A. Písemka z lineární algebry I, leden 2000 — početní část Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Vypočtěte determinant matice A = -,-,-,• (# body) 2. V M4 uvažujme rovinu p : a(l, 0, 0, 0)+/?(0,1, 0, 0), přímku p : (0, 0, 0, 1)+t(0, 0,1, 0) a bod M = (1,1,1, 2). Najděte přímku q, která prochází bodem M a protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (3 body) 3. V M4 popište soustavou rovnic afinní podprostor (1, 0, 0, 0) + a(l, —1,1,0) + /3(3, —2, 0,1). (# 6ocř?/) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p \ x\+ 2x2 — X3 = 1, xi + X3 + 2x4 = 3 a přímky p : (3, — 1, 0, 0) + «(-3,2,1,1). (5 Ďoŕfy) 5. Najděte matici přechodu od standardní (kanonické) báze evťk bázi a = ((1,1,1)T,(1,1,0)T,(1,0,0)T). Pomocí této matice vypočtěte souřadnice vektoru u = (2, 3, 2)T v bázi a. (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M3 —»■ M4, f(xi,X2,xs) = (xi — X2,xi + X2 + 2x3,X2 + X3,xi + X3). a) Napište matici zobrazení / ve standardních bazích. b) Najděte bázi Ker/. c) Najděte bázi Im/. (3 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Napište definici matice lineárního zobrazení ip : U —>• V v bazích a prostoru U a ß prostoru V. (2 body) 2. Napište Laplaceův rozvoj determinantu matice A podle j-tého sloupce. (2 body) 3. Napište definici hodnosti matice A. (2 body) 4. Určete znaménko permutace (n + 1, n + 2,..., 2n — 1, 2n, n, n — 1,..., 2,1). {2 body) 5. Necht / : U —>• V je prosté lineární zobrazení a i&i, 1x2,..., Uk jsou lineárně nezávislé vektory v U. Dokažte, že f(ui), f (1^2),..., f (u k) jsou lineárně nezávislé ve V. (3 body) 6. V kterých MJ1 lze nalézt dva mimoběžné afinní podprostory, z nichž jeden je dvourozměrný a druhý třírozměrný? (Uveďte definici mimoběžnosti.) (2 body) 7. Najděte soustavu rovnic nad IR s 2000 neznámými s množinou řešení {(1999f,M,...,M) eR2000;teR}. (2 body) A. Řešení početní části 1.(1-a)3 2 body 2. Najdeme rovinu pM a spočítáme její průnik s rovinou p, bod Q. Hledaná přímka q je určena body M, Q (pokud není rovnoběžná s p.) pM: (0,0, 0,1) +7(0, 0,1,0) + J(l, 1,1,1) Výpočet průniku pM D p vede k soustavě s maticí 10 0 -1 | 0> 0 1 0 -1 j 0 0 0 -1 -1 j 0 ,0 0 0 -1 | 1, a řešením ô = — 1, 7 = 1. Q = (-1,-1,0,0), g:(l,l,l,2) + f(2,2,l,2). 3 body 2xi + 3x2 + x3 = 2 X\ + £2 — ^4 = 1 nebo %1 + x2 — %4 — 1 £2 + £3 + 2x4 = 0 body 4. Zjistíme, že p íl p = p. Například tak, že parametrické vyjádření p dosadíme do rovnic p. Tedy p C p. 3 body 5. 1 1 l\_i (° 0 1 110 = ° 1 -1 1 0 0/ \1 -1 0 1 1 r (id)e,a = l 1 1 0 1, (icř)«,, 1 0 0 '0 0 1 \ /2\ / 2 («)« = (id)Q>£(«)£ = ( 0 1 -1 J í 3 J = I 1 I = 1 bod 1 bod 6a. /I -1 OX (/Ws= J J 1 . Ker/= [(1,1,-1)], Im/= [(1,1,0,1), (-1,1,1,0)] Vi 0 1/ Řešení teoretické části 4. (-l)«^2^ = (-l)2ií2F11. 2 body 6. n > 5. ž 6odt/ 7. x\ - 1999aľ2 = 0, x2 - x3 = 0, x3 - x± = 0,..., xiq9q - 2ľ2ooo =0. 2 body