1. VEKTOROVÉ PROSTORY
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
2. října 2006
Abstrakt
V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou hrát
v následujícím výkladu klíčovou úlohu a dokážeme o nich několik
jednoduchých tvrzení. Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru.
Prvky tělesa budeme nazývat skaláry a prvky vektorového prostoru
vektory.
Obsah přednášky I
Úvod
Základní číselné obory Q, R a C ; pojem tělesa.
Tělesa Zp
Geometrická interpretace vektorů v rovině
a v třírozměrném prostoru
Geometrická interpretace vektorů v R2
a R3
, rovnoběžníkové
pravidlo
Obsah přednášky II
Vektorové prostory
Příklady vektorových prostorů (řádkově a sloupcově
uspořádané n-tice skalárů, polynomy, rozšírení těles, funkce z
množiny do tělesa a vektorového prostoru)
Číselné obory I
N ­ množina všech přirozených čísel,
Z ­ množina všech celých čísel,
Q ­ množina všech racionálních čísel,
R ­ množina všech reálnych čísel,
C ­ množina všech komplexních čísel.
Číselné obory II
Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0  N.
Imaginární jednotku (která je prvkem C - R) budeme značit i.
Prvky výše uvedených číselných oborů Q, R, C nazýváme často
skaláry. V tomto případě pak budeme mluvit o číselném tělese.
Struktura číselných oborů I
Na každé z těchto množin jsou definované dvě binární operace,
sčítaní + a násobení  .
Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní.
Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, t. j.
pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí
x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz.
Struktura číselných oborů II
Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a C "chudší" ­ totiž
rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, R, C řešení
x = b - a pre libovolné a, b, ale v N je takováto rovnice řešitelná,
pokud a  b.
Obory Q, R a C jsou však "bohatší" nejen v porovnání s N, ale i s
Z ­ rovnice tvaru ax = b mají v oborech Q, R, C řešení pro
libovolné a = 0 a b, přičemž v N či Z jsou řešitelné, pouze pokud a
je dělitelem b.
Axiomy tělesa I
Tělesem nazýváme množinu K s dvěmi význačnými prvky ­ nulou 0
a jedničkou 1 ­ a dvěmi binárními operacemi na K ­ sčítáním + a
násobením  ­ takovými, že platí
Axiomy tělesa II
(a, b  K)(a + b = b + a),(a, b  K)(a  b = b  a),
(a, b, c  K)(a + (b + c) = (a + b) + c),
(a, b, c  K)(a  (b  c) = (a  b)  c),
(a  K)(0 + a = a), (a  K)(1  a = a),
(a  K)( b  K)(a + b = 0),
(a  K {0})( b  K)(a  b = 1),
(a, b, c  K)(a  (b + c) = (a  b) + (a  c)), 0 = 1.
Axiomy tělesa III
Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a
násobení je distributivní vzhledem ke sčítání.
0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto
prvky jsou navzájem různé.
Prvek b  K takový, že a + b = 0, je k danému a  K určený
jednoznačně.
Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme -a a
nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (-b) píšeme jen a - b.
Axiomy tělesa IV
Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b  K takový, že a  b = 1
je k danému 0 = a  K určený jednoznačně ­ označujeme ho a-1
nebo 1
a , případně 1/a a nazýváme inverzní prvek k a alebo
převrácená hodnota prvku a.
Místo a  b-1 píšeme též a
b nebo a/b.
Vlastnosti tělesa I
Tvrzení
Buď K těleso. Potom pro všechna n  N a a, b, c, b1, . . . , bn  K
platí
(a) a + b = a + c  b = c,
(b) (ab = ac & a = 0)  b = c,
(c) a  0 = 0,
(d) a  b = 0  (a = 0  b = 0),
(e) -a = (-1)  a,
(f) a  (b - c) = a  b - a  c,
(g) a  (b1 + . . . + bn) = a  b1 + . . . + a  bn.
Vlastnosti tělesa II
Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro
sčítaní resp. násobení v tělese.
Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky
prvků z tělesa. Pro a  K, n  N klademe
(-n)a = -(na) = n(-a).
Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i libovolné celočíselné
mocniny. Pro 0 = a  K, n  N klademe a-n = (an)-1 = (a-1)n.
Vlastnosti tělesa III
0a = 0, 1a = a, a0 = 1, a1 = a,
n(a + b) = na + nb,
(m + n)a = ma + na,
(mn)a = m(na),
(mn)(ab) = (ma)(nb),
(ab)n = anbn, n < 0  a = 0 = b,
am+n = aman, (m < 0  n < 0)  a = 0,
amn = (am)n, (m < 0  n < 0)  a = 0
a, b  K, m, n  Z.
Vlastnosti tělesa IV
Nechť K je těleso a L  K. Říkáme, že L je podtěleso tělesa K,
pokud 0, 1  L a pro všechna a, b  L platí a + b  L, ab  L,
-a  L a, pokud a = 0, tak i a-1  L.
Podtěleso tělesa K je tedy jeho podmnožina L, která obsahuje nulu
a jedničku a je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení, opačnému a
inverznímu prvku. Zřejmě každé podtěleso tělesa K je s těmito
operacemi zúženými z K na L i samo tělesem. Říkáme pak, že
těleso K je rozšířením tělesa L.
Vlastnosti tělesa V
Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa C; těleso C je
rozšířením těles Q a R.
Charakteristikou tělesa K, píšeme charK, nazýváme nejmenší
kladné celé číslo n takové, že n1 = 0; pokud takové n neexistuje,
t. j. n1 = 0 pro každé celé n > 0, říkáme že K má charakteristiku
 (někteří autoři definují charK = 0).
Vlastnosti tělesa VI
Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa K a L mají tutéž
jedničku i nulu, a proto charK = charL.
Zřejmě charQ = charR = charC = .
Věta
Nechť K je těleso. Potom charK je rovna  nebo prvočíslu.
Konečná tělesa I
V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika
není .
Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých
číselných těles.
Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté konečné těleso Zp,
které má p prvků a charakteristiku p.
Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou nekonečná.
Konečná tělesa II
Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z hlediska fyzikálních
aplikací, jsou nejdůležitějšími tělesy R a C. Konečná tělesa však
v současnosti sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování a
kryptografii.
Pro každé kladné celé číslo n označme
Zn = {k  N; k < n} = {0, 1, . . . , n - 1}.
Konečná tělesa III
Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tříd modulo n. Na
této množině zavedeme dvě binární operace ­ sčítání  a násobení
(je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací
v Z).
Pro a, b  Zn klademe
a  b = zbytek po dělení (a + b)/n,
a b = zbytek po dělení (ab)/n.
Konečná tělesa IV
 a jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální
prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení.
Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a a = n - a je
opačný prvek k a  Zn.
Věta
Množina Zn s operacemi  a je těleso právě tehdy, když n je
prvočíslo.
Konečná tělesa V
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Multiplikativní tabulky sčítání a násobení v tělese Z5.
Interpretace I
Vektory v rovině či v prostoru si představujeme jako orientované
úsečky, t. j. úsečky, jejichž jeden krajní bod považujeme za
počáteční a druhý za koncový ­ ten je označený obvykle šipkou.
Interpretace II
x
y
 
 
  
(x,y)
Vektor v rovině
Přitom dvě stejně dlouhé, rovnoběžné a souhlasně orientované
úsečky představují ten stejný vektor ­ říkáme, že jsou umístění
téhož vektoru.
Interpretace III
1
1
 
 
  
v
 
 
  
v
 
 
  
v
Umístění téhož vektoru
Interpretace IV
Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny vektory v rovině či v
prostoru můžeme jednoznačně reprezentovat jako orientované
úsečky
-
OA s počátkem v O.
Jejich koncem může být libovolný bod A roviny či prostoru, bod O
nevyjímaje ­ orientovaná úsečka
-
OO totiž představuje tzv. nulový
vektor.
Interpretace V
Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat pomocí tzv.
vektorového rovnoběžníku.
Součet vektorů u =
-
OA, v =
-
OB je potom znázorněný
orientovanou uhlopříčkou u + v =
-
OC rovnoběžníka, jehož dvě
přilehlé strany tvoří úsečky OA, OB.
O


!
E
v
u
u + v



Q
 
 
 
rrrj
T
v
u
v - u
Interpretace VI
Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, t. j. v našem
případě reálnými čísly:
pokud c  R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná
úsečka s počátkem v O, jejíž délka je |c|-násobkem délky úsečky v,
leží na té stejné přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v,
pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud c < 0
(je-li c = 0 nebo v je nulový vektor, tak, samozřejmě, i cv je
nulový vektor, takže nezáleží na jeho směru ani orientaci).
Interpretace VII

0v 
)
-v



0
2v
Násobení vektoru skalárem
Interpretace VII
Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě
resp. tři souřadné osy, t. j. navzájem kolmé přímky procházející
počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové
vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém
v rovině či v prostoru.
Každý bod roviny či prostoru je potom jednoznačně určený
uspořádanou dvojicí, resp. trojicí svých souřadnic a naopak, každá
dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký bod roviny
či prostoru.
Interpretace VIII
Rovněž každý vektor v rovině či v prostoru je potom jednoznačně
určený souřadnicemi svého koncového bodu a naopak libovolná
uspořádaná dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje
nějaký vektor v rovině či prostoru.
Při pevném souřadnicovém systému tak můžeme množinu všech
vektorů v rovině ztotožnit s množinou R2 a množinu všech vektorů
v prostoru s množinou R3.
Interpretace IX
Jsou-li (při takovémto ztotožnění) u = (u1, u2)  R2
,
v = (v1, v2)  R2
dva vektory v rovině, tak snadno ověříme, že
pro jejich součet u + v, daný vektorovým rovnoběžníkem, platí
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2).
Interpretace X
Je-li c  R, pak pro skalární násobek cu dostáváme
cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2).
Podobně to můžeme ověřit pro vektory v prostoru, t. j. uspořádané
trojice reálných čísel.
Interpretace XI
Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a
rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich
úvahách žádnou roli.
Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě různoběžné přímky
(v rovině) resp. tři přímky neležící v rovině (v prostoru) protínající
se v počátku O.
Za jednotkové délky ve směrech jednotlivých souřadných os
můžeme zvolit délky libovolných (ne nutně stejně dlouhých) úseček.
Vektorové prostory I
Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním
prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a
dvěma binárními operacemi ­
sčítáním + : V × V  V a
násobením  : K × V  V ­ takovými, že platí
Vektorové prostory II
(x, y, z  V )(x + (y + z) = (x + y) + z)),
(x, y  V )(x + y = y + x),
(x  V )(x + 0 = x),
(x  V )(y  V )(x + y = 0),
(a, b  K)(x  V )(a  (b  x) = (ab)  x),
(x  V )(1  x = x),
(a  K)(x, y  V )(a  (x + y) = (a  x) + (a  y)),
(a, b  K)(x  V )((a + b)  x = (a  x) + (b  x)).
Vektorové prostory III
Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory
tučnými malými latinskými písmeny.
Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném( tělese K a sčítání
vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace.
Podobně násobení v (číselném) tělese a násobení vektoru skalárem
jsou různé operace, ačkoliv obě značíme  .
Později budeme stejně značit příslušné operace a nuly v různých
vektorových prostorech.
Vektorové prostory IV
Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru
vlastnosti (číselného) tělesa K:
sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na
V s neutrálním prvkem 0  V ,
operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku
"asociativity", 1  K je její "neutrální prvek"
a platí dva "distributivní zákony".
Vektorové prostory V
Jeden podstatný rozdíl ­ násobení v (číselném) tělese K je
binární operací na množině K, t. j. zobrazením  : K × K  K,
násobení ve vektorovém prostoru V nad číselným tělesem K není
binární operace na V , ale binární operace  : K × V  V .
Vektorové prostory VI
To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace
v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak
násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát
ax + y namísto (a  x) + y.
Vektorové prostory VII
Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž umístění neovlivní
výslednou hodnotu výrazů jako např. v abx nebo
a1x1 + . . . + anxn. Poslední výraz budeme taktéž značit
n
i=1 aixi
a nazývat lineární kombinací vektorů x1, . . . , xn s koeficienty
a1, . . . , an.
Vektorové prostory VIII
Speciálně pro n = 1 to znamená
1
i=1 ai xi = a1x1; kvůli úplnosti
pro n = 0 ještě klademe prázdnou lineární kombinaci
0
i=1 ai xi
rovnou 0.
Tvrzení
Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro
libovolné n  N, a, b, a1, . . . , an  K a x, y, z, x1, . . . , xn  V
platí
Vektorové prostory IX
(a) x + y = x + z  y = z,
(b) (ax = ay& a = 0)  x = y,
(ax = bx& x = 0)  a = b,
(c) a0 = 0 = 0x,
(d) ax = 0  (a = 0  x = 0),
Vektorové prostory X
(e) -x = (-1)x,
(f) a(x - y) = ax - ay,
(a - b)x = ax - bx,
(g) a(x1 + . . . + xn) = ax1 + . . . + axn,
(a1 + . . . + an)x = a1x + . . . + anx.
Příklady I
Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za vektorový prostor nad
sebou samým. Obecněji, pokud těleso L je rozšířením tělesa K, tak
L můžeme považovat za vektorový prostor nad tělesem K
(formálne stačí "zapomenout" na násobení některých dvojic prvků
a, b  L a součin ab připustit jen pro a  K, b  L).
Příklady II
Podobným způsobem můžeme vektorový prostor V nad tělesem L
zúžením násobení L × V  V na násobení K × V  V změnit
na vektorový prostor nad tělesem K.
Příklady III
Pro libovolné těleso K a n  N je množina
Kn
= {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn  K}
všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi
Příklady IV
x + y =(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)
=(x1 + y1, . . . , xn + yn),
cx =c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn),
kde x = (x1, . . . , xn)  Kn
, y = (y1, . . . , yn)  Kn
a c  K,
vektorový prostor nad tělesem K.
Příklady V
Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0, . . . , 0) hraje úlohu nuly v Kn
.
Pokud bude potřebné rozlišit nulové vektory v prostorech Kn
pro
různá přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn
používat označení
0n. Opačný prvek k x = (x1, . . . , xn)  Kn
je zřejmě
-x = -(x1, . . . , xn) = (-x1, . . . , -xn).
Příklady VI
Říkáme, že operace na Kn
jsou definované po složkách. Prvky
tohoto vektorového prostoru nazýváme n-rozměrné řádkové
vektory nad tělesem K. Vektorový prostor K0
sestává z jediného
prvku , představujícího "uspořádanou nultici", která je nutně
nulou v K0
.
Příklady VII
Někdy bude výhodnější pracovat s n-rozměrnými sloupcovými
vektory nad tělesem K, t. j. s vektory tvaru
x =


x1
...
xn

 ,
kde x1, . . . , xn  K.
Píšeme rovněž Kn
.
Příklady VIII
Polynomem nebo též mnohočlenem f stupně n, kde
-1  n  Z, v proměnné x nad tělesem K rozumíme formální
výraz tvaru
f (x) = a0 + a1x + . . . + an-1xn-1
+ anxn
= n
i=0 ai xi
,
Příklady IX
kde a0, a1, . . . , an-1, an  jsou skaláry, nazývané koeficienty
polynomu f , a an = 0.
Nulu 0  K považujeme za polynom stupně -1 a nenulové skaláry
a  K za polynomy stupně 0. Zřejmě každý polynom f definuje
(stejně označovanou) funkci f : K  K danou předpisem
c  f (c), t. j. dosazením konkrétních hodnot c  K za
proměnnou x do polynomu f .
Příklady X
Množinu všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n,
kde -1  n  Z, budeme značit K(n)[x]; množinu všech polynomů
v proměnné x nad K značíme K[x].
Libovolný polynom g(x) = m
i=0 bi xi  K[x] stupně m < n
můžeme psát ve tvaru
g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm
+ 0xm+1
+ . . . + 0xn
,
t. j. v tvaru g(x) = n
i=0 bi xi
, kde bi = 0 pro m < i  n.
Příklady XI
S použitím této konvence lze definovat součet f + g polynomů
f = n
i=0 ai xi , g = m
i=0 bi xi z K[x] předpisem
(f + g)(x) = f (x) + g(x) =
max(m,n)
i=0
(ai + bi )xi
.
Příklady XII
Pokud navíc c  K, klademe
(cf )(x) = cf (x) =
n
i=0
cai xi
.
Snadno ověříme, že s takto po složkách definovanými operacemi
součtu a skalárního násobku tvoří každá z množin polynomů
K(n)[x], kde -1  n  Z, a zároveň i množina všech polynomů
K[x] vektorový prostor nad tělesem K.