A. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2
1.   V M4 určete bázi U\ H U2  a dimenzi U\ + U2 [(0,2,1,-2),(3,1,0,-1),(O,-4,0,4)].
2.  Uvažujme zobrazení / : M2M —* ^2^]? f(ax2 -\-bx -\- c)
a)  Dokažte, že /je lineární zobrazení.
b)  Najděte všechny polynomy, které leží v jeho jádře.
c)  Napište matici zobrazení / ve standardní bázi e = (1, a?, x2)
3.  Pomocí Laplaceova rozvoje a řádkových úprav vypočtěte
Ulili
Přitom Uľ  =  [(1,1, 0,2), (0,0, 1,2), (■ (a + b)x2 + (c - b)x + (a + c).
detA
2
0
8
-1,0,0)], U2 = (2 body)
(1 bod) (1 bod) (1 bod)
{2 boc
4. V M3 najděte matici přechodu od standardní báze e k bázi a = ((4, 3, — 1)T, (0, 1, 0)^
-4,3)5
této matice spočítejte souřadnice vektc
1,2,1
bá2
1. Pomocí (3 body)
5. (a) Napište definici determinantu, (b) Napište Cramerovo pravidlo pro řešení rovnice Ax = b (nezapomeňte na předpoklady), (c) Dokažte, že jádro lineárního zobrazení je vektorový podprostor. (d) Najděte lineární zobrazení / : M2 -+ M1 a podprostory U, V v M2 tak, že f(U) H f (V) ^ f(U H V), (e) Najděte nějaký lineární izomorfismus prostorů Mi [a?] a C nad polem M.                                                                              (1 + 1 + 1 + 1 + 1 bod)
B. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15} do celkového hodnocení se započítává s váhou 2
1.  V M4 určete bázi Ui H U2 a dimenzi Ui + U2. Přitom Ui = [(3,0, [(3,2,2,0),(0,1,1,4),(0,2,2,0)].
2.  Uvažujme zobrazení / : M2M —* ^2^]? f(ax2 + bx + c) = (a — 6)a?2 -+
a)  Dokažte, že /je lineární zobrazení.
b)  Najděte všechny polynomy, které leží v jeho jádře.
c)  Napište matici zobrazení / ve standardní bázi e = (1, a?, x2).
3. Pomocí Laplaceova rozvoje a sloupcových úprav vypočtěte det A
4. V M3 najděte matici přechodu od standardní báze e k bázi a = ((—2, 2, této matice spočítejte souřadnice vektoru v = (1, 2, — 1)T v bázi a.
-1,1), (0,2,-3,3), (0,0,1,
(a — c)x -\- (b — c).
X	4	0	5	6
3	a?	0	5	6
3	4	7	X	6
3	4	0	5	a?
3	4	0	5	6
■1)],   ^2   =
(2 body)
(1 bod) (1 bod) (1 bod)
(2 boc
-2)T, (-1,0, 1)T, (1,0, lf). Pomocí
(5 fcody)
5. (a) Napište definici hodnosti matice, (b) Napište Laplaceův rozvoj determinantu matice n x n podle 1. sloupce, (c) Dokažte, že pro / : U -+ V lineární a každé dva podprostory Ui, U2 C U platí f{U\ + U2) — f{Ui) + f{U2). (d) Najděte lineární zobrazení / : M3 -+ M3 s jádrem dimenze 1. (e) Najděte nějaký lineární izomorfismus prostorů Mat2X2(^) a C2 nad polem M.                                                                   (1 + 1 + 1 + 1 + 1 bod)