Demonstrované cvičení k přednášce Matematika II
21.3.2006
Příklad 1. Udejte příklad funkce f : R  R, která je na celém R hladká, pouze v
jednom bodě je jenom dvakrát diferencovatelná.
Řešení. Např. f je tvořena po částech dvěma kubickými polynomy (viz splajny).
2
Příklad 2. Udejte příklad hladké funkce f : R  R, která je globálně invertovatelná
a přitom f-1
není všude na svém definičním oboru diferencovatelná.
Řešení. Libovolná invertovatelná fce, která má někde nulovou derivaci (např x3
).
2
Příklad 3. Určete kořeny polynomu P(x) = x4
- 2x3
+ 5x2
- 4x + 4.
Řešení. Ukažte nejprve, že polynom nemá racionální kořeny. Společný faktor s
derivací je polynom (x2
- x + 2) (připomeňte Eukleidův algoritmus) a každý jeho
kořen je tedy dvojnásobným kořenem P(x). Tyto kořeny jsou 1
2
 1
2
i

7. 2
Příklad 4. Zderivujte následující funkce.
1. xx
,
2. xxx
,
3. ex
x
.
Řešení.
1. xx
(ln x + 1),
2. xxx
x(x-1)
+ ln x [xx
(ln x + 1)] ,
3. ex
x
- ex
x2 .
2
Příklad 5. Určete derivaci funkcí arcsin(x) a arctan(x).
Leibnitzovo kriterium konvergence. Nechť {an}
n=1 je nerostoucí posloupnost
kladných čísel taková, že lim
n
an = 0. Pak alternující řada

n=1
(-1)n+1
an konver-
guje.
Důsledek. Alternující harmonická řada

n=1
(-1)n+1 1
n
konverguje.
L'Hospitalovo pravidlo.
Příklad 6. Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či divergují:
1.

n=1
2n
n
2.

n=1
1
n
3.

n=1
1
n2100000
4.

n=1
1
(1+i)n
Příklad 7. Určete poloměr konvergence následujících mocninných řad:
1.

n=1
2n
n
xn
2.

n=1
1
n
xn
3.

n=1
xn
4.

n=1
1
(1+i)n xn