Písemka z lineární algebry I, C
Max. počet bodů 15) do celkového hodnoceni se výsledek započítává s váhou 2.
1.    Nechť p>: V —> Z7 je lineární zobrazení,                     G  V.    a) Jsou-li vektory
lineárně závislé ve V, pak vektory <£>(#i),. . . , <p(xn) jsou lineárně závislé v  U.     Dokažte,     b)  Rozhodněte,  zda platí tvrzení:    Jsou-li                     lineárně
nezávislé ve V, pak íp(xi),. . . , <p(xn) jsou lineárně nezávislé v U. Pokud ano, dokažte. Pokud ne, najděte protipříklad.                                                   (2 + 2 body)
2.  Uvažujme zobrazení p>\ K^M —> ^s[x] dané předpisem
p>(ax2 + bx + c) — (a — b -\- c)x(x2 — 1). a) Dokažte, že p> je lineární zobrazení, b) Najděte nějaké báze podprostorů Kenp a limp, c) Najděte nějaké báze vektorových prostorů i^b?]? 1^3[^], vzhledem k nimž
má matice zobrazení p> blokový tvar í              J, kde I h je jednotková matice h x h.
Určete nejprve hodnotu h.                                                                      (1+2 + 2 body)
(d\      a      b \ 0     c?2      c       je horní trojúhelníková matice nad polem K.   a) 004/
A má inverzní matici, právě když všechny její prvky na diagonále jsou různé od 0. Dokažte, b) V tomto případě A-1 vypočítejte.                                         (1+2 body)
4. Najděte parametrické vyjádření průniku afinních podprostorů P\ : (1, — 1, 0, 2) + a(0,0,l,l) + /3(l,-1,0,0) aP2 : (2, 0,1, l) + r(l, 0,1, 0) + <r(0, -1, 0,1) v R4 a určete jeho dimenzi.                                                                                                         (3 body)
Písemka z lineární algebry I, D
Max. počet bodů 15) do celkového hodnoceni se výsledek započítává s váhou 2.
1.     Nechť p>: V —> Z7 je lineární zobrazení,                      G V. a) Jsou-li vektory (/p(xi),. . . ,(p(xn) lineárně nezávislé v ř7, pak vektory x\,. . . ,xn jsou lineárně nezávislé ve V. Dokažte, b) Rozhodněte, zda platí tvrzení: Jsou-li íp(xi),..., <p(xn) lineárně závislé v V, pak x\,. . . , xn jsou lineárně závislé ve V. Pokud ano, dokažte. Pokud ne, najděte protipříklad.                                                                   (2 + 2 body)
2.  Uvažujme zobrazení p>\ K^M —> ^s[x] dané předpisem
p>(ax2 + bx + c) = (a + 2b — c)(x3 — 1). a) Dokažte, že p> je lineární zobrazení, b) Najděte nějaké báze podprostorů Kenp a limp, c) Najděte nějaké báze vektorových prostorů i^b?]? 1^3[^], vzhledem k nimž
má matice zobrazení p> blokový tvar í              J, kde I h je jednotková matice h x h.
Určete nejprve hodnotu h.                                                                      (1+2 + 2 body)
/ai      0      0\
3.   Nechť A =  \   b     ü2     0      je dolní trojúhelníková matice nad polem K. a) A
y c      d     as J má inverzní matici, právě když všechny její prvky na diagonále jsou různé od 0. Dokažte, b) V tomto případě A-1 vypočítejte.                                         (1+2 body)
4.  Najděte parametrické vyjádření průniku afinních podprostorů Q\ : (3,0,-3,3) + a(l,0,-l,0)+/3(0,2,0,l) aQ2 : (4, -2, -4, 2) + r(0, 0,1, -1) + <r(l, 2, 0, 0) v R4 a určete jeho dimenzi.                                                                                             (3 body)