Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB101 ­ 3. demonstrovaná cvičení Kombinatorika a konečná pravděpodobnost Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6.3. 2007 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Permutace, variace a kombinace bez opakování Permutace, variace a kombinace s opakováním Konečná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Sečtěte (pro n > 2) 1 1 3 + 1 2 4 + + 1 n(n - 2) Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Sečtěte (pro n > 2) 1 1 3 + 1 2 4 + + 1 n(n - 2) Řešení. Zlomek 1 n(n-2) rozložíme na parciální zlomky: 1 n(n - 2) = 1 2(n - 2) - 1 2n . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Sečtěte (pro n > 2) 1 1 3 + 1 2 4 + + 1 n(n - 2) Řešení. Zlomek 1 n(n-2) rozložíme na parciální zlomky: 1 n(n - 2) = 1 2(n - 2) - 1 2n . Celá řada se pak redukuje na 1 2 + 1 4 - 1 2n - 1 2(n - 1) = 3 4 - 2n - 1 2n(n - 1) . 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Sečtěte n i=0 2n + 1 i Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Sečtěte n i=0 2n + 1 i Řešení. Označíme-li součet jako S, pak 2S je s využitím identity 2n+1 k = 2n+1 2n+1-k roven 2n+1 i=0 2n + 1 i = 42n+1 , je tedy S = 4n. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli xn = xn-1 + 2(n - 1), dále x1 = 2, Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli xn = xn-1 + 2(n - 1), dále x1 = 2, tedy xn = n(n - 1) + 2. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Permutace, variace a kombinace bez opakování Permutace, variace a kombinace s opakováním Konečná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika různými způsoby může vypadat pořadí týmů v tabulce hokejové extraligy? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika různými způsoby může vypadat pořadí týmů v tabulce hokejové extraligy? Příklad Kolika způsoby lze vybrat z osmi obyvatel domu tříčlenný domovní výbor, který se skládá z předsedy, místopředsedy a pokladníka? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika různými způsoby může vypadat pořadí týmů v tabulce hokejové extraligy? Příklad Kolika způsoby lze vybrat z osmi obyvatel domu tříčlenný domovní výbor, který se skládá z předsedy, místopředsedy a pokladníka? Příklad Kolika způsoby můžeme vytvořit čtyři smíšené páry z deseti chlapců a osmi dívek? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolik existuje různých značek Morseovy abecedy délky nejvýše čtyři? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolik existuje různých značek Morseovy abecedy délky nejvýše čtyři? Příklad Kolika způsoby můžeme vytáhnout postupně všechny koule z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika způsoby můžeme mezi tři osoby rozdělit a) 7 stejných hrušek, Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika způsoby můžeme mezi tři osoby rozdělit a) 7 stejných hrušek, b) 7 stejných hrušek a 5 stejných jablek? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Kolika způsoby můžeme mezi tři osoby rozdělit a) 7 stejných hrušek, b) 7 stejných hrušek a 5 stejných jablek? Příklad Pro libovolné pevné n N určete počet všech řešení rovnice x1 + x2 + + xk < n v množině přirozených čísel. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet šest? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet šest? Příklad Hráč sází v ruletě pořád na černou. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jednu ze čtyř sázek? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet šest? Příklad Hráč sází v ruletě pořád na černou. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jednu ze čtyř sázek? Příklad Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, a) že první vytažená koule bude černá? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet šest? Příklad Hráč sází v ruletě pořád na černou. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jednu ze čtyř sázek? Příklad Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, a) že první vytažená koule bude černá? b) že pátá vytažená koule bude černá? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Vrhneme dvě šestiboké kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet šest? Příklad Hráč sází v ruletě pořád na černou. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jednu ze čtyř sázek? Příklad Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, a) že první vytažená koule bude černá? b) že pátá vytažená koule bude černá? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Šest lidí vhodí svoje peněženky do kloubouku a poté si každý vylosuje jednu peněženku zpět. Jaká je pravděpodobnost, že si nikdo nevylosuje zpět svoji peněženku? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý.