Demonstrované cvičení k přednášce Matematika II
7.3.2006
1
Příklad 1. Načrtněte následující podmnožiny v C
1. {z  C| |z - 1| = |z + 1|}
2. {z  C| 1  |z - i|  2}
3. {z  C| Re(z2
) = 1}
4. {z  C| Re(1
z
) < 1
2
}
Řešení.
ˇ imaginární osa
ˇ mezikruží okolo i
ˇ hyperbola a2
- b2
= 1.
ˇ vnějšek jednotkového kruhu se středem v 1.
2
2
Příklad 2. Určete hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body následujících
podmnožin v R:
1. N
2. Q
3. {x  R| 0  x < 1}.
Svá tvrzení zdůvodněte.
Řešení.
1. , N, N, 
2. R, , Q, 
3. 0, 1 , , 0, (0, 1)
2
3
Příklad 3. Udejte příklad podmnožiny v R, která
1. není ani otervřená ani uzavřená
2. je uzavřená, ale není kompaktní
4
Příklad 4. Buď f : R  R definována následovně:
f(x) =
x jestliže x  Q
0 jestliže x / Q
Určete, ve kterých bodech je f spojitá. Zdůvodněte.
Řešení. Pouze v bodě 0. 2
5
Příklad 5. Definujme následující funkci f : R  R:
f(x) =
1
q
jestliže x = p
q
 Q, p a q nesoudělná
0 jestliže x / Q
Určete, ve kterých bodech je f spojitá.
6
Věta o třech limitách. Buď f, g, h reálné funkce takové, že existuje
okolí bodu x0  R, kde platí f(x)  g(x)  h(x). Pak pokud existují limity
lim
xx0
f(x) = f0 a lim
xx0
h(x) = h0 a navíc f0 = h0, pak také existuje limita
lim
xx0
g(x) = g0 a platí g0 = f0 = h0.
Důkaz. Z definice limity, pro libovolné  > 0 existuje okolí U bodu x0,
ve kterém je f(x), h(x)  (g0 - , g0 + ). z podmínky f(x)  g(x)  h(x)
vyplývá, že i g(x)  (g0 - , g0 + ), tedy lim
xx0
g(x) = g0.
7
Příklad 6. Ukažte, že pro libovolné reálné c > 0 je lim
n
n

c = 1.
8
Příklad 7. Určete intervaly monotónnosti polynomu x3
- x2
- x + 1 a na-
črtněte jeho graf.
9