Písemka z lineární algebry I, A
Max. počet bodů 15) do celkového hodnoceni se výsledek započítává s váhou 2.
1.   Nechť x = (1,2,3,4), y = (0,1,-2,3), z = (-1,0,-7,2), u = (-5,2,0,-2), v — (—3,0,14,-4).   Určete dimenzi lineárního podprostoru [x,y,z] D [u,v] C IR4.
Závorky [ ] označují lineární obal.
(2 body) ,xn G V
2.   Nechť p: V —y U je lineární zobrazení.   Pre libovolné vektory x\,. . . , platí p[x\,... , xn] = [(/p(xi),... , p(xn)\. Dokažte.                                           (2 body)
3.  Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z\
ax -\- y — 2z — \    ,     x — y -\- z = 0    ,     (1 + c)y — z — b. Najděte všechny hodnoty parametrů a, 6, pro které má soustava a) jediné řešení, b) nekonečně mnoho řešení, c) žádné řešení. V případech a), b) najděte tato řešení v závislosti na a, b.                                                                                    (2 + 2 + 1 bod)
4. Vypočítejte determinant matice A.
[3 body)
A
í3 ' 2	1 -3	-1    0 4     4	5   \ -6   '
6	1	-1    3	5
i 5 \2	-2 1	2      1 2      1	-10 , -1/
B
í1 1
1 6
3    -2 Vo      5
"2\ -9
1 -7/
5.    Najděte matici lineárního zobrazení p: IR3  —>  IR4 daného pomocí matice B předpisem p((x^ y, z)   ) — B-(x, y, z)    vzhledem k bázi (1, 0, 0)   , (0,1, 0)   , (3, 7, 5)
a (1,1,3,0)
T
-6,2,
5)J, (0,0,1,o)J,(o,o,o,ir v
[3 body)
Písemka z lineární algebry I, B
Max. počet bodů 15) do celkového hodnoceni se výsledek započítává s váhou 2.
Nechť x
■1,2,0,11
y
-2,5,-2,0), z
■1,1,2,3)
(0,1,2,3)
v  =  (2,3,-1,0).    Určete dimenzi lineárního podprostoru [x,y,z] D [u,v]   C  IR4. Závorky [ ] označují lineární obal.                                                                      (2 body)
2.  Nechť p : V —> U je lineární zobrazení a nechť V\ a V2 jsou vektorové podprostory ve V. Dokažte, že platí <£>(Vi + V2) = <r(Vi) + ^(^2).                                      (# 6ocřy)
3.  Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z:
—2x + y + cz = 1     ,     x — y + z = 0    ,     cy + 2: = <i. Najděte všechny hodnoty parametrů c, <f, pro které má soustava a) jediné řešení, b) nekonečně mnoho řešení, c) žádné řešení. V případech a), b) najděte tato řešení v závislosti na c, d.
C
d.						(Ä	+ 2 + 1 bod)
stermi	nant matice C.					(5 60dy)	
(3 2	-3      4       4 2        1      -2	"6^ 3		f1	-2	2\	
				3	0	-4	
-2	3-12	8	D =	7	-2	-6	
4 V 6	1        2        1 2        3-6	-1 8 )		Vi	-5	7 )	
5. Najděte matici lineárního zobrazení ip : IR3 —> IR4 daného pomoci matice D před pisem (/?((x, y, z)   ) = -D • (x, y, z)    vzhledem k bázi (0, 0, 1)   , (0, 1, 0)   , (4, 5, 3"1 E3 a (2,0,2,5)T, (1,0,0,0)T, (2
T
4,-6,7)M0,l,0,0r v
V
5 body)