LINEÁRNÍ PODPROSTORY a LINEÁRNÍ
NEZÁVISLOST
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
3. října 2006
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se vrátíme ke studiu abstraktních vektorových
prostorů nad obecným tělesem. K tedy bude v celé kapitole
označovat nějaké pevné, jinak libovolné těleso a V bude pevně
zvolený vektorový prostor nad K.
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Lineární obal v prostorech Km
Lineárně nezávislé posloupnosti
Lineární podprostory I
Množina S  V se nazýva lineární (vektorový) podprostor
vektorového prostoru V , pokud S =  a pro všechny skaláry a  K
a vektory x, y  S platí ax  S a x + y  S.
Lineární podprostory II
Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S  V je lineární podprostor
právě tehdy, když je uzavřená na operace skalárního násobku a
součtu vektorů.
Tvrzení
Nechť S je lineární podprostor vektorového prostoru V . Pak 0  S
a S s operacemi součtu vektorů a skalárního násobku zúženými z V
na S tvoří vektorový prostor nad (číselným) tělesem K.
Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory
(v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde
o dva různé podprostory) ­ {0} nazývame triviální nebo též
nulový a V nevlastní alebo též plný lineární podprostor.
Tedy pro vlastní netriviální lineární podprostor S  V platí
{0} = S = V .
Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory
jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0.
To si můžeme graficky vyjádřit pomocí následujícího obrázku, který
samozřejmě ukáže pouze několik z nekonečně mnoha lineárních
podprostorů.
Lineární podprostory jsou popsány pomocí minimálního počtu
generátorů.
Lineární podprostory V
8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
$$$$$$$$$$8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;

8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
 
 
8
><
>:
x
0
B
@
1
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A
9
>=
>;
e
e8
><
>:
y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;
r
rrr8
><
>:
y
0
B
@
2
1
0
1
C
A
9
>=
>;
  8
><
>:
y
0
B
@
1
1
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


rrr
rr
d
d8
><
>:
0
B
@
0
0
0
1
C
A
9
>=
>;
Následující tvrzení charakterizuje lineární podprostory jako množiny
uzavřené na lineární kombinace.
Lineární podprostory VI
Tvrzení
Pro libovolnou podmnožinu S vektorového prostoru V jsou
následující podmínky ekvivalentní:
(i) S je lineární podprostor ve V ;
(ii) S =  a pro všechny skaláry a, b  K a vektory x, y  S platí
ax + by  S;
(iii) pro každé n  N a pro všechny skaláry a1, . . . , an  K a
vektory x1, . . . , xn  S platí
a1x1 + . . . + anxn  S.
Lineární podprostory VII
Příklad
(a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X  K takových, že
množina {x  X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární
kombinaci funkcí f , g  K(X) platí
{x  X; af (x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f (x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Z toho vyplývá, že K(X) je lineární podprostor vektorového prostoru
KX .Je-li X je konečná, tak K(X) = KX , je-li X je nekonečná, tak
K(X) je netrivální vlastní podprostor v KX .
Lineární podprostory VIII
(b)Nechť X  R je libovolná množina reálných čísel. Potom
C(X, R), nebo jen stručně C(X) označuje množinu všech
spojitých funkcí f : X  R.
Protože lineární kombinace spojitých funkcií je zřejmě opět spojitá
funkce, C(X) je lineární podprostor v RX .
Lineární obal I
Množinu všech lineárních kombinací vektorů z podmnožiny X
vektorového prostoru V nazýváme lineárním obalem množiny X a
označujeme ji [X].
Tedy
[X] = { a1x1 + . . . + anxn; n  N
& a1, . . . , an  K & x1, . . . , xn  X}.
Lineární obal II
Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak místo [{x1, . . . , xn}]
píšeme jen [x1, . . . , xn].
Zřejmě tento zápis má smysl i pro libovolou uspořádanou n-tici (ne
nutně různých) vektorů (x1, . . . , xn), a platí
[x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an  K}.
Lineární obal III
Tvrzení
Nechť X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineární
obal [X] množiny X je nejmenší lineární podprostor vektorového
prostoru V takový, že X  [X].
Dokázané tvrzení nás opravňuje nazývat lineární obal [X] množiny
X  V též lineárním podprostorem generovaným množinou X.
Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S,
případně, že X je generující množina nebo též množina
generátorů lineárního podprostoru S  V .
Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme o generující množině.
Používá se též název vytvářející či vytvořující množina.
Kvůli přehlednosti ještě shrneme základní vlastnosti operace
lineárního obalu X  [X].
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X];
(e) [[X]] = [X];
(f) v  [X]  [X  {v}] = [X].
Součet I
Nechť X, Y jsou libovolné podmnožiny vektorového prostoru V .
Potom množinu
X + Y = {x + y; x  X & y  Y }
nazýváme součtem množin X, Y .
Součet II
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Potom i S  T a S + T jsou lineární podprostory ve V . Navíc platí
S + T = [S  T],
t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V , který obsahuje S i
T.
Sjednocení dvou lineárních podprostorů S, T vektorového
prostoru V nemusí být lineárním podprostorem.
Součet III
Přesněji, S  T je lineární podprostor ve V právě tehdy, když
S  T nebo T  S.
Součet lineárních podprostorů S, T vektorového prostoru V
nazýváme přímý nebo též direktní součet, pokud S  T = {0};
píšeme pak S  T.
Součet IV
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) S  T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní;
(ii) každý vektor z  S + T má jednoznačné vyjádření ve tvaru
z = x + y, kde x  S, y  T.
Závislost I
Nechť u1, . . . , un  V .
Říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně
závislá, pokud existují skaláry c1, . . . , cn  K tak, že
(c1, . . . , cn) = 0 a c1u1 + . . . + cnun = 0.
V opačném případě říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů
(u1, . . . , un) je lineárně nezávislá.
Závislost II
Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že uspořádanou 0-tici (t. j.
prázdnou posloupnost) vektorů považujeme za lineárně
nezávislou.
Místo o "lineárně (ne)závislé uspořádané n-tici vektorů
(u1, . . . , un)" budeme často mluvit jen o lineárně (ne)závislých
vektorech u1, . . . , un.
Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně
nezávislé právě tehdy, když
( c1, . . . , cn  K)
(c1u1 + . . . + cnun = 0  c1 = . . . = cn = 0).
Pro n-tici skalárů (c1, . . . , cn) = 0 platí
c1u1 + . . . + cnun = 0
pro libovolnou n-tici vektorů (u1, . . . , un), bez ohledu na to, zda
je lineárně závislá nebo nezávislá.
Závislost IV
Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme jako výsledek
lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné
n-tice skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) ­ takovéto
uspořádané n-tice (u1, . . . , un) nazýváme lineárně závislé.
Pro některé uspořádané n-tice vektorů (u1, . . . , un) je volba
(c1, . . . , cn) = 0 jediná možnost jak pomocí lineární kombinace
c1u1 + . . . + cnun získáme výsledek 0 ­ takovéto n-tice nazýváme
lineárně nezávislé.
Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden
z nich je násobkem druhého;
(c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak jsou tyto
vektory lineárně závislé;
(d) pokud se některé dva z vektorů u1, . . . , un rovnají, pak jsou
tyto vektory lineárně závislé.
Závislost VI
Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice nenulových a navzájem
různých vektorů, z kterých žádný není násobkem druhého, může
(ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá.
Následující tabulka shrnuje vztah lineární závislosti vzhledem k
relaci inkluze.
S1  S S1  S
S nezávislá S1 bude nezávislá S1 může být oboje
S závislá S1 může být oboje S1 bude závislá
Závislost VII
Tvrzení
Pre libovolné n  N a u1, . . . , un  V jsou následující podmínky
ekvivalentní:
(i) vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé;
(ii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinací
předcházejících;
(ii') některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinací
nasledujících;
(iii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinace ostatních.
Závislost VIII
Každý vektor x z lineárního obalu [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit
ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun
pro nějakou n-tici skalárů (c1, . . . , cn).
Tvrzení
Vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když každý
vektor x  [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun pro jedinou uspořádanou n-tici
(c1, . . . , cn)  Kn.
Závislost IX
Nasledující tvrzení dává do souvislosti lineární (ne)závislost
s lineárním obalom.
Tvrzení
Nechť u1, . . . , un, v  V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou lineárně
nezávislé. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) v  [u1, . . . , un];
(ii) vektory u1, . . . , un, v jsou lineárně závislé;
(iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un].
Závislost X
Věta
Nechť u1, . . . , un, v1, . . . , vm  V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou
lineárně nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} můžeme vybrat
indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
jsou
lineárně nezávislé a generují stejný podprostor jako vektory
u1, . . . , un, v1, . . . , vm.
Lineární obal v Km
I
Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO na (redukovaný)
stupňovitý tvar na řešení následujících tří otázek:
(1) rozhodnout pre dané vektory x1, . . . , xn, y  Km zda y patří
nebo nepatří do lineárního obalu [x1, . . . , xn];
Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km zda jsou
lineárně závislé nebo nezávislé;
(3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn  Km lineárně nezávislé vektory
xj1 , . . . , xjk
(j1 < . . . < jk) tak, aby vektory xj1 , . . . , xjk
generovaly ve V stejný lineární podprostor jako vektory
x1, . . . , xn.
Zavedeme dále označení, kterého sa budeme držet v celém odstavci.
Lineární obal v Km
III
Nechť x1, . . . , xn, y  Km jsou sloupcové vektory, přičemž
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
Označme X = (xij )  Km×n matici se sloupci x1, . . . , xn, a
(X | y)  Km×(n+1) blokovou matici složenou z matice X a vektoru
y.
Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T  Kn platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0  X  c = 0.
Jinak řečeno:
(1) y  [x1, . . . , xn] právě tehdy, když soustava X  c = y
s rozšírenou maticí (X | y) má alespoň jedno řešení;
Lineární obal v Km
V
(2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když
homogenní soustava X  c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud
tato soustava má i nějaké nenulové řešení, tak vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Otázku (1) umíme řešit. Stačí pomocí ERO upravit matici (X | y)
na stupňovitý tvar. Pokud výsledná matice obsahuje řádek tvaru
(0, . . . , 0 | z), kde z = 0, tak soustava X  c = y nemá řešení a
y / [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit
matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží
vedoucí prvek nějakého řádku.
Pokud tento případ nastane, nemáme možnost zvolit parametry, c =
0 je jediným řešením soustavy X  c = 0 a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně nezávislé.
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit
matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží
vedoucí prvek nějakého řádku.
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit
matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží
vedoucí prvek nějakého řádku.
Pokud tento případ nastane, nemáme možnost zvolit parametry, c =
0 je jediným řešením soustavy X  c = 0 a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně nezávislé.
Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho
parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je právě
v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z.
Tedy matice v stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní
s (X | y) neobsahuje takový řádek právě tehdy, když v jejím
posledním sloupci neleží vedoucí prvek žádného řádku.
Lineární obal v Km
VIII
Příklad
Uvažme sloupcové vektory x1 = (1, 1, -1, -1)T , x2 = (0, 1, 0, 1)T ,
x3 = (3, 1, -3, -5)T , x4 = (0, 0, 1, 2)T , y = (3, 5, -2, 1)T ,
z = (1, 1, 1, 1)T v prostoru R4.
Máme rozhodnout, zda vektory y, z leží v lineárním obalu
[x1, x2, x3, x4].
Lineární obal v Km
IX
Označme si následující matice
(X | y) =




1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
3
5
-2
1



 ,
(X | z) =




1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
1
1
1
1



 .
Lineární obal v Km
X
Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní s maticemi




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0



 resp.




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
-2



 .
Okamžitě vidíme, že platí y  [x1, x2, x3, x4]
a z / [x1, x2, x3, x4].
Lineární obal v Km
XI
Příklad
Zjistíme, zda sloupce reálné matice
X =




2 0 1 3
2 1 2 3
0 2 3 1
1 2 4 2




jsou lineárně závislé nebo nezávislé.
Lineární obal v Km
XII
Tato matice je řádkově ekvivalentní s maticí




1 2 4 2
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 2



 .
Vidíme, že slouce matice X jsou lineárně nezávislé.
Lineární obal v Km
XIII
Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5 je řádkově
ekvivalentní s maticí




1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0



 .
Tedy sloupce matice X, chápané jakožto vektory z vektorového
prostoru Z4
5, jsou lineárně závislé.
Lineární obal v Km
XIV
Tvrzení
Nechť X, Y  Km×n jsou řádkově ekvivalentní matice, přičemž
matice Y je ve stupňovitém tvaru. Pro 1  j  n označme
xj = sj (X) j-tý sloupec matice X. Nechť j1 < . . . < jk jsou indexy
všech sloupců matice Y, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom platí:
Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1 , . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
(b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží vedoucí prvek žádného
jejího řádku (t. j. 1  j  n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je
lineární kombinací vektorů xj1 , . . . , xjl
, kde l  k je největší
index, pro který platí jl < j;
(c) [xj1 , . . . , xjk
] = [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
XVI
Výše uvedené tvrzení nám dáva přímý návod na řešení otázky (3).
Stačí pomocí ERO upravit matici X = (x1, . . . , xn) na matici Y
v stupňovitém tvaru a zjistit v ní indexy j1 < . . . < jk všech
sloupců, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom xj1 , . . . , xjk
jsou hledané lineární nezávislé vektory, které
generují lineární podprostor [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
XVII
Příklad
Ze sloupců reálné matice
X =




1 1 3 -1 1
2 0 2 1 3
1 1 3 2 4
2 0 2 0 2




je třeba vybrat lineární nezávislé sloupce, které generují lineární obal
všech sloupců matice X.
Lineární obal v Km
XVIII
Matice X je řádkově ekvivalentní s maticí
Y =




1 1 3 -1 1
0 1 2 2 -3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0




ve stupňovitém tvaru. Vedoucí prvky řádků matice Y se nachází
ve sloupcích 1, 2 a 4.
Lineární obal v Km
XIX
Hledané vektory jsou tedy sloupce 1, 2 a 4 matice X. Zapsané vedle
sebe pak tvoří matici




1 1 -1
2 0 1
1 1 2
2 0 0



 .
Lineární obal v Km
XX
Poznámka. Výše uvedený postup řešení otázek (1), (2) a (3) pro
prostory sloupcových vektorů Km lze modifikovat na prostory
řádkových vektorů Km ­ např. transponováním příslušných matic
řádkových vektorů nebo nahrazením elementárních řádkových
operací sloupcovými.
Lineárně nezávislé posloupnosti I
Nekonečnou posloupnost (uk)
k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . )
vektorů z prostoru V nazýváme lineárně nezávislou, pokud každá
její konečná podposloupnost (uk1
, . . . , ukn ), kde 0  k1 < . . . < kn,
je lineárně nezávislá.
Lineárně nezávislé posloupnosti II
Tvrzení
Nekonečná posloupnost (uk)
k=0 vektorů z V je lineárně nezávislá
právě tehdy, když pro každé n  N je její počáteční úsek
(u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý.
Například posloupnost (1, x, x2, . . . , xk, . . . ) všech mocnin x je
lineárně nezávislá posloupnost ve vektorovém prostoru K[x] všech
polynomů v proměnné x nad tělesem K.
Polynom f (x) = a0 +a1x +. . .+anxn je (definitoricky) nulový právě
tehdy, když a0 = a1 = . . . = an = 0.
Lineárně nezávislé posloupnosti III
Množina X  V sa nazývá lineárně nezávislá, pokud pro
libovolné n  N každá uspořádaná n-tice navzájem různých
vektorů (u1, . . . , un) z množiny X je lineárně nezávislá.
Kdyby totiž u1, . . . , un nebyly navzájem různé vektory, nemohly by
být lineárně nezávislé.
Lineární závislost či nezávislost uspořádané n-tice vektorů nezávisí
na jejich pořadí.
Lineárně nezávislé posloupnosti IV
Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá právě
tehdy, když je lineárně nezávislá uspořádaná n-tice
(u(1), . . . , u(n)), kde  je libovolná permutace množiny
{1, . . . , n}.
Tedy, lineární (ne)závislost uspořádané n-tice (u1, . . . , un) navzájem
různých vektorů je vlastností množiny {u1, . . . , un}.
Lineárně nezávislé posloupnosti V
Tvrzení
Uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) navzájem různých vektorů z V je
lineárně nezávislá právě tehdy, když množina {u1, . . . , un}  V je
lineárně nezávislá.
Lineárně nezávislé posloupnosti VI
Tvrzení
Nechť X  V je lineárně nezávislá množina a v  V . Potom
následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) v  [X];
(ii) množina X  {v} je lineárně závislá;
(iii) [X  {v}] = [X].