Demonstrované cvičení k přednášce Matematika II
14.3.2006
Příklad 1. Spočítejte následující limity posloupností (pomocí pravidel uvedených
na přednášce a demonstrovaných cvičeních):
1. lim
n
2n2+3n+1
n+1
,
2. lim
n
2n2+3n+1
3n2+n+1
,
3. lim
n
n+1
2n2+3n+1
,
4. lim
n

4n2 + n - 4n2
,
5. lim
n

4n2 + n - 2n.
Řešení.
1. .
2. 2
3
.
3. 0.
4. -.
2
Příklad 2. Dokažte:
1. Pro libovolné n, k  N, n  k platí:
n! 
k!
kk
kn
.
2. S využitím toho, že pro libovolné c > 0 platí lim
n
n

c = 1 dokažte, že
lim
n
n

n! = .
Příklad 3. Z definice derivace ukažte, že pro derivaci polynomu platí
anxn
+ an-1xn-1
+    + a1x1 + a0 = nanxn-1
+ (n - 1)an-1xn-2
+    + a1.
Řešení. Využijte linearity derivace a dokažte pro jednotlivé monomy. 2
Příklad 4. Zderivujte následující funkce. Výsledek napište v co nejjednodušším
tvaru.
1. x2-x
x3-1
,
2. x3-7x2+17x-10
x2-3x+2
.
Řešení.
1. 1-x2
(x2+x+1)2 .
2. 1.
2
Příklad 5. Určete kořeny polynomu 4x4
- 8x3
+ 8x2
- 4x + 1.
Příklad 6. Ukažte, že tzv. harmonická řada

i=1
1
i
diverguje.