X. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2
1.  Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z nad polem Z5:
2x + 3y = 1    ,     3x + 4y + az = 2    ,     3x + 4az = 6. Najděte všechny hodnoty parametrů a, 6, pro které má soustava a) jediné řešení, b) více než jedno řešení, c) žádné řešení. V případech a), b) vyjádřete řešení v závislosti na a, b pomocí operací sčítání a násobení nad Z5= {0,1,2,3,4}.                                                                                                                                                   (3 body)
2.  V M4 určete bázi U1nU2- Přitom Uľ = [(1, 0,1, 3), (2,-1, 2, 0), (-1,1,-1,1)], U2 = [(1, 2, 0,1), (3, 2, 2,1)].
(2 body)
3. Vypočtěte determinant matice A tvaru n x n.
(2 body)
ía	a	a	a	a	a  \				
a	b	a	a	a	a				
b	a	a	a	a	a		íl	2	3
a	a	b	a	a	a	B =	U	2	1
a	a	a	b	a	a		\		
\"a	a	a	a	.       b	"a  )				
A
4.  Necht B je matice lineárního zobrazení / : M3 -+ M2 ve standardních bazích e3 and e2, a) Najděte matici tohoto zobrazení v bazích a = ((1, 0, — 1)T, (1, —1, 1)T, (1, 2, 0)T) a s2. b) Najděte matici přechodu od báze s2 k bázi ß = ((1, 3)T, (2, 7)T). c) Najděte matici zobrazení / v bazích a a ß.                                      (1 + 1+1 bod)
5.   (a) Napište definici lineárního zobrazení, (b) Napište definici lineárního obalu vektorů 1/1,1/2, . . ., U&. (c) Uvažujme vektorové prostory nad polem Z5. Kolik je lineárních zobrazení / : Z5 -+ Z5? Výsledek zdůvodněte. (d) Napište dvě různé báze prostoru Ci [x] (polynomů stupně nejvýše 1 s koeficienty v C) nad polem C. (e) Najděte nějaké lineární zobrazení / : M2 -+ M2 takové, že vektory /(28, 1) a /(1999, 2000) jsou lineárně závislé a přitom různé od 0.                                                                                                                            (1+1+1+1+1 bod)
Y. Písemka z lineární algebry I, leden 1999
Max. počet bodů 15, do celkového hodnoceni se započítává s váhou 2
1.  Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z nad polem Z5:
3x + cz = 1    ,     2x + 4y + cz = 3    ,     2x + y + 2cz = d. Najděte všechny hodnoty parametrů c, d, pro které má soustava a) jediné řešení, b) více než jedno řešení, c) žádné řešení. V případech a), b) vyjádřete řešení v závislosti na c, d pomocí operací sčítání a násobení nad Z5= {0,1,2,3,4}.                                                                                                                                                   (3 body)
2.  V M4 určete bázi Uľ D U2- Přitom Uľ = [(1, 0, -1, 3), (2, -1, -2, 0), (1,1, -1,1)], U2 = [(1, 2, 0,1), (-1,2, 2,1)].
(2 body)
3. Vypočtěte determinant matice A tvaru n x n.
A
(2 body)
f i	1	y	1	1
1	y	1	1	1
1	1	1	y	1
1	1	1	1	y
1	1	1	1	1
v 1	1	1	1	1
1 \
1 1 1
y 1 /
B
-3    2 1     3
4.  Necht B je matice lineárního zobrazení / : M3 -+ M2 ve standardních bazích e3 and e2, a) Najděte matici tohoto zobrazení v bazích a = ((1, 0, — 1)T, (1, —1, 1)T, (1, 2, 0)T) a s2. b) Najděte matici přechodu od báze s2 k bázi ß = ((3, 2)T, (4, 3)T). c) Najděte matici zobrazení / v bazích a a ß.                                      (1 + 1+1 bod)
5.   (a) Napište definici vektorového podprostoru ve vektorovém prostoru, (b) Napište definici lineární nezávislosti vektorů 1/1,1/2, . . ., Uk ve vektorovém prostoru, (c) Uvažujme vektorové prostory nad polem Z3. Kolik je lineárních zobrazení / : Z§ -+ Z§? Výsledek zdůvodněte, (d) Napište dvě různé báze prostoru Mati^C) nad polem C. (e) Najděte nějaké lineární zobrazení / : M2 -+ M2 takové, že vektory f (66, 77) a /(88, 99) jsou lineárně závislé a přitom různé od 0.                                                                                                 (1+1+1+1+1 bod)