Jméno a příjmení:
UCO:
Předmět:
C. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
1. Nechť A je matice tvaru n x n taková, že A^ = 1 pro i < j a A^ = 0 pro i > j. Vypočtěte součin A ■ A.
{2 body)
2. Pro které hodnoty parametrů p, q € ffi soustava rovnic
x — y — z = 0 px + y — 2z = 1 (l+p)y- z = q
(i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte.     (2 body)
3. V IR4 uvažujme nadrovinu p : x\ + x2 + xz = 0, přímku p : (3, —5,1,3) + 7(1,1,1,1) a bod M = (2,0,0,2). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná přímku p a je rovnoběžná s nadrovinou p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body)
4. V IR4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : —x\ +x3 + Axn = 5, — 2x2 + i3+i4 = 3a přímky p : (1,9,9,9) + a(5,1,1,1). {2 body)
5. Matice lineárního zobrazení / : I3 [x] —> I3 [x] v bázi a = (1,1 + x2, x, x + x3) je
/l   2   -1 0>
(f)a,a =
Najděte matici {f)p,p v bázi /3 = (1,1 +
{2 body)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 —>• M4,
f(xi,x2,X3,X4) = (Xl + 3x2 + 4^3 + 7X4, 2x\ — x2 + Xz,X\ - x2 — Xi,2x\ + 2x3 + 2xa).
Najděte bázi Ker / a bázi Im /. (2 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 8
1. Napište pečlivě definici determinantu matice. (1 bod)
2. C2 je vektorový prostor nad C. Napište nějakou jeho bázi obsahující vektor (1 + i, i). (1 bod)
3. C2 je rovněž vektorový prostor nad ffi. Napište nějakou jeho bázi obsahující vektor (1 + i, i). (1 bod)
4. Napište matici přechodu od báze a = {vi,V2,V3,Ví) k bázi /3 = (v2 + i>3,i>3,i>4, — vi). (1 bod)
5. Které z axiomů vektorového prostoru nad ffi nejsou splněny pro množinu V = M a operace a Q x = o?x a x © y = 2x + 2yl (1 bod)
6. Napište předpis pro nějaký lineární izomoríismus / : M2[x] —> Mq[x], který není násobkem identity.   (1 bod)
7. Na pěti řádcích napište základní myšlenku důkazu formule pro výpočet dimenze součtu podprostorů. (1 bod)
8. Nechť / : U —> V je lineární zobrazení. Nechť u\, U2, ■ ■ ■, Uk je báze Ker / a nechť u\,U2, ■ ■ ■, w/s, w/s+i,
je báze U. Dokažte, že vektory f{uk+i), f{uk+2, ■ ■ ■ ,/(«n) jsou lineárně nezávislé. (1 bod)