Jméno:
login:
Předmět:
A. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
1. Pro které hodnoty parametru a € M má matice A =
11   a   a a> 1   1   1   a I inverzní matici? Vypočtěte ji. (2 body)
\1   1   1 1,
2. V ffi6 popište soustavou rovnic afinní podprostor (0,0,1,0,1) + a(0,1,0, -1,1) + j3(l, 0,0, -2,3).    (2 body)
3. V ffi4 uvažujme rovinu p : (0,1,0,0) + a(l, 1,0,0) + /?(1,0,1,0) a přímku p : (0,0,0,1) +7(0,0,-1,1). Najděte přímku q, která prochází počátkem (0,0,0,0), protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body)
4. V IR4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : 2x\ — x2 + xz = 1, x\ — xz + xn = 3 a přímky p : (2, —1,0,3) + a(l,4,2,l). {2 body)
5. Matice lineárního zobrazení / : M2 [x] —> 1b [x] v bázi a = (1,1 + x,x2) je
/l   2 3\
(/)«,« =0   1   2 .
V1 o oj
Najděte matici {f)p,p v bázi /? = (l,a;, 1 + x2).
[2 body)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —\ M4,
/(a;i,a;2,a;3,a;4) = {x\ + x2 + 2x3,2xi - x2 + x3 + 3a;4,3a;i + a;2 + 4a;3 + 2a;4,a;2 + x3 - x4). Najděte bázi Ker / a bázi Im /. (2 body)
Teoretická část — pouze pro předmět M003
Max. počet bodů 8
1. Napište definici lineárního obalu vektorů v\,v2, - ■ ■ ,vu- {1 bod)
2. Napište Laplaceův rozvoj determinantu podle 2. řádku. (1 bod)
3. Napište matici přechodu od báze a = (vi, v%, vz, v4) k bázi /3 = (v2,Ví,V3,vi). (1 bod)
4. Které z axiomů vektorového prostoru nejsou splněny pro množinu V = M a operace aQx = o?x a x@y = x+y?
{1 bod)
5. V ffi5 uveďte jednoduchý příklad dvou afinních podprostorů dimenze 2 a 3, které jsou mimoběžné. Mi-moběžnost dokažte. (1 bod)
6. Existují soustavy rovnic Ax = b a Ax = c o třech neznámých, z nichž prvá má právě jedno řešení a druhá jich má nekonečně mnoho? Své tvrzení dokažte. (1 bod)
7. Popište všechny afinní podprostory v ffi3. (1 bod)
8. Nechť f :U —> V je lineární zobrazení a u\, «2, • • •, Uk € U. Jsou-li /(«i), f{u2), ■ ■ ■, /(w/s) lineárně nezávislé, pak «i,«2, ■ ■ ■ ,Uk jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. (1 bod)
Jméno:
login:
Předmět:
B. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
í\   \   \ \\
1. Pro které hodnoty parametru b £ ffi má matice A =    i   i   &   & I inverzní matici? Vypočtěte ji. (2 body)
Vl   b   b b)
2. V M6 popište soustavou rovnic afinní podprostor (0,1,-1,0,0)+a(l,3,0,-2,0)-1-/3(0,-1,0,1,-1). (2 body)
3. V M4 uvažujme rovinu p : (0,0,1,0) + a(0,0,1,1) -1-/3(0,1,0,1) a přímku p : (1,0,0,0) + 7(-l, 1,0,0). Najděte přímku q, která prochází počátkem (0,0,0,0), protíná rovinu p a přímku p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body)
4. V IR4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : 2x\ -i2+í3=l,íi-í3+í4 = 3a přímky p : (2, —1,2,4) + a(l,4,2,3). {2 body)
5. Matice lineárního zobrazení / : M2 [a;] —> M2 [a;] v bázi a = (1, x, x + x2) je
/l   2 3\
{f)a,a =0    1    2 .
V1 o oj
Najděte matici {f)p,p v bázi fi = (1,1 + a;,a;2).
[2 body)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —\ M4,
/(a;i,a;2,a;3,a;4) = {x\ + 3x2 + 2x3 + x4,4xi + 4x2 - 4a;4, -xi + x3 + 2a;4,2a;2 + 2a;3 + 2a;4). Najděte bázi Ker / a bázi Im /. (2 body)
Teoretická část — pouze pro předmět M003
Max. počet bodů 8
1. Napište definici součtu dvou podprostorů ve vektorovém prostoru U. (1 bod)
2. Napište Laplaceův rozvoj determinantu podle 3. sloupce. (1 bod)
3. Napište matici přechodu od báze a = {vi,V2,V3,Ví) k bázi fi = (v3,vi,Ví,V2). {1 bod)
4. Které z axiomů vektorového prostoru nejsou splněny pro množinu V = M a operace aQx = —ax a x@y = x+yl
{1 bod)
5. V ffi5 uveďte jednoduchý příklad dvou afinních podprostorů dimenze 3, které jsou mimoběžné. Mimoběžnost dokažte. (1 bod)
6. Nechť f :U —> V je lineární zobrazení a u\, u2,... ,Uk € U. Jsou-li /(«i), f{u2), ■ ■ ■, f{uu) lineárně nezávislé, pak «i, «2, • • • ,«t jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. (1 bod)
7. Napište dvě vlastní podmnožiny M3, které jsou afinními podprostory a dvě, které jimi nejsou. (1 bod)
8. Existují soustavy rovnic Ax = b a Ax = c o třech neznámých, z nichž prvá nemá žádné řešení a druhá má právě jedno? Své tvrzení dokažte. (1 bod)