10. DETERMINANTY Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno bstrakt přednášky této kapitole zavedeme determinanty itvercových matic libovolného rozměru nxn nad Devným tělesem K, řekneme si jejich základní Mastnosti a naučíme se je vypočítat včetně iříkladů jejich aplikace. f celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n sou přirozená čísla. bsah přednášky bsah O Determinanty ^ 10.0 Permutace ............. 4 10.1 Orientovaný objem......... 17 10.2 Definice a základní vlastnosti determinantu 10.3 Charakterizace determinantu a regulárních 10.4 Laplaceův rozvoj determinantu . . 49 10.5 Výpočet determinantu....... 57 10.6 Inverzní matice a Cramerovo pravidlo 66 ermutace I Determinanty 0.0 Permutace Jechť X je libovolná množina. Permutací nnožiny X rozumíme libovolné bijektivní :obrazení o : X ->> X. nožinu všech permutací množiny X značíme ermutace II e-li X konečná množina, tak počet prvků nnožiny S (X) je daný známým vztahem ermutace 111 i ransformace / : X ->• X konečné množiny X je njektivní právě tehdy, když je surjektivní. Drotože složení a or dvou permutací cr, r e S (X) Jáva opět permutaci množiny X, kompozice o je asociativní binární operace na množině S (X) a dx je její neutrální prvek. Snadno se můžeme přesvědčit, že - mimo Dřípad, když #X < 2, - tato operace není omutativní. ermutace IV ermutaci a eSn obvykle zapisujeme ve tvaru ermutace V Drvky množiny značme si identickou permutaci této množiny ako u, otočení kolem těžiště trojúhelníka proti >měru resp. ve směru hodinových ručiček o uhel r/3 jako q resp. q~1, a osovou souměrnost podle )sy procházející i-tým vrcholem a středem »rotilehlé strany jako ait pro i = 1, 2, 3. ermutace VI Inožina permutací a(j), - každou takovouto dvojici ; j) nazýváme inverzí permutace er. rientovaný objem a MAF u.i Orientovaný objem a multilineární alternující funkce tázka: Jak vypadají vzorce pro plošný obsah ovnoběžníku v rovině v IR2, jehož dvě sousední trany tvoří vektory u = (ui, u2)T, v = (v\, v2)T^ rientovaný objem a MAF II tázka: Jak vypadají vzorce pro objem ovnoběžnostěnu v prostoru R3, jehož tři sousední hrany tvoří vektory u = (ui, u2, u3 = (vi,v2,v3)T, w = (wi,w2,wd)T? Jjasníme si vlastností takovýchto vzorců. Jvidíme, že tyto vlastnosti už jednoznačně (až a volbu jednotkového obsahu či objemu) určují ledané vzorce nejen v rovině či v třírozměrném rostoru. Zobecníme je na n-rozměrné vektorové fostory Kn nad libovolným tělesem K. rientovaný objem a MAF III značme P(X) obsah rovinného útvaru X. rejmě P{X) je vždy nezáporné reálné číslo a ro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). »bsah je navíc aditivní funkce, t. j. pro útvary X, r také, že P(X nľ) = 0, platí rientovaný objem a MAF IV 'bsah rovnoběžníka {au + bv; a, o g (0,1)} rčeného vektory u, v g R2 budeme značit u. v . latí pak rovnosti P(u,v) = P(v,u), J ro libovolné u, v g R2, c g rientovaný objem a MAF V ituace pro c = 3 je znázorněná na následujícím brázku. latnost druhé rovnosti pro všechna c g Q plyne platnosti pro všechna n g N a m g Z. Platnost re všechna c e R plyne ze spojitosti obsahu. rientovaný objem a MAF VI 'važme následující dva obrázky. rientovaný objem a MAF VII prvním případě určují vektory x + y, v ovnoběžník O ABC, vektory y, v rovnoběžník 1DEC a rovnoběžník vektorů x, v je shodný rovnoběžníkem D ABE. e shodnosti trojúhelníků OAD, CBE potom na základě uvedených vlastností obsahu vyplývá ovnost rientovaný objem a MAF VII druhém případě určují vektory x, v ovnoběžník O ABC, vektory x + y, v ovnoběžník ODEC a rovnoběžník vektorů y, v e shodný s rovnoběžníkem D ABE. íe shodnosti trojúhelníků ODA, CEB vyplývá P(x, v) = P(x + y, v) + P(y, v), tedy ožje nepříjemné překvapení, určitě bychome láli přednost stejnému vzorci. rientovaný objem a MAF IX Všimněme si však, že kratší otočení vektoru y do /ektoru v je orientované proti kratším otočením ektoru x i x + y do vektoru v. druhém případě by sa nám proto hodilo, aby )bsah rovnoběžníka určeného vektory y, v měl tohoto důvodu opačné znaménko než obsahy ovnoběžníků příslušejících vektorům x, v resp. c + y, v. rientovaný objem a MAF X lěnto cíl můžeme dosáhnou, pokud místo )lošného obsahu vektorových rovnoběžníků )udeme uvažovat jejich orientovaný plošný bsah, který mění znaménko záměnou pořadí vou vektorů, tedy může nabývat i záporné i od n oty. Důvodní nezáporný plošný obsah potom Jostaneme jako absolutní hodnotu orientovaného obsahu. rento přístup nám navíc umožní zbavit se ibsolutní hodnoty v rovnosti P(cu,v) = |c|P(u,v). rientovaný objem a MAF XI 3okud nahradíme reálná čísla libovolným ělesem K, provedené úvahy nás přivádí následujícím definicím. Jechť V je vektorový prostor nad tělesem K a . < n e N. :íkáme, že zobrazení F : Vn ->• K je a) n-lineární nebo též multilineární, pokud pro I každé 1 < j < n a libovolné vektory ui,..., Uj-i, Uj+i, ...,uneľ přiřazení ' i—)- F(ui,..., iij_i,x, u,+i,..., u„) rientovaný objem a MAF XII definuje lineárni zobrazení V ->• K, t. j. pro všechna x, y e V, a, b e K platí F(ui,..., Uj_i, ax + 6y, uj+i, ...,u„) = aF(ui,..., Uj_i,x, Uj+i,..., un) + bF(ui,..., Uj_i, y, Uj+i,..., un); rientovaný objem a MAF XII b) antisymetrické, pokud pro všechna Íl • K je libovolné obražení, K těleso, V vektorový prostor nad K a) Je-li char K ^ 2 a F je antisymetrické, tak F je alternující. b) Je-li F je multilineámí a alternující, je F je antisymetrické. rientovaný objem a MAF XV _emma 10.1.2 Nechť F : Vn ->- K je funkce, K 'ěleso, V vektorový prostor nad K, ji, ..., un e V a a je libovolné zobrazení možiny {1,..., n} do sebe. a) Je-li g permutace a F je antisymetrické, tak Ul, ••• 5 Unj, F(uCT(i),...,ua(n)) ^ ( ')' Pokud o není permutace a F je alternující, rientovaný objem a MAF XVI ,emma 10.1.3 Nechť F : Vn -+ K je nultilineární alternující funkce. Potom pro ibovolné vi,..., v„ e V platí: a) Připočtením skalárního násobku nějakého z I vektorů k jinému vektoru se hodnota F(vi,..., vn) nezmění, t. j. pro libovolné c e K a i, j < n platí F(vi,..., viv .., v j + cví, ..., vn) — -^"(Vl, . . . , Vi, . . . , Vj, ..., v n)- orientovaný objem a MAF XVI b) Pokud jsou vektory ví,..., vn lineárně závislé, tak F(vi,..., vn) = 0. ak vypadají všechny bilineární (t.j. 2-lineární) ilternující funkce F : K2 x K2 -t K2 nad tělesem r? rientovaný objem a MAF XVII yuzijeme bilinearitu a na závěr alternaci a ntisymetrii F, postupně dostaneme F(u,v =F(uiei + u2e2, v) = wiF(ei, v) + u2F(e2, v =«iF(ei, uiei + v2e2) + u2F(e2, fiei + v2e2) =u1v1F(e1, ei) + «iu2F(ei, e2) +u2^iF(e2, ei) + u2v2F(e2, e2) -u2vi) = F(ei,e2) u2 v2 rientovaný objem a MAF XI de výraz U2 V2 e determinant matice Ui V2 •2x2 rientovaný objem a MAF Dodobným způsobem můžeme odvodit tvar ibovolné n-lineární alternující funkce f : Knxn -> K. nxn je matice se sloupci 'nj^n &ij G^ i=l orientovaný objem a MAF XX využitím n-linearity F pro každý z n sloupců natice A můžeme výraz F (A) postupně oznásobit, čímž dostaneme součet nn členů 'cr(l) 1 • • • d(r(n) n" \^a(l) i • ■ ■ i ®odle lemmatu 10.1.2 sčítance příslušející :obrazením a £ Sn jsou všechny rovné 0 a pro r G Sn platí a závěr tak dostáváme a[n\ni kde příslušná suma obsahuje n! sčítanců, jeden pro každou permutaci a e Sn. akladni vlastnosti determinantu 0.2 Definice a základní vlastnosti determinantu determinantem čtvercové matice nxn nazývame výraz d\\ ... d\n 'ct(I) 1 • • • ^Wn)n <7ÉE j). Pro horní i dolní trojúhelníkové matice (tedy i diagonální) platí "nni t. j. determinant takové matice je součinem jejích diagonálních prvků. harakterizace determinantu I .u.á Charakterizace determinantu a regulárních matic ěta 10.3.1 Determinant řádu n je n-lineámí Mernující funkce Knxn -»• K sloupců matice. Javíc, pro každý skaláre e K existuje jediné nultilineární alternující zobrazení F : Knxn ->> j iloupců matice tak, že F(ln) = c. Toto F je dar )ředpisem harakterizace determinantu I eterminant det : Knxn -> K je jednoznačne rčený ako n-lineární alternující funkce sloupců natice tak, že .Iet(ei,...,e„j = 1. jato rovnost koresponduje s přirozenou volbou ednotky orientovaného n-rozměrného objemu r Kn -její orientovaný objem rovnoběžnostěnu rčeného vektory ei,..., en (v tomto pořadí). harakterizace determinantu II rěta 10.3.2 (Cauchy) Pro libovolné matice ĺ, B g Knxn platí .j. determinant součinu matic se rovná součinu ejich determinantů. harakterizace determinantu IV ěta 10.3.3 Čtvercová matice A e Knxn je egulární právě tehdy, když det A ^ 0. V tomto Případě det(A-1) = (detA)"1. Laplaceuv rozvoj determinantu 0.4 Laplaceuv rozvoj determinantu »úkaz věty 10.3.1. Nejprve dokážeme, že leterminant je alternující funkce. Nechť L g Knxn je taková matice, že ro nějaké i < j. Laplaceuv rozvoj determinantu I značme r e Sn transpozici, která zamění prvky a j (a ostatní prvky ponechá na místě). Dro všechna k}l r o a je daná bijekce Laplaceuv rozvoj determinantu II odle definice determinantu et A= det(si(A),... ,sn(A)) = Z^aeAn anj) ' \filji • • • j Q>nj) i ;ož dokazuje linearitu. Laplaceuv rozvoj determinantu V »eterminant je rovněž multilineární alternující unkce řádků matice a (protože r g Sn(i,j) <& a'1 e Sn(j, i)) pro i-tý řádek au,..., din) matice A její determinant má rozvoj e stejně definovanými koeficienty a^. Laplaceuv rozvoj determinantu VI Ivedený prvek äy nazývame algebraickým oplňkem prvku ay v matici A. Matici *- = {äij)nxn nazýváme maticí algebraických oplňků k matici A. "vržení 10.4.1 Nechť Aý- označuje matici řádu i - 1, /cřerá vznikne z matice A g Knxn ynecháním i-tého řádku a j-tého síoupce. °otom 7... — f_-i\i+j\ A ..I Laplaceuv rozvoj determinantu VII eterminanty matic, které vzniknou vynecháním lěkterých řádků a stejného počtu sloupců matice A e Knxn, nazýváme jejími minory, řípadně subdeterminanty determinantu I AI. Laplaceuv rozvoj determinantu VIII nxn rěta 10.4.2 (Laplaceova) Nechť A e K < k A < n. Potom = E?=i(-l)fc+i^;|A*j = Eľ=i(-inA,k/. Jvedené součty nazývame Laplaceovými "ozvoji determinantu |A| - první podle /c-tého ádku, druhý podle Mého sloupce. ýpočet determinantu I L0.5 Výpočet determinantu ,aždý determinant je multilineární alternující unkcí jak řádků tak i sloupců matice. Pravidla 0) Determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu jejích diagonálních prvků. ýpočet determinantu II (1) Výměnou pořadí dvou řádků nebo sloupců matice se hodnota jejího determinantu změní na opačnou. (2) Vynásobením nějakého řádku nebo sloupce matice nenulovým skalárem c e K sa její determinant změní na c-násobek původní hodnoty. (3) Připočtením skalárního násobku nějakého řádku I matice k jejímu jinému řádku, resp. násobku nějakého jejího sloupce k jinému sloupci se hodnota jejího determinantu nezmění. ýpočet determinantu III 4) Pokud matice obsahuje nulový řádek nebo »sloupec, případně dva stejné řádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. 5) Nechť všechny prvky i-tého řádku případně Íj-tého sloupce matice A s výjimkou prvku Oy jsou rovné 0. Potom 6) (In <2i2 0-21^12- ýpocet determinantu IV ypočítáme tzv. Vandermonduv determinant ádu n JL X\ X-t 1 X2 x\ Irp rp^ • • • *Aj n—1 ýpočet determinantu V »dečtením prvního řádku od všech ostatních ádků dostaneme VDn(a;i,X2 0 X2 — x\ x\ — x\ .71 — 1 rr.n — 1 _ ry,n—l ýpočet determinantu VI Jásledným rozvojem podle prvního sloupce ostaneme * ^Tí y«-*-' 1 5 "^2 ? • • • ) "^f idečtěme nyní od každého sloupce počínaje ruhým £i-násobek předcházejícího sloupce. ýpočet determinantu VI I determinantu, který získáme, je na místě (i, ;de 1 < i < n - 1, 1 < k < n - 1, prvek k-l .k-l 1 k-l ) — Xi+1 \xi+l ostupně nám vyjde VDn(x1,x2,...,xn) = X2—X\ X2(X2 - Xi) x2 \x2 — xl 1 TI \ y,Tl Z ( ™ ji %\) • • • *->\ ýpocet determinantu VIII 1 x2 jn-2 VDn(xi,x2,...,xn) = (x2 -xi) ...(xn-xi 1 x. rpTl — 2 (x2 - Xi) ... (xn - Xi) VDn_i(x2, , Xn ). odobně l—S Ví__1 \ *b 2 1 ' ' ' 1 TL ) ---- \ 3 0. I • • • \ *b • i JL"n. ) i i ^n atd. ýpocet determinantu IX ýsledek l<ídpovídajících si prvků fc-tých řádků obou matic itejné: ozvineme-li determinant matice B podle jejího -tého řádku, dostaneme nverzni matice a Cramerovo Drav. II] Spojení této rovnosti s Laplaceovym rozvojem determinantu matice A podle fc-tého řádku dává 0, pro i Jinak řečeno, nverzni matice a Cramerovo nrav. I\ nverzní matici k regulární čtvercové matici A )otom dostaneme tak, že transponovanou matici ejich algebraických doplňků vydělíme determinantem I AI. /ěta 10.6.1 Nechť A e Knxn je regulární matice. Dotom i 1 ~T A_1 = ^A . nverzni matice a Cramerovo Drav. V Příklad 10.6.2 Najděme inverzní matici k reálné matici Její determinant a matici algebraických doplňků vypočteme snadno: nverzni matice a Cramerovo Drav. VI nverzni matice a Cramerovo Drav. VI Věta 10.6.3 (Cramerovo pravidlo) Nechť A e Knxn je regulární matice, b e Kn a pro 1 < j < n nechť Aj označuje matici, která vznikne z matice A nahrazením jejího j-tého sloupce sloupcovým vektorem b. Potom soustava A • x = b má jediné řešení