Jméno a příjmení:
UCO:
Předmět:
D. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
1. Vypočtěte součin A ■ B dvou matic tvaru nxn, kde A^ = 1 pro i > j a Aíj = 0 pro i < j, B^ = 1 pro i < j a Bij = 0 pro i > j. (2 body)
2. Pro které hodnoty parametrů a, b € ffi soustava rovnic
x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + a2 z = b
(i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte.     (2 body)
3. V M4 uvažujme rovinu p : (2,8,0,1) + o(l,0,-1,1) + 6(0,1,-1,0), přímku p : (1,7, -4,1) + c(0,0,0,1) a vektor v = (1,1,1,0). Najděte přímku q se směrovým vektorem v, která protíná přímku p a rovinu p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body)
4. V IR4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ — 2x2 + xz = 2, xi — 6x2 + 3x3 + = 10 a přímky p : (2,0,0,2) +a{2,1,0,1). {2 body)
5. Matice přechodu od báze a k bázi /? v ffi3 je
(id)p,a =
Najděte bázi a, je-li báze /? = ((1,1,0)T, (1,0,0)T, (0,1, — 1)T). Transponování T znamená, že jde o sloupce.
(2 body)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 -»■ M4 takové, že /(l,0,0,0) = (1,2,1,0), /(0,1,0,0) = (0,1,3,2), /(l,0,1,0) = (2,5,5,2), /(l,0,0,1) = (2,3,-1,-2). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (2 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 8
1. Napište pečlivě definici lineární nezávislosti vektorů ui,«2, • • • ,Uk ve vektorovém prostoru U. (1 bod)
2. Napište definici hodnosti matice A. (1 bod)
3. Napište matici {f)p,a lineárního zobrazení / : M2 [a;] —> Mi [a;], f(ax2 + bx + c) = (a + b)x + (b — c) v bazích a = (x2,x, 1) a P = {x, ľ). (1 bod)
4. Napište nějakou bázi vektorového prostoru reálných matic A tvaru 2x2, pro které platí A = AT.    (1 bod)
5. Které všechny axiomy vektorového prostoru nad ffi nejsou splněny pro množinu V = ffi — {0} a operace aQx = ax&x®y = xyl (1 bod)
6. Napište předpis pro nějaké lineární zobrazení / : ffii [a;] —> ffii [a;] s jádrem Ker / = {2aa; + a; a £ ffi}. (1 bod)
7. Napište větu (Frobeniovu) dávající do souvislosti řešitelnost soustavy lineárních rovnic Ax = b s hodností matice soustavy. (1 bod)
8. Nechť / : U —>■ V je lineární zobrazení a Ker / = {0}. Přímo z definice lineárního zobrazení a jádra dokažte, že / je prosté. (1 bod)
Jméno a příjmení:
UCO:
Předmět:
G. Písemka z lineární algebry I, leden 2002 — početní část
Max. počet bodů 12
1. Vypočtěte součin B ■ A dvou matic tvaru nxn, kde A^ = 1 pro i > j a Aíj = 0 pro i < j, B^ = 1 pro i < j a Bij = 0 pro i > j. (2 body)
2. Pro které hodnoty parametrů c, d € ffi soustava rovnic
x    + z = 1 a; + y =1 a; + cy — z = d
(i) nemá žádné řešení, (ii) má nekonečně mnoho řešení? V druhém případě všechna řešení najděte.     (2 body)
3. V M4 uvažujme rovinu p : (0,1,2,8) + o(-l, 1,1,0) + &(-l,0,0,1), přímku p : (-4,3,1,7) + c(0,1,0,0) a vektor v = (1,0,1,1). Najděte přímku q se směrovým vektorem v, která protíná přímku p a rovinu p. Slovy popište stručně postup a vypočtěte. (2 body)
4. V IR4 zjistěte vzájemnou polohu roviny p : x\ — Ax% — x% + 2x^ = 6, — 2xi + 6x2 + X3 — 2x^ = — 2 a přímky p : (0,2,0,7) +a(2,1,0,1). {2 body)
5. Matice přechodu od báze a k bázi /? v ffi3 je
(1   0 -1\ (id)p,a =01    o .
\1 1 0 /
Najděte bázi a, je-li báze /? = ((1,0,1)T, (1, —1,0)T, (0,1,0)T). Transponování T znamená, že jde o sloupce.
[2 body)
6. Uvažujme lineární zobrazení / : M4 -»■ M4 takové, že /(l,0,0,0) = (1,2,-1,0), /(0,1,0,0) = (0,1,1,3), /(0,1,1,0) = (1,2,-1,0), /(0,1,0,1) = (1,4,1,6). Najděte bázi Ker/ a bázi Im/. (2 6o<fy)
Teoretická část
Max. počet bodů 8
1. Napište pečlivě definici lineárního zobrazení / : U —> V. (1 bod)
2. Napište matici {f)p,a lineárního zobrazení / : Mi[x] —> Ma[x], f(ax + b) = (a + b)x2 + 2bx — a v bazích a = (x, 1) a P = (x2,x, 1). (1 bod)
3. Napište definici lineární nezávislosti vektorů i>i,i>2> ■ ■ ■ ,vn v prostoru V. (1 bod)
4. Napište nějakou bázi vektorového prostoru reálných matic A tvaru 3x3, pro které platí A = —AT. (1 bod)
5. Které všechny axiomy vektorového prostoru nad ffi nejsou splněny pro množinu V = ffi2 a operace aQ{x\, x%) = (axi,ax2) a (xi,X2) © (2/1,2/2) = {xi +yi,2x\ + 2j/2)? (1 bod)
6. Napište předpis pro nějaké lineární zobrazení / : ffii [a;] —> ffii [a;] s jádrem Ker / = {ax — 2a;a£ ffi}. (1 bod)
7. Napište větu dávající do souvislosti dimenzi prostoru řešení soustavy lineárních rovnic Ax = 0 s hodností matice A. (1 bod)
8. Nechť / : U —>■ V je lineární zobrazení. Přímo z definice lineárního zobrazení a jádra dokažte, že Ker / je vektorový podprostor. (1 bod)