Jméno a prijmem: UCO: Předmět: D. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část Max. počet bodů 12 1. Vypočtěte součin A • B dvou matic tvaru n x n, kde A^ = 1 pro i > j a Aíj = 0 pro i < j, B^ = 1 pro i < j a Bij = 0 pro i > j. (2 body) 2. Pro které hodnoty parametrů a, b G M soustava rovnic x + ?/ + az = 1 x + m/ + 2 = 1 ax + y + a2 z = b (i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte. (2 body) 3. V M4 uvažujme rovinu p : (2, 8, 0,1) + a(l, 0, -1,1) + 6(0,1, -1, 0), přímku p : (1, 7, -4,1) + c(0, 0, 0,1) a vektor v = (1,1,1,0). Najděte přímku q se směrovým vektorem i?, která protíná přímku p a rovinu p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ — 2x2 + ^3 = 2, x\ — 6x2 + 3x3 + 4x4 = 10 a přímky p : (2, 0,0, 2)+ (2(2,1,0,1). (ž öorfy) 5. Matice přechodu od báze a k bázi ß v M3 je /l 0 -ť Nkc =01 o \1 1 o Najděte bázi a, je-li báze ß = ((1,1, 0)T, (1, 0, 0)T, (0,1, — 1)T). Transponování T znamená, že jde o sloupce. (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 -> M4 takové, že /(l, 0,0,0) = (1,2,1,0), /(0,1,0,0) = (0,1,3,2), /(l,0,1,0) = (2,5,5,2), /(l,0,0,1) = (2,3,-1,-2). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (2 body) Teoretická část Max. počet bodů 8 1. Napište pečlivě definici lineární nezávislosti vektorů 1x1,1x2, • • • ,Uk ve vektorovém prostoru U. {1 bod) 2. Napište definici hodnosti matice A. (1 bod) 3. Napište matici (/)/?,a lineárního zobrazení / : M2 N —>• U&i N, /(ax2 + 6x + c) = (a + 6)x + (b — c) v bazích a = (x2,x, 1) a ß = (x, 1). (i 6ocř) 4. Napište nějakou bázi vektorového prostoru reálných matic A tvaru 2x2, pro které platí A = AT. {1 bod) 5. Které všechny axiomy vektorového prostoru nad IR nejsou splněny pro množinu V = M — {0} a operace aOx = axax0i/ = xyl (1 bod) 6. Napište předpis pro nějaké lineární zobrazení / : Mi [x] —>• Mi [x] s jádrem Ker/ = {2ax + a; a G M}, (i 6ocř) 7. Napište větu (Frobeniovu) dávající do souvislosti řešitelnost soustavy lineárních rovnic Ax = b s hodností matice soustavy. (1 bod) 8. Nechť / : U —> V je lineární zobrazení a Ker/ = {0}. Přímo z definice lineárního zobrazení a jádra dokažte, že / je prosté. {1 bod) Jméno a prijmem: UCO: Předmět: G. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část Max. počet bodů 12 1. Vypočtěte součin B • A dvou matic tvaru n x n, kde Aíj = 1 pro i > j a Aíj = 0 pro i < j, B^ = 1 pro i < j a Bij = 0 pro i > j. (2 body) 2. Pro které hodnoty parametrů c, d G M soustava rovnic x + z = 1 x + y =1 x + q/ — 2 = c? (i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte. (2 body) 3. V M4 uvažujme rovinu p : (0,1, 2, 8) + a(-l, 1,1, 0) + 6(-l, 0, 0,1), přímku p : (-4, 3,1, 7) + c(0,1, 0, 0) a vektor v = (1,0,1,1). Najděte přímku q se směrovým vektorem i?, která protíná přímku p a rovinu p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body) 4. V M4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ — 4x2 — ^3 + 2x4 = 6, —2xi + 6x2 + X3 — 2x4 = —2 a přímky p : (0, 2, 0, 7) + a(2,1, 0,1). (2 ftoífy) 5. Matice přechodu od báze a k bázi ß v M3 je Najděte bázi a, je-li báze /3 = ((1, 0,1)T, (1, —1, 0)T, (0,1, 0)T). Transponování T znamená, že jde o sloupce. (2 body) 6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 -+ R4 takové, že /(l, 0,0,0) = (1,2,-1,0), /(0,1,0,0) = (0,1,1,3), /(0,1,1,0) = (1,2,-1,0), /(0,1,0,1) = (1,4,1,6). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (ž Ďotfy) Teoretická část Max. počet bodů 8 1. Napište pečlivě definici lineárního zobrazení f :U —>V. (1 bod) 2. Napište matici (/)/?,a lineárního zobrazení / : Mi [x] —>• M2N, /(ax + 6) = (a + b)x2 + 26x — a v bazích a = (x, 1) a ß = (x2,x, 1). (i 6ocř) 3. Napište definici lineární nezávislosti vektorů i?i, i?2,..., ^n v prostoru V. (i 6ocř) 4. Napište nějakou bázi vektorového prostoru reálných matic A tvaru 3x3, pro které platí A = — AT. (1 bod) 5. Které všechny axiomy vektorového prostoru nad IR nejsou splněny pro množinu V = ffi? a operace aO(xi, £2) = (axi,ax2) a (xi,x2) 0 (2/1,2/2) = (^1 +2/i,2^i + 22/2)? (-/ 6oá) 6. Napište předpis pro nějaké lineární zobrazení / : Mi [x] —> Mi [x] s jádrem Ker/ = {ax — 2a; a G M}. (1 bod) 7. Napište větu dávající do souvislosti dimenzi prostoru řešení soustavy lineárních rovnic Ax = 0 s hodností matice A. (1 bod) 8. Nechť / : U —> V je lineární zobrazení. Přímo z definice lineárního zobrazení a jádra dokažte, že Ker/ je vektorový podprostor. {1 bod)