme  := cos(2/5) + i sin(2/5). Pak 5
= 1. Uvažme násle-
dujících pět rovností
(1 + 1)n
=
n
0
+
n
1
+    +
n
n
(1 + )n
=
n
0
+
n
1
1
+    +
n
n
n
(1 + 2
)n
=
n
0
+
n
1
2
+    +
n
n
2n
(1 + 3
)n
=
n
0
+
n
1
3
+    +
n
n
3n
(1 + 4
)n
=
n
0
+
n
1
4
+    +
n
n
4n
Protože 1 + t
+ 2t
+ 3t
+ 4t
= 5-1
t-1
= 0 pro čísla nedělitelná pěti, pro čísla
dělitelná pěti je tento součet 5. Sečtením daných pěti binomických rozvojů
tedy dostaneme:
(1 + 1)n
+ (1 + )n
+ (1 + 2
)n
+ (1 + 3
)n
+ (1 + 4
)n
= 5S,
Využitím toho, že (1 + ) = 2 + 2 cos(2/5)(cos(/5) + i sin(/5)) =
2 cos(/5)(cos(/5) + i sin(/5)) (dokreslením kosočtverce v Gausově ro-
vině; vrcholy 0,1,,1+). Obdobně (1+2
) = 2 + 2 cos(4/5)(cos(2/5)+
i sin(2/5)) = 2 cos(2/5))(cos(2/5) + i sin(2/5)). Užitím Moivreovy věty
pak
S =
1
5
2n+1 1
2
+ [cos(/5)]n
cos(n/5) + [cos(2/5)]n
cos(2n/5) .
2
6
Příklad 5. Buď A  R a s buď dolní závorou A. Pak jsou následující výroky
ekvivalentní:
ˇ s = inf A
ˇ (), ( > 0), (x  A): s +  > x.
7
Příklad 6. Určete hromadné, hraniční, izolované a vnitřní body následující
podmnožiny v R:
1
n
|n  N .
8
Příklad 7. Definujme následující funkci f : R  R:
f(x) =
1
q
jestliže x = p
q
 Q, p a q nesoudělná
0 jestliže x / Q
Určete, ve kterých bodech je f spojitá.
9