Jméno a prijmem:                                                          UCO:                             Předmět:
C. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
1.  Nechť A je matice tvaru n x n taková, že A^ = 1 pro i < j a Aíj = 0 pro i > j. Vypočtěte součin A • A.
(2 body)
2.  Pro které hodnoty parametrů p,gGl soustava rovnic
x — y — z = 0 px + y — 2z = 1 (l+p)y-z = q
(i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte.       (2 body)
3.  V M4 uvažujme nadrovinu p : x\ + x2 + £3 = 0, přímku p : (3, —5,1, 3) + 7(1,1,1,1) a bod M = (2, 0, 0, 2). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná přímku p a je rovnoběžná s nadrovinou p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte.                                                                                                                     (2 body)
4.  V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : —x\ + x 3 + 4x4 = 5, —2x2 + X3 + X4 = 3 a přímky p : (1, 9, 9, 9) + a(5,1,1,1).                                                                                                                                               (2 ftodj/)
5.  Matice lineárního zobrazení / : M3 [x] —>• IR3 [x] v bázi a = (l,l + x2,x,x + x3) je
U Ja,a
Najděte matici (/)/?,/? v bázi /3 = (1,1 + x,x2,x3).
(2 ĎOrfy)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —>• M4,
/(xi,x2,x3,x4) = (xi + 3x2 +4x3 + 7x4,2xi - x2 +x3,xi - x2 - x4,2xi + 2x3 + 2x4). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/.                                                                                                               (2 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 8
1.  Napište pečlivě definici determinantu matice.                                                                                       (1 bod)
2.  C2 je vektorový prostor nad C. Napište nějakou jeho bázi obsahující vektor (1 + i, i).                         (1 bod)
3.  C2 je rovněž vektorový prostor nad R. Napište nějakou jeho bázi obsahující vektor (1 + i, i).             {1 bod)
4.  Napište matici přechodu od báze a = (^i,^2,^3,^4) k bázi ß = (i?2 + ^3,^3,^4, — ^1).                          (1 bod)
5.  Které z axiomů vektorového prostoru nad IR nejsou splněny pro množinu V = M a operace a 0 x = a2x a
X0 2/ = 2x + 2y?                                                                                                                                        (1 bod)
6.  Napište předpis pro nějaký lineární izomorfismus / : M2 [x] —>• M2[x], který není násobkem identity.    {1 bod)
7.  Na pěti řádcích napište základní myšlenku důkazu formule pro výpočet dimenze součtu podprostorů. {1 bod)
8.  Nechť / : U —> V je lineární zobrazení. Nechť ui,ix2,...,Uk je báze Ker/ a nechť ui,ix2,...,Uk,v>k+i,...,un je báze U. Dokažte, že vektory f(uk+i), f(uk+2, • • •, f(un) jsou lineárně nezávislé.                                   (1 bod)