B. Písemka z lineární algebry I, leden 2000 — početní část Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou í 1. Vypočtěte determinant matice B=\\. (2 body) 2. V M4 uvažujme nadrovinu p : x\ + x2 + x3 + £4 = 0, přímku p : (0,1,0,0) + £(0,0,1,1) a bod M = (1,1, 0, 3). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná rovinu přímku p a je rovnoběžná s nadrovinou p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (3 body) 3. V R4 popište soustavou rovnic afinní podprostor (1,1,1,1) + a(l, 1,-1,0) + /3(1, 0, 0,1) + 7(0,1, 0, 2). (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p \ x\ — 2x2 + £3 = 4, xi + 3x2 — X4 = 3 a přímky p : (1,9,9,9) + a(l, 1,1,4). (3 body) 5. Najděte matici přechodu od standardní (kanonické) báze s v M3 k bázi a = ((1, 0,1)T, (2,1, 0)T, (0,1,1)T). Pomocí této matice vypočtěte souřadnice vektoru u = (1,3,1)T v bázi a. (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —>• M3 , /(xi,X2,X3,X4) = (2xi+X2+X3, 3xi+X2+X3 — X4,xi — £4). a) Napište matici zobrazení / ve standardních bazích. b) Najděte bázi Ker/. c) Najděte bázi Im/. (3 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Napište definici matice přechodu od báze a k bázi ß v prostoru U. (Vysvětlete použité označení.) (2 body) 2. Napište Frobeniovu větu o podmínce řešitelnosti soustav lineárních rovnic. (2 body) 3. Napište definici jádra lineárního zobrazení / : U —>• V. (2 body) 4. Určete znaménko permutace (2n + 1, 2n + 2,..., 3n — 1, 3n, 2n — 1, 2n — 2,..., 2,1). (2 body) 5. Necht / : U —>• V je lineární zobrazení, ui,U2,...,Uk jsou vektory v U a f(ui), /(i^)? • • • ,f(uk) jsou lineárně nezávislé ve V. Dokažte, že i&i, 1x2,..., Uk jsou lineárně nezávislé v U. (3 body) 6. V M4 najděte parametrické vyjádření nějakého dvourozměrného afinního podprostoru, který je mi-moběžný s rovinou p : x± + x2 - x3 = 1, x2 + x3 - 2x4 = 2. (2 ÖOrfy) 7. Najděte lineární zobrazení / : R3 -+ R3 s obrazem Im / = [(1, -1, 0)T, (1,1, 2)T] (2 body) C. Písemka z lineární algebry I, leden 2000 — početní část Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou í 1. Vypočtěte determinant matice C = . (2 body) 2. V M4 uvažujme nadrovinu p : x\ + X2 + X3 + X4 = 0, přímku p : (7,0,0,0) + £(0,1,0,1) a bod M = (1,0,3,1). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná rovinu přímku p a je rovnoběžná s nadrovinou p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (3 body) 3. V M4 popište soustavou rovnic afinní podprostor (1,0, —1, l)+a(l, 1, — 1, 0)+/3(l, 0,1, —1)+7(0,1,1,0). (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : 4xi + £3 — £4 = 5, xi — 2x2 + £3 = 3 a přímky p : (9, 9, 9,1)+ «(1,1,1, 5). (5 Ďoŕfy) 5. Najděte matici přechodu od standardní (kanonické) báze s v M3 k bázi a = ((0,2,1)T,(1,1,0)T, (1, 0,1)T). Pomocí této matice vypočtěte souřadnice vektoru u = (2, —3, — 1)T v bázi a. (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —>• M3 , f(xi,X2,xs,X4:) = (xi+2^2+^4, xi — X2+4x3+X4,X2 — X3). a) Napište matici zobrazení / ve standardních bazích. b) Najděte bázi Ker/. c) Najděte bázi Im/. (3 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Napište definici determinantu matice A. (Vysvětlete použité označení.) (2 body) 2. Napište větu o dimenzi prostoru řešení homogenní soustavy lineárních rovnic Ax = 0. (2 body) 3. Napište definici obrazu lineárního zobrazení f :U —>V. (2 body) 4. Určete znaménko permutace (2n, 2n — 1,..., n + 2, n + 1,1, 2,..., n — 1, n). (2 body) 5. Necht (p : W —> X je lineárni zobrazení, vi,V2,... ,vm jsou vektory ve W a <£(i?i),<£(i?2),... ,(p(vm) jsou lineárně nezávislé v X. Dokažte, že i?i, i?2,..., vm jsou lineárně nezávislé v U. (3 body) 6. V M4 najděte parametrické vyjádření nějakého dvourozměrného afinního podprostoru, který je mi-moběžný s rovinou p : 2xi — X2 — X3 = 2, X2 + 2x3 — X4 = 1. (2 body) 7. Najděte lineární zobrazení / : M3 -)► M3 s jádrem Ker/ = [(1,1, -1)T] (2 body) B. Řešení početní části l.b(b -l)3 2 body 2. Najdeme nadrovinu r procházející bodem M a rovnoběžnou s p. Spočítáme její průnik s přímkou p, bod Q. Hledaná přímka q je určena body M, Q (pokud je průnik r H p neprázdný.) r : xi + x2 + x3 + x4 = 5 Výpočet průniku p H r vede k rovnici 0+1+í+í=5 a řešením t = 2. Q = (0,1,2,2), 4:(l,l,0,3) + s(-l,0,2,-l). 3. x\ + 2x2 + 3x3 — £4 = 5 4. Zjistíme, že p íl p = 0 a p//P- Například tak, že směrový vektor přímky p dosadíme do rovnic pro rovinu p a její zaměření. 3 body 5. 4. 1 2 0\ /l 2 0\ ľ l í 1 -2 2 (id)e,a = ( 0 1 1 , (id)aiS =011 = - 1 1 -1 101/ V 1 0 1/ M-12 1 (u)a = (id)a,e(u)e = i j 1 1 -1 J í 3 J = í 1 /2 1 1 0 (/),3,,4 =311-1 Vi 0 0 -1, Ker/= [(1,-1,-1,1), (0,1,-1,0)], Im/= [(2,3,1), (1,1,0)] Řešení teoretické části (_1)2n-n+2w(22w-1) = (_1)n(2n-l) = (_^n i fcod i 6o(i i^i^i 6o(i body C. Řešení početní části 1. c(c-l)3 2 body 2. Najdeme nadrovinu r procházející bodem M a rovnoběžnou s p. Spočítáme její průnik s přímkou p, bod Q. Hledaná přímka q je určena body M, Q (pokud je průnik r H p neprázdný.) r : xi + x2 + x3 + x4 = 5 Výpočet průniku p H r vede k rovnici 7 + t + O + t = 5 a řešením t = — 1. Q = (7, -1, 0, -1), q : (1, 0, 3,1) + *(6, -1, -3, -2). 3 body 3. 2xi — X2 + £3 + 3x4 = 4 4. Zjistíme, že p íl p = 0 a PlIP- Například tak, že směrový vektor přímky p dosadíme do rovnic pro rovinu p a její zaměření. 3 body 5. 0 1 1\ /O 1 1\ x ľ í-l 1 1 (id)e,a = ( 2 1 o , (id)aie =210 = - 2 1 -2 101/ V1 o 1/ ö V 1 -1 2 (u)a = (id)a,e(u)e = i j 2 1 -2 J í -3 I = í 1 1 bod 1 bod 4. /I 2 0 1N (/),3,,4 =1-1 4 1 Vo 1 -1 0, Ker/= [(1,-1,-1,1),(1,0,0,-1)], Im/= [(1,1,0), (2,-1,1)] Řešení teoretické části n(3n-l) 2 , n(2n-l) (-1) 2 = (-l)n + 2 i^i^i bod body