Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Drsná matematika I ­ 9. Demonstrované cvičení Vektorové prostory Lenka Zalabová Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 4. 2007 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Obsah cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Vektorové prostory Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Plán cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Vektorové prostory Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Determinant Najděte determinant matice A: A = 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Determinant Najděte determinant matice A: A = 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 -18 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Další determinant Najděte determinant matice B2, kde: B = -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 1 -1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Další determinant Najděte determinant matice B2, kde: B = -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 1 -1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Cauchyova věta: 02 = 0 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Inverzní matice Pomocí determinantu najděte inverzní matici (eliminační metoda nebude uznána): 3 2 0 5 4 1 1 2 5 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Inverzní matice Pomocí determinantu najděte inverzní matici (eliminační metoda nebude uznána): 3 2 0 5 4 1 1 2 5 1 6 18 -10 2 -24 15 -3 6 -4 2 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Ješte determinant Najděte determinant matice řádu n 2: 1 - n 1 . . . 1 1 1 1 - n . . . 1 1 ... ... ... ... 1 1 . . . 1 - n 1 1 1 . . . 1 1 - n Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Ješte determinant Najděte determinant matice řádu n 2: 1 - n 1 . . . 1 1 1 1 - n . . . 1 1 ... ... ... ... 1 1 . . . 1 - n 1 1 1 . . . 1 1 - n 0 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Plán cvičení 1 Návrat k minulé sadě úloh 2 Vektorové prostory Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové prostory) Vektorovým prostorem V nad polem skalarů K je množina spolu s operacemi sčítání a násobení skalárem z K, pro které platí následující axiomy: Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové prostory) Vektorovým prostorem V nad polem skalarů K je množina spolu s operacemi sčítání a násobení skalárem z K, pro které platí následující axiomy: 1 (u + v) + w = u + (v + w) pro všechna u, v, w V 2 u + v = v + u pro všechna u, v V 3 existuje prvek 0 takový, že u + 0 = u pro všechna u V 4 ke každému u V existuje prvek -u V takový, že u + (-u) = 0 Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové prostory) Vektorovým prostorem V nad polem skalarů K je množina spolu s operacemi sčítání a násobení skalárem z K, pro které platí následující axiomy: 1 (u + v) + w = u + (v + w) pro všechna u, v, w V 2 u + v = v + u pro všechna u, v V 3 existuje prvek 0 takový, že u + 0 = u pro všechna u V 4 ke každému u V existuje prvek -u V takový, že u + (-u) = 0 5 a (u + v) = a u + a v pro všechna u, v V a a K 6 (a + b) u = a u + b u pro všechna u V a a, b K 7 a (b u) = (a b) u pro všechna u V a a, b K 8 1 u = u pro všechna v V Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové prostory) Vektorovým prostorem V nad polem skalarů K je množina spolu s operacemi sčítání a násobení skalárem z K, pro které platí následující axiomy: 1 (u + v) + w = u + (v + w) pro všechna u, v, w V 2 u + v = v + u pro všechna u, v V 3 existuje prvek 0 takový, že u + 0 = u pro všechna u V 4 ke každému u V existuje prvek -u V takový, že u + (-u) = 0 5 a (u + v) = a u + a v pro všechna u, v V a a K 6 (a + b) u = a u + b u pro všechna u V a a, b K 7 a (b u) = (a b) u pro všechna u V a a, b K 8 1 u = u pro všechna v V Z dřívějšího vlastně víme, že Rn a obecně Kn s operacemi po složkách tvoří vektorový prostor. Co nějaké jiné? Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Dokažte, že... Dokažte, že množina V = Mat2(R) všech reálných čtvercových matic řádu 2 s operacemi danými standardním maticovým sčítáním a násobením skalárem tvoří vektorový prostor nad R. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový prostor ­ ano či ne? Rozhodněte (=dokažte nebo vyvrat'te), zda množina V tvoří vektorový prostor nad K: Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový prostor ­ ano či ne? Rozhodněte (=dokažte nebo vyvrat'te), zda množina V tvoří vektorový prostor nad K: 1 K = R, V = R3 s operacemi x y z + x y z = x+x y+y z+z a k x y z = kx y z Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový prostor ­ ano či ne? Rozhodněte (=dokažte nebo vyvrat'te), zda množina V tvoří vektorový prostor nad K: 1 K = R, V = R3 s operacemi x y z + x y z = x+x y+y z+z a k x y z = kx y z 2 K = R, V = R+ s operacemi sčítání u v = u v pro u, v R+ (= V ) a násobení skalárem t u = ut pro u R+(= V ) a t R (= K) Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový prostor ­ ano či ne? Rozhodněte (=dokažte nebo vyvrat'te), zda množina V tvoří vektorový prostor nad K: 1 K = R, V = R3 s operacemi x y z + x y z = x+x y+y z+z a k x y z = kx y z 2 K = R, V = R+ s operacemi sčítání u v = u v pro u, v R+ (= V ) a násobení skalárem t u = ut pro u R+(= V ) a t R (= K) 3 K = R, V = {(x, y)T | x 0} se standardními operacemi (po složkách) Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Tohle něco připomíná... Definition (Lineární závislost a nezávislost) Necht' V je vektorový prostor nad K. Množina vektorů M V se nazývá linearně nezávislá, jestliže pro každou k-tici vektorů v1, . . . , vk M a libovolné skaláry a1, . . . , ak K platí: a1v1 + a2v2 + + akvk = 0 a1 = a2 = = ak = 0. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Tohle něco připomíná... Definition (Lineární závislost a nezávislost) Necht' V je vektorový prostor nad K. Množina vektorů M V se nazývá linearně nezávislá, jestliže pro každou k-tici vektorů v1, . . . , vk M a libovolné skaláry a1, . . . , ak K platí: a1v1 + a2v2 + + akvk = 0 a1 = a2 = = ak = 0. Množina vektorů M je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Lineárně závislé nebo nezávislé? Prostor V = R2[x] polynomů stupně nejvýše 2 se standardními operacemi tvoří vektorový prostor nad R. Rozhodněte, zda vektory 1 + x, 1 - x, 2 + x - x2 jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Lineárně závislé nebo nezávislé? Prostor V = R2[x] polynomů stupně nejvýše 2 se standardními operacemi tvoří vektorový prostor nad R. Rozhodněte, zda vektory 1 + x, 1 - x, 2 + x - x2 jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé vektory ( 1 1 2 2 ) , ( 2 2 1 1 ) , ( 1 1 1 1 ) z Mat2(R). Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové podprostory) Necht' V je vektorový prostor (nad K). Vektorový podprostor vektorového prostoru V je podmnožina U V , pro kterou platí: Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové podprostory) Necht' V je vektorový prostor (nad K). Vektorový podprostor vektorového prostoru V je podmnožina U V , pro kterou platí: u + v U u, v U r u U u U, r K 0 U Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Definition (Vektorové podprostory) Necht' V je vektorový prostor (nad K). Vektorový podprostor vektorového prostoru V je podmnožina U V , pro kterou platí: u + v U u, v U r u U u U, r K 0 U Tedy U je vektorovým prostorem nad K se zůženými operacemi z V . Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový podprostor ­ ano či ne? Rozhodněte, zda množina {( x1 x2 ) | x1 + x2 = 0} (prostor všech řešení 'soustavy' x1 + x2 = 0) je vektorový podprostor R2. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový podprostor ­ ano či ne? Rozhodněte, zda množina {( x1 x2 ) | x1 + x2 = 0} (prostor všech řešení 'soustavy' x1 + x2 = 0) je vektorový podprostor R2. Rozhodněte, zda množina {( x1 x2 ) | x1 0, x2 0} je vektorový podprostor R2. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Vektorový podprostor ­ ano či ne? Rozhodněte, zda množina {( x1 x2 ) | x1 + x2 = 0} (prostor všech řešení 'soustavy' x1 + x2 = 0) je vektorový podprostor R2. Rozhodněte, zda množina {( x1 x2 ) | x1 0, x2 0} je vektorový podprostor R2. Rozhodněte, zda množina f | g : f = g (x2 + 1) je vektorový podprostor prostoru všech polynomů R[x]. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Generování Theorem Podprostor vektorového prostoru V generovaný množinou M V je tvaru: [M] = {a1u1 + + akuk | k N, aj K, uj M, j = 1, . . . , k} Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Generujeme... Rozhodněte, zda vektory u1, . . . , u4 generují vektorový prostor R3 u1 = 1 0 1 , u2 = 1 1 1 , u3 = 1 1 0 , u4 = 0 1 0 . Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Generujeme... Rozhodněte, zda vektory u1, . . . , u4 generují vektorový prostor R3 u1 = 1 0 1 , u2 = 1 1 1 , u3 = 1 1 0 , u4 = 0 1 0 . Rozhodněte, zda vektor 1 0 7 náleží do 1 1 1 , 0 1 0 . Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Průniky a součty Je průnik vektorových podprostorů opět vektorový podprostor? Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Průniky a součty Je průnik vektorových podprostorů opět vektorový podprostor? ANO Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Průniky a součty Je průnik vektorových podprostorů opět vektorový podprostor? ANO Je sjednocení vektorových podprostorů vektorový podprostor? Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Průniky a součty Je průnik vektorových podprostorů opět vektorový podprostor? ANO Je sjednocení vektorových podprostorů vektorový podprostor? NE Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Průniky a součty Je průnik vektorových podprostorů opět vektorový podprostor? ANO Je sjednocení vektorových podprostorů vektorový podprostor? NE Definition Necht' S, T V jsou vektorové podprostory. Součet podprostorů je vektorový podprostor S + T = [S T] = {x + y | x S, y T}. Součet se nazývá přímý, jestliže navíc S T = {0}. Píšeme S T. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Rozhodněte, zda... Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda je součet S + T přímý. Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Rozhodněte, zda... Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda je součet S + T přímý. 1 V = R2 nad R, S = {(x, y)T | x = y}, T = {(x, y)T | x = -y} Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Rozhodněte, zda... Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda je součet S + T přímý. 1 V = R2 nad R, S = {(x, y)T | x = y}, T = {(x, y)T | x = -y} 2 V = R3 nad R, S = {(x, y, z)T | x - 2y - 3z = 0}, T = {(x, y, z)T | x = z} Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Rozhodněte, zda... Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda je součet S + T přímý. 1 V = R2 nad R, S = {(x, y)T | x = y}, T = {(x, y)T | x = -y} 2 V = R3 nad R, S = {(x, y, z)T | x - 2y - 3z = 0}, T = {(x, y, z)T | x = z} 3 V = R3 nad R, S = {(x, y, z)T | x = y = 0}, T = {(x, y, z)T | y = z = 0} Návrat k minulé sadě úloh Vektorové prostory Rozhodněte, zda... Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda je součet S + T přímý. 1 V = R2 nad R, S = {(x, y)T | x = y}, T = {(x, y)T | x = -y} 2 V = R3 nad R, S = {(x, y, z)T | x - 2y - 3z = 0}, T = {(x, y, z)T | x = z} 3 V = R3 nad R, S = {(x, y, z)T | x = y = 0}, T = {(x, y, z)T | y = z = 0} O jaké podprostory se jedná?