Sada domácích úloh k přednášce Matematika II
k odevzdání v týdnu 10. ­ 14. dubna 2006
Příklad 1. Do rovnostranného trojúhelníka o straně a je vepsán pravoúhelník (jedna jeho strana
leží na straně trojúhelníka, zbylé dva vrcholy leží na zbylých stranách trojúhelníka). Jaký může
mít maximálně obsah?
Příklad 2. V devět hodin ráno vylezl vlk z nory N a v rámci ranní rozcvičky začal běhat po
kružnici o poloměru 1km, kolem svého oblíbeného pařezu P a to rovnoměrnou rychlostí 4 km/h.
Ve stejnou dobu vyrazila Karkulka z domu D k babičce sídlící v chaloupce C rychlostí 4 km/h (po
přímce). Kdy si budou nejblíž a jaká tato vzdálenost bude? Souřadnice (v kilometrech): N = [1, 2],
P = [2, 2], D = [0, 0], C = [4, 4].
Příklad 3. Dokažte (za použití vět z přednášky), nebo vyvraťte (protipříkladem):
1. Není-li funkce Riemannovsky integrovatelná na nějakém uzavřeném intervalu, pak tam nemá
ani derivaci.
2. Nemá-li funkce derivaci v nějakém bodu jistého uzavřeného intervalu, pak na něm není Rie-
mannovsky integrovatelná.
3. Má-li funkce derivaci v nekonečně mnoha bodech nějakého uzavřeného intervalu, pak je na
něm Riemannovsky integrovatelná.
Příklad 4. Určete obsah rovinného útvaru omezeného grafy funkcí f(x) = x a g(x) = x2
.