Jméno: login: Předmět: A. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část Max. počet bodů 12 (1 a a a\ inverzní matici? Vypočtěte ji. (2 body) 1111/ 2. V M5 popište soustavou rovnic afinní podprostor (0, 0,1, 0,1) + a(0,1, 0, -1,1) + ß(l, 0, 0, -2, 3). (2 body) 3. V M4 uvažujme rovinu p : (0,1, 0, 0) + a(l, 1, 0, 0) + ß(l, 0,1, 0) a přímku p : (0, 0, 0,1) + 7(0, 0, -1,1). Najděte přímku q, která prochází počátkem (0,0,0,0), protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : 2xi — x2 + ^3 = 1, £1 — £3 + x4 = 3 a přímky p : (2, — 1, 0, 3) + «(1,4,2,1). (2 body) 5. Matice lineárního zobrazení / : M2 [x] —>• M2 N v bázi a = (l,l + x,x2)je /l 2 3\ (/)a,a = 0 1 2 . VI 0 0/ (2 6ocř?/) Najděte matici (/)/?,/? v bázi /3 = (l,x, 1 + x2). 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —»■ M4, /(xi,x2,x3,x4) = (xi +x2 + 2x3,2xi - x2 +X3 + 3x4,3xi + x2 + 4x3 + 2x4,x2 + x3 - x4). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (2 body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 8 1. Napište definici lineárního obalu vektorů i?i, i>2,..., Vk- {1 bod) 2. Napište Laplaceův rozvoj determinantu podle 2. řádku. (1 bod) 3. Napište matici přechodu od báze a = (^i,^2,^3,^4) k bázi ß = (i?2,174,^3,i?i). (i 6ocř) 4. Které z axiomů vektorového prostoru nejsou splněny pro množinu V = M a operace aQx = a2xax0^/ = x+y? (1 bod) 5. V M5 uveďte jednoduchý příklad dvou afinních podprostorů dimenze 2 a 3, které jsou mimoběžné. Mi-moběžnost dokažte. {1 bod) 6. Existují soustavy rovnic Ax = b a Ax = c o třech neznámých, z nichž prvá má právě jedno řešení a druhá jich má nekonečně mnoho? Své tvrzení dokažte. (1 bod) 7. Popište všechny afinní podprostory vť. (1 bod) 8. Nechť / : U —>• V je lineární zobrazení a ui, ix2,..., Uk G U. Jsou-li f(ui), /(^2),..., f(v>k) lineárně nezávislé, pak m, U2j..., Uk jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. {1 bod) Jméno: login: Předmět: B. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část Max. počet bodů 12 1. Pro které hodnoty parametru b G M má matice A = inverzní matici? Vypočtěte ji. (2 body) \1 b b b/ 2. V M5 popište soustavou rovnic afinní podprostor (0,1, -1, 0, 0) + a(l, 3, 0, -2, 0) + /?(0, -1, 0,1, -1). (2 body) 3. V M4 uvažujme rovinu p : (0, 0,1, 0) + a(0, 0,1,1) + /?(0,1, 0,1) a přímku p : (1, 0, 0, 0) + 7(-l, 1, 0, 0). Najděte přímku q, která prochází počátkem (0,0,0,0), protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : 2xi — x2 + £3 = 1, £1 — £3 + x4 = 3 a přímky p : (2,-1,2,4) + «(1,4,2,3). (ž body) 5. Matice lineárního zobrazení / : M2 N —>• ^2 [x] v bázi a = (l,x,x + x2) je /l 2 3\ (/)a,a = 0 1 2 . VI 0 0/ Najděte matici (/)/?,/? v bázi /3 = (1,1 + x,x2). (2 ÖOrfy) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —»■ M4, /(xi,x2,x3,x4) = (xi + 3x2 + 2x3 +x4,4xi + 4x2 - 4x4, -xi + x3 + 2x4,2x2 + 2x3 + 2x4). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (# body) Teoretická část — pouze pro předmět M003 Max. počet bodů 8 1. Napište definici součtu dvou podprostorů ve vektorovém prostoru U. {1 bod) 2. Napište Laplaceův rozvoj determinantu podle 3. sloupce. {1 bod) 3. Napište matici přechodu od báze a = (i>i,i>2,i>3,i>4) k bázi ^ = (^3,^1,^4,^2)- (1 bod) 4. Které z axiomů vektorového prostoru nejsou splněny pro množinu V = M a operace aQx = — ax a x®y = x+y? (1 bod) 5. VI5 uveďte jednoduchý příklad dvou afinních podprostorů dimenze 3, které jsou mimoběžné. Mimoběžnost dokažte. (1 bod) 6. Nechť / : U —> V je lineární zobrazení a ui, ix2,..., Uk G U. Jsou-li /(i&i), /(^2), • • •, f(uk) lineárně nezávislé, pak m, U2j..., Uk jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. {1 bod) 7. Napište dvě vlastní podmnožiny M3, které jsou afinními podprostory a dvě, které jimi nejsou. {1 bod) 8. Existují soustavy rovnic Ax = b a Ax = c o třech neznámých, z nichž prvá nemá žádné řešení a druhá má právě jedno? Své tvrzení dokažte. (1 bod)