Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Drsná matematika I ­ 8. Demonstrované cvičení Determinanty Lenka Zalabová Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10. 4. 2007 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Obsah cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Determinanty Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Plán cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Determinanty Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Inverzní matice Vypočítejte inverzní matici A-1 k matici A = 1 4 -2 3 2 9 3 -2 -1 -6 -11 4 0 -1 -6 0 . Udělejte zkoušku. Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Inverzní matice Vypočítejte inverzní matici A-1 k matici A = 1 4 -2 3 2 9 3 -2 -1 -6 -11 4 0 -1 -6 0 . Udělejte zkoušku. A-1 = 154 -179 -205 235 -36 42 48 -55 6 -7 -8 9 1 -1 -1 1 . Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Lineární závislost a nezávislost Rozhodněte, zda následující vektory v R4 jsou lineárně závislé nebo nezávislé: v1 = 1 0 -2 3 , v2 = -1 3 0 0 , v3 = 2 0 1 1 , v4 = 1 6 -1 4 . Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Lineární závislost a nezávislost Rozhodněte, zda následující vektory v R4 jsou lineárně závislé nebo nezávislé: v1 = 1 0 -2 3 , v2 = -1 3 0 0 , v3 = 2 0 1 1 , v4 = 1 6 -1 4 . Lineárně závislé. Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Geometrická zobrazení 1 Najděte matici zobrazení v R3, které je rotací o úhel kolem přímky dané počátkem a vektorem v = 1 0 1 . Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Geometrická zobrazení 1 Najděte matici zobrazení v R3, které je rotací o úhel kolem přímky dané počátkem a vektorem v = 1 0 1 . 2 Najděte matici zobrazení v R3, které je zrcadlením podle roviny jdoucí počátkem a kolmé na vektor v = 1 3 0 . Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Plán cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Determinanty Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Něco málo o permutacích Určete počet inverzí a paritu permutace 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 7 9 8 6 5 3 4 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Něco málo o permutacích Určete počet inverzí a paritu permutace 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 7 9 8 6 5 3 4 2 = 1 2 3 . . . 2n - 1 2n 2n 2n - 1 2n - 2 . . . 2 1 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Členy determinantu 1 Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A = (aij ) řádu n, resp. s jakým znaménkem: 1 n = 6, a31a43a14a52a66a25 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Členy determinantu 1 Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A = (aij ) řádu n, resp. s jakým znaménkem: 1 n = 6, a31a43a14a52a66a25 2 n = 6, a13a24a41a56a65a22 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Členy determinantu 1 Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A = (aij ) řádu n, resp. s jakým znaménkem: 1 n = 6, a31a43a14a52a66a25 2 n = 6, a13a24a41a56a65a22 3 n = 8, a72a17a43a21a64a35a56 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Členy determinantu 1 Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A = (aij ) řádu n, resp. s jakým znaménkem: 1 n = 6, a31a43a14a52a66a25 2 n = 6, a13a24a41a56a65a22 3 n = 8, a72a17a43a21a64a35a56 2 Uved'te všechny členy determinantu dané matice A = (aij ) řádu 4, které obsahují prvky a12, a34. Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Saarusovo pravidlo Určete determinanty: 1 5 2 6 4 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Saarusovo pravidlo Určete determinanty: 1 5 2 6 4 2 3 -2 5 1 4 1 2 -3 4 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Výpočet z definice? Z definice determinantu určete: a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Opět Gaussova eliminační metoda Pomocí Gaussovy eliminační metody vypočítejte: 3 -2 1 -2 -3 -5 2 0 2 1 -2 -4 -1 0 3 1 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Výpočet pomocí Laplaceova rozvoje Pomocí Laplaceova rozvoje vypočítejte: 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Nejlepší je kombinace metod... Vypočítejte: 1 1 1 1 1 2 1 -2 3 -1 4 1 4 9 1 8 1 -8 27 -1 16 1 16 81 1 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Determinant a inverzní matice S použitím determinantu najděte inverzní matici A-1 k A = 1 0 1 2 1 0 1 1 1 . Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Matice obecného řádu Vypočítejte determinant matice řádu n 2: x y 0 . . . 0 0 0 x y . . . 0 0 0 0 x . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . x y y 0 0 . . . 0 x Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Další matice obecného řádu Vypočítejte determinant matice řádu n 2: 0 1 1 . . . 1 1 a2 1 0 . . . 0 0 a3 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... an 0 0 . . . 0 1 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Ještě matice obecného řádu Vypočítejte determinant matice řádu n 2: 1 2 3 . . . n - 1 n -1 0 3 . . . n - 1 n -1 -2 0 . . . n - 1 n ... ... ... ... ... -1 -2 -3 . . . -n + 1 0 Návrat k minulé sadě úloh Determinanty Něco na závěr... S použitím Cauchyovy věty vypočítejte: x1 - y1 x1 - y2 . . . x1 - yn x2 - y1 x2 - y2 . . . x2 - yn ... ... ... xn - y1 xn - y2 . . . xn - yn