Příklad 1. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty).
ln(x2
- 3x + 2) + x.
Řešení. Def. obor R \ 1, 2 . Lokální maximum x = 1-

5
2 , na celém def. oboru konkávní, asymptoty x = 1, x = 2. 2
Příklad 2. Určete povrch a objem rotačního paraboloidu, který vznikne rotací části paraboly y = 2x2
pro x  0, 1
kolem osy y.
Řešení. Vzorce z přednášek platí pro rotaci křivek kolem osy x! Je tedy nutno buď integrovat podle danou křivku
neznámé y, nebo transformovat.
V =
2
0
x
2
dx = 
S = 2
2
0
x
2
( 1 +
1
8x
) dx = 2
2
0
x
2
+
1
16
dx = 
17

17 - 1
24
dx.
2
Příklad 3. Ve čase t = 0 se začaly pohybovat tři body P, Q, R v rovině a to bod P z bodu [-2, 1] směrem (3, 1),
rovnoměrnou rychlostí

10 m/s, bod Q z bodu [0, 0] směrem (-1, 1) rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením
2

2 m/s2
a bod R z bodu [0, 1] směrem (1, 0) rovnoměrnou rychlostí 2 m/s. V jakém čase bude obsah trojúhelníku
PQR minimální?
Řešení. Rovnice bodů P, Q, R v čase jsou
P : [-2, 1] + (3, 1)t
Q : [0, 0] + (-1, 1)t2
R : [0, 1] + (2, 0)t
Obsah trojúhelníka PQR je určený např. polovinou absolutní hodnoty determinantu, jehož řádky jsou souřadnice
vektorů PQ a QR (viz Matematika I). Minimalizujeme tedy determinant:
-2 + t t
-t2
- 2t -1 + t2 = 2t3
- t + 2.
Derivace je 6t2
- 1, extrémy tedy nastávají pro t =  1
6
, vzhledem k tomu, že uvažujeme pouze nezáporný čas,
vyšetřujeme pouze t = 1
6
, jde o minimum, navíc je hodnota determinantu v tomto bodě kladná a menší, než hodnota
v bodě 0 (krajní bod intervalu, na kterém hledáme extrém), je tedy o globální minimum obsahu v čase. 2
Příklad 4. Spočtěte určitý integrál

3
1
x3 - 3x2 + 3x - 2
dx.
Řešení. Počítáme metodou rozkladu na parciální zlomky. Polynom ve jmenovateli má kořen 2, snadno jej tedy
rozložíme na součin (x2
- x + 1)(x - 2),. . . . -1
6

3 + 1
6 ln(7) + 1
3

3 arctan(5

3
3 ). 2
Příklad 5.
1. Co je to poloměr konvergence mocninné řady (jako funkce C  C)? Jak jej spočítáme?
2. Definujte stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí.
3. Rozhodněte o funkčních řadě {enx
}
n=1, zda bodově konverguje na intervalu 0, 1 k nějaké funkci. Pokud ano,
rozhodněte je-li tato konvergence stejnoměrná. Svá rozhodnutí zdůvodněte.