D. Písemka z lineární algebry I, leden 2000 — početní část Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 /l 0 0 a\ 1. Vypočtěte determinant matice A = . (2 body) \a 0 0 1/ 2. V M4 uvažujme rovinu p : «(1,0,0,0) + /?(0,1,0,0), přímku p : (0,0,0,1) + 7(0,0,1,0) a vektor u = (2,4,-2,-1). Najděte přímku q, která má směrový vektor u, protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (3 body) 3. V M4 najděte nějaký bod A, zaměření Z(p) afinního podprostoru p a jeho parametrický popis, je-li p zadáno soustavou rovnic x± + 2x2 - x3 = 2, x± + x2 + x4 = 7, x2 - x3 - x4 = -5. (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ + 2x2 — x3 = 1, xi + x3 + 2x4 = 3 a přímky p : (3,1, 0, 0) + «(-1,2,1,1). (5 body) 5. Najděte matici přechodu od báze ß = ((1, 0,1)T, (2,1, 0)T, (0,1,1)T) vťk bázi a = ((1,1,1)T, (1,1, 0)T, (1, 0, 0)T). Pomocí této matice vypočtěte souřadnice vektoru u v bázi «, víte-li, že jeho souřadnice v bázi ß jsou (1,2,-1). (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M3 -> R3 takové, že /(l, 0,0) = (1,1,0), /(l, 1,0) = (1,0,1), /(0, 0,1) = (1,-1,2). a) Napište matici zobrazení / ve standardních bazích. b) Najděte bázi Ker/. c) Najděte bázi Im/. {3 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Napište definici afinního podprostoru ve vektorovém prostoru W1. (Vysvětlete použité označení.) (2 body) 2. Napište Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy lineárních rovnic. Pro které soustavy lineárních rovnic jej můžeme použít? (2 body) 3. Napište definici součtu dvou podprostoru V a U ve vektorovém prostoru X. (2 body) 4. Určete znaménko permutace (2n, 2n — 2,..., 4, 2, 2n — 1, 2n — 3,..., 3,1). (2 body) 5. Z definice lineární nezávislosti dokažte: Jsou-li ^1,^2,^3 lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru U, pak ui + 2u2 — 1/3, 2ui — 1x2, 2i*i +1x2—^3 jsou rovněž lineárně nezávislé. (3 body) 6. V M3 zadejte parametricky 2000 přímek, které jsou po dvou navzájem mimoběžné. Jejich mimoběžnost stručně, ale jasně ukažte. (2 body) 7. Najděte reálnou čtvercovou matici i, A/ ±E tak, aby A~x = A. (2 body) E. Písemka z lineární algebry I, leden 2000 — početní část Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou í 1. Vypočtěte determinant matice A = . (2 body) 2. V M4 uvažujme rovinu p : «(1,0,0,0) + /?(0,1,0,0), přímku p : (0,0,0,1) + 7(0,0,1,0) a vektor u = (2,-3,4,-1). Najděte přímku q, která má směrový vektor u, protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (3 body) 3. V M4 najděte nějaký bod A, zaměření Z(p) afinního podprostoru p a jeho parametrický popis, je-li p zadáno soustavou rovnic x\ + X2 — £4 = —5, 2xi — £3 + £4 = —3, 2x2 + £3 + £4 = 1. (2 ÖOrfy) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ + X2 — x± = —1, 2x\ — £3 + £4 = —3 a přímky p : (0,1, 2, 0) + a(-l, 1,2,1). (5 Ďorfy) 5. Najděte matici přechodu od báze ß = ((0, 2,1)T, (1,1, 0)T, (1, 0,1)T) vťk bázi a = ((1,1,1)T, (1,1, 0)T, (1, 0, 0)T). Pomocí této matice vypočtěte souřadnice vektoru u v bázi a, víte-li, že jeho souřadnice v bázi ß jsou (1,2,-1). (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M3 -> R3 takové, že /(l, 0,0) = (1,0,1), /(0,1,0) = (1,2,-1), /(l, 0,1) = (0,-1,1). a) Napište matici zobrazení / ve standardních bazích. b) Najděte bázi Ker/. c) Najděte bázi Im/. {3 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 15, do celkového hodnocení se započítává s váhou 2 1. Napište definici lineární nezávislosti vektorů ^1,^2, • • • ,Uk ve vektorovém prostoru U. (2 body) 2. Napište vzorec pro výpočet inverzní matice pomocí algebraických doplňků. (Vysvětlete použité označení.) (2 body) 3. Napište definici lineárního obalu množiny M ve vektorovém prostoru X. (2 body) 4. Určete znaménko permutace (2n — 1, 2n — 3,..., 3,1, 2n, 2n — 2,..., 4, 2). (2 body) 5. Z definice lineární nezávislosti dokažte: Jsou-li ^1,^2,^3 lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru U, pak ui — 2u2 — U3, 2ui — U2, 2ui — Su2 — us jsou rovněž lineárně nezávislé. (3 body) 6. V M2 zadejte parametricky 2000 bodů, z nichž žádné 3 neleží na jedné přímce. Tuto jejich vlastnost stručně, ale jasně ukažte. (2 body) 7. Najděte reálnou čtvercovou matici A, tak, aby A~x = —A. (2 body) D. ftešení početní části 1. -(1-a2)2 2 body 2. Najdeme rovinu r určenou přímkou p a směrovým vektorem u a spočítáme její průnik s rovinou p, bod Q. Hledaná přímka q prochází bodem Q (pokud tento existuje.) r : (0, 0, 0,1) + 7(0, 0,1, 0) + Ä(2,4, -2, -1) Výpočet průniku pM D p vede k soustavě s řešením ô = 1, 7 = 2. Q = (2,4,0,0), q: (2,4,0,0) + t(2,4, -2,-1). 3. p:(l,2,3,4) + í(0,l,2,-l) 2 body 4. Zjistíme, že píl p = 0. Například tak, že parametrické vyjadrení p dosadíme do rovnic p. Dále zjistíme, že směrový vektor přímky p nesplňuje homogenní rovnice pro zaměření podprostoru p. Tedy p a p jsou mimoběžne. 3 body 5. 6a. 6b. 6c. 4. 7. 1 1 1\_1/1 2 0\ /0 0 1 \ /l 2 0\ /l 0 1 (id)a >/3 = cT1/? =[110 0 11 = 0 1 -10 1 1 = -1 1 0 100/ Vi o 1 / Vi -1 o / Vi o 1/ V 1 1 -1 {u)a = {id)«iß{u)ß = I "I 1 0 J í 2 J = í 1 1 bod 1 bod 1 0 1 (/)*4,*3 = ( 1 -1 -1 ^0 1 2 Ker/= [(1,2,-1)] Im/= [(1,1,0), (0,-1,1)] ftešení teoretické části n(n + l) n(3n-l) (-1) 2 =(_1) 2 pn : (0, 0, n) + t(l, n, 0) pro n = 1, 2,..., 2000. A-l° X A" ' 1 0 i^i^i 6o(i body body body E. ftešení početní části 1.(1-e2)2 2 body 2. Najdeme rovinu r určenou přímkou p a směrovým vektorem u a spočítáme její průnik s rovinou p, bod Q. Hledaná přímka q prochází bodem Q (pokud tento existuje.) r : (0,0,0,1) + 7(0,0,1,0) + Ä(2, -3,4, -1) Výpočet průniku pM D p vede k soustavě s řešením ô = 1, 7 = —4. Q = (2,-3,0,0), 4:(2,-3,0,0) + t(2,-3,4,-l). 3 body 3. p:(-2,-l,l,2) + í(l,-l,2,0) 2 body 4. Zjistíme, že p D p = 0. Například tak, že parametrické vyjadrení p dosadíme do rovnic p. Dále zjistíme, že směrový vektor přímky p nesplňuje homogenní rovnice pro zaměření podprostoru p. Tedy p a p jsou mimoběžne. 3 body 5. 6a. 6b. 6c. 4. 7. 1 1 i\_1 /O 1 1\ /O 0 1 \ /O 1 1\ (1 o 1 (id)a ß = er1/? =[ll0 2 10 = 0 1 -1210=1 1-1 100/ Vi o 1 / Vi -1 o / Vi o 1/ V-2 o 1 (u)a = {id)a,ß{u)ß = ( 1 1 -1 J í 2 J = í 4 1 1 -ť (j%4,£3 = ( 0 2 -1 1 -1 0 Ker/= [(1,1,2)] Im/= [(1,0,1),(1,2,-1)] ftešení teoretické části i bod 1 bod 1+1+1 bod n(n-l) 3n(n-l) (-1) 2 =(_1) 2 An = (n, n2) pro n = 1, 2,..., 2000. 0 -1 1 0 body body body