Příklad 1. Určete parametr c  R tak, aby tečna ke grafu funkce ln(cx)

x
v bodě [1, 0] procházela bodem [2, 2].
Řešení. Podle zadání má mít tečna směrnici 2 (2-0
2-1 ). Směrnice je určena derivací funkce v daném bodě, dostáváme
tedy podmínku
2 - ln(cx)
2

x
(1) = 2, neboli 2 - ln(c) = 4,
tedy c = 1
e2 . Pro c = 1
e2 je však hodnota fce ln(cx)

x
v bodě 1 rovna -2. Tedy žádné takové c neexistuje. 2
Příklad 2. Vyšetřete průběh funkce ln(x)
x (tj. mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty) a načrtněte její
graf.
Řešení. Def. obor R+
, globální maximum x = e, infl. bod x =

e3, rostoucí na int (0, e), klesající na (e, ), konkávní
(0,

e3, konvexní (

e3, ), asymptoty x = 0 a y = 0, limx0 f(x) = -, limx f(x) = 0. 2
Příklad 3. Rozviňte funkci ln(1 + x) do mocninné řady v bodech 0 a 1 a určete všechna x  R, pro která tyto řady
konvergují.
Řešení. Rozvinout funkci do mocninné řady v daném bodě je to stejné, jako určit její Taylorův rovoj v daném bodě.
ln(x + 1) = x -
1
2
x2
+
1
3
x3
-
1
4
x4
+ . . .
= ln(2) +
1
2
(x - 1) -
1
8
(x - 1)2
+
1
3  23
(x - 1)3
-
1
4  24
(x - 1)4
+ . . .
První řada konverguje pro -1 < x  1, druhá pro -1 < x  3. 2
Příklad 4. Spočtěte neurčitý integrál
1
x4 + 3x3 + 5x2 + 4x + 2
dx.
Řešení. 1
2 ln(x2
+ 2  x + 2) - 1
2 ln(x2
+ x + 1) + 1
3

3 arctan (2x+1)

3
3 + C. 2
Příklad 5.
1. Definujte pojem ,,spojitá funkce .
2. Definujte pojem konvergence nekonečné řady.
3. Sformulujte L'Hospitalovo pravidlo pro počítání limit funkcí.