Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty MB101 ­ 1. demonstrovaná cvičení Důkazy matematických tvrzení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20.2. 2007 Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty 1 Typy matematických důkazů Matematická indukce Důkaz sporem 2 Sumy 3 Počítání s procenty Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Princip matematické indukce Mějme tvrzení T(n) závislé na přirozeném číslu n. Pokud dokážeme 1 Pro nějaké přirozené k0 platí tvrzení T(k0), 2 Pro libovolné přirozené k k0 platí implikace T(k) T(k + 1), pak tvrzení T(n) platí pro libovolné přirozené n k0. Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Princip matematické indukce Mějme tvrzení T(n) závislé na přirozeném číslu n. Pokud dokážeme 1 Pro nějaké přirozené k0 platí tvrzení T(k0), 2 Pro libovolné přirozené k k0 platí implikace T(k) T(k + 1), pak tvrzení T(n) platí pro libovolné přirozené n k0. Poznámka. V bodě dva můžeme dokazovat i ,,slabší implikaci (Tk0 Tk0+1) Tk T(k + 1). Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Dokažte následující tvrzení: 1 n i=1 i3 = n2(n + 1)2 4 Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Dokažte následující tvrzení: 1 n i=1 i3 = n2(n + 1)2 4 2 Na kolik částí dělí rovinu n přímek? Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Dokažte následující tvrzení: 1 n i=1 i3 = n2(n + 1)2 4 2 Na kolik částí dělí rovinu n přímek? 3 Všechna přirozená čísla jsou si rovna. Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Důkaz sporem Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Dokažte, že existuje nekonečně mnoho prvočísel. Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty 1 Typy matematických důkazů Matematická indukce Důkaz sporem 2 Sumy 3 Počítání s procenty Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Sumy Aritmetická řada n i=1 ik = k n(n + 1) 2 Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Sumy Aritmetická řada n i=1 ik = k n(n + 1) 2 Geometrická řada (q = 0, 1): n i=0 qn = qn+1 - 1 q - 1 Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty 1 Odvoďte přímo vztah n i=1 i3 = n2(n+1)2 4 . Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty 1 Odvoďte přímo vztah n i=1 i3 = n2(n+1)2 4 . 2 Sečtěte 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + + 1 (n - 1)n Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty 1 Typy matematických důkazů Matematická indukce Důkaz sporem 2 Sumy 3 Počítání s procenty Typy matematických důkazů Sumy Počítání s procenty Příklad Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek by chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? (první splátku zaplatí hned při koupi)