C. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2
1.  Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z:
x — ay — 2z — b    ,     x + (1 — a)y = 6 — 3    ,     x -\- (1 — a)y + az = 26 — 1. Najděte všechny hodnoty parametrů a, 6, pro které má soustava a) jediné řešení, b) nekonečně mnoho řešení, c) žádné řešení. V případech a), b) najděte tato řešení v závislosti na a, b.
2.  Uvažujme zobrazení / : Mat2)2(C) -^ Mati)2(C), f(X) = (1    i) • X.
a)  Dokažte, že / je lineární zobrazení.
b)  Najděte všechny matice, které leží v jeho jádře.
c)  Napište matici (/)<*,/? zobrazení / v bázích a
0    0
0    1 0    0
0     0
1     0
0    0 0    1
3. Vypočtěte determinant
1	a	a	a	
1	b	a	a	
1	a	b      .	a	matice n x n
1	a	a	.       b	
(1 + 1 + 1 bod)
(1 bod) (1 bod)
a/?:(l    0),(0    1).
(1 bod)
(2 body)
4.  V M3 najděte matici přechodu od standardní báze s k bázi a = ((—6, 4, 12)T, (4, 2, 8)T, (5, —1, 3)T). (2 body)
5.   (a) Napište definici báze vektorového prostoru, (b) Napište inverzní matici k matici A = (aa-j) pomocí algebraických doplňků, je-li det i/ 0. (c) Pomocí hodnosti matice vyjádřete dimenzi prostoru řešení soustavy rovnic Ax = 0 o n neznámých, (d) Najděte dvě lineární zobrazení f:U—>Va,g:V—>U tak, že f o g je izomorfismus, ale g o f není izomorfismus. (e) Najděte nějaké lineární zobrazení / : M3 —> M3 takové, že dimlm(/) = 2.                                                                                                                                      (1+1+1+1+1 bod)
D. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15} do celkového hodnocení se započítává s váhou 2
1. Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z:
x + cy — cz — —3    ,     x + (c — l)y — (c + í)z — —5    ,     x + (c + l)y -\-2z = d — 1. Najděte všechny hodnoty parametrů c, d, pro které má soustava a) jediné řešení, b) nekonečně mnoho řešení,
c) žádné řešení. V případech a), b) najděte tato řešení v závislosti na c,
(1 + 1 + 1 boa
2. Uvažujme zobrazení / : Mat2)2(C) -^ Mat2,i(C), f(X) = X
a)  Dokažte, že / je lineární zobrazení.
b)  Najděte všechny matice, které leží v jeho jádře.
c)  Napište matici (/)<*,/? zobrazení / v bázích a
3. Vypočtěte determinant
1	1	1
X	1	1
1	X	1
1   o o  o
1 1 1
0    1
o   o
0     o
1     o
o   o
0    1
a/?
matice n x n.
(1 bod) (1 bod)
(1 bod)
(2 body)
4.  V M3 najděte matici přechodu od standardní báze s k bázi a = ((2, 0, 3)T, (—1, —1, — 1)T, (2, 3, 1)T).
(2 body)
5.  (a) Napište definici souřadnic vektoru u v bázi a vektorového prostoru, (b) Necht A G Matnn(C). Dokažte, že z existence inverzní matice A~l plyne det A ^ 0. (c) Pomocí hodnosti matice udejte nutnou a postačující podmínku na řešitelnost soustavy lineárních rovnic Ax — b. (d) Najděte dvě lineární zobrazení / : U —> V a g : V -> W tak, že Ker(# o /) = {0}, ale Ker(#) ^ {0} (e) Najděte nějaké lineární zobrazení / : M3 -> M3 takové, že dimlm(/) = 1.                                                                                                                    (1+1+1+1+1 bod)