4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Drsná matematika I ­ Demonstrované cvičení
6. Relace a zobrazení
Jaroslav Hrdina
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
20. 3. 2007
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Obsah cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Relace a zobrazení
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Relace a zobrazení
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Vlak s Těšína
Z Těšína vyjíždí vlak co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z
tohoto směru přijíždějí vlaky také každé půl hodiny. Předpokládám,
že vlaky se mezi dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychlostí
72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se
míjejí někde na trase. Hazardér Jarda si vybere jeden z těchto
vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu
z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je
pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné
než zmíněné vlaky na trati nejezdí).
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Vlak s Těšína
Z Těšína vyjíždí vlak co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z
tohoto směru přijíždějí vlaky také každé půl hodiny. Předpokládám,
že vlaky se mezi dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychlostí
72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se
míjejí někde na trase. Hazardér Jarda si vybere jeden z těchto
vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu
z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je
pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné
než zmíněné vlaky na trati nejezdí).
vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí
vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Vlak s Těšína
Z Těšína vyjíždí vlak co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z
tohoto směru přijíždějí vlaky také každé půl hodiny. Předpokládám,
že vlaky se mezi dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychlostí
72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se
míjejí někde na trase. Hazardér Jarda si vybere jeden z těchto
vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu
z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je
pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné
než zmíněné vlaky na trati nejezdí).
vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí
vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy.
Prostor všech možností je tedy úsečka 0, 1800s ,
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Vlak s Těšína
Z Těšína vyjíždí vlak co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z
tohoto směru přijíždějí vlaky také každé půl hodiny. Předpokládám,
že vlaky se mezi dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychlostí
72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se
míjejí někde na trase. Hazardér Jarda si vybere jeden z těchto
vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu
z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je
pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné
než zmíněné vlaky na trati nejezdí).
vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí
vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy.
Prostor všech možností je tedy úsečka 0, 1800s ,
prostor "příznivých" možností je úsečka délky 7,5 ležící někde
uvnitř předchozí úsečky.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Vlak s Těšína
Z Těšína vyjíždí vlak co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z
tohoto směru přijíždějí vlaky také každé půl hodiny. Předpokládám,
že vlaky se mezi dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychlostí
72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se
míjejí někde na trase. Hazardér Jarda si vybere jeden z těchto
vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu
z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je
pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné
než zmíněné vlaky na trati nejezdí).
vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí
vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy.
Prostor všech možností je tedy úsečka 0, 1800s ,
prostor "příznivých" možností je úsečka délky 7,5 ležící někde
uvnitř předchozí úsečky.
Pravděpodobnost uražení hlavy je tedy 7,5
1800
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Viditelnost
Určete, které neprůhledné strany konvexního čtyřúhelníka s vrcholy
[50, 120], [50, 40], [60, 100], [50, 120] osvětlí zdroj [10, 0].
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Viditelnost
Určete, které neprůhledné strany konvexního čtyřúhelníka s vrcholy
[50, 120], [50, 40], [60, 100], [50, 120] osvětlí zdroj [10, 0].
Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelníka (správné pořadí
vrcholů): [30, 30], [50, 40], [60, 100], [50, 120].
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Viditelnost
Určete, které neprůhledné strany konvexního čtyřúhelníka s vrcholy
[50, 120], [50, 40], [60, 100], [50, 120] osvětlí zdroj [10, 0].
Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelníka (správné pořadí
vrcholů): [30, 30], [50, 40], [60, 100], [50, 120].
Po spočítaní příslušných determinantů (viz. přednáška)
zjistíme že jsou vidět hrany [30, 30], [50, 40] a
[50, 120], [30, 30].
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Obsah čtyřúhelníka
Určete obsah čtyřühelníka s vrcholy [10, 0], [5, 13], [-2, 5], [0, -5]
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Obsah čtyřúhelníka
Určete obsah čtyřühelníka s vrcholy [10, 0], [5, 13], [-2, 5], [0, -5]
Rozdělíme na dva trojuhelníky a spočítáme pomocí vzorce s
přednášky
S =
1
2
det
12 -5
7 8
+ det
2 10
12 -5
=
241
2
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Relace a zobrazení
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(0).
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(0).
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(1).
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(0).
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(1).
M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci,
jestliže se neprotínají.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(0).
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(1).
M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci,
jestliže se neprotínají.
M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci,
jestliže jsou rovnoběžné.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(0).
M = {f : R  R}, (f  g)  f (0) = g(1).
M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci,
jestliže se neprotínají.
M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci,
jestliže jsou rovnoběžné.
M = N, (m  n)  S(m) + S(n) = 20, kde S(n) značí
ciferný součet čísla n.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Počet injektivních zobrazení mezi množinami
Určete počet injektivních zobrazení množiny {1, 2, 3} do množiny
{1, 2, 3, 4}.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Počet surjektivních zobrazení mezi množinami
Určete počet surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3, 4} na
množinu {1, 2, 3}.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Počet ekvivalencí na množině
Určete počet relací ekvivalencena množině {1, 2, 3}.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = R \ {0}, (a  b)  a
b  Q.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = R \ {0}, (a  b)  a
b  Q.
M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná
množina.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = R \ {0}, (a  b)  a
b  Q.
M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná
množina.
M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná
množina.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Ekvivalence ano či ne
Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace
ekvivalence:
M = R \ {0}, (a  b)  a
b  Q.
M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná
množina.
M = {X|X  N}, (X  Y )  (X  Y je konečná
množina.
M je množina čtvercových matic 2 × 2,
(A  B)  AB = BA.
4. sada úloh - řešení Relace a zobrazení
Středová souměrnost
Co vznikne složením dvou středových souměrností v rovině podle
různých středů? Co složením tří středových souměrností podle
různých středů? Obecně složením sudého či lichého počtu
středových symetrií? Odpovědi zdůvodněte.