Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Drsná matematika I ­ 8. přednáška Lineární zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 4. 2007 Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Obsah přednášky 1 Literatura 2 Lineární zobrazení 3 Opět souřadnice 4 Více souřadnic Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Lineární zobrazení 3 Opět souřadnice 4 Více souřadnic Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího přednášejícího, GOOGLE, atd. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího přednášejícího, GOOGLE, atd. Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta. Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. František Šik, Lineární algebra zaměřená na numerickou analýzu, MU, 1998, 176 s. ISBN 80-210-1996-2. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Lineární zobrazení 3 Opět souřadnice 4 Více souřadnic Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: 1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V 2 f (a u) = a f (u), a K, u V . Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: 1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V 2 f (a u) = a f (u), a K, u V . Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: Kn x A x Km s maticí typu m/n nad K. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Obraz Imf := f (V ) W je zjevně vektorový podprostor. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker f := f -1({0}) V . Nazývá se jádro lineárního zobrazení f . Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Obraz Imf := f (V ) W je zjevně vektorový podprostor. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker f := f -1({0}) V . Nazývá se jádro lineárního zobrazení f . Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus. Theorem Nechť f : V W je lineární zobrazení. Pro všechny u, u1, . . . , uk V , a1, . . . , ak K platí: 1 f (0) = 0 2 f (-u) = -f (u) 3 f (a1 u1 + + ak uk) = a1 f (u1) + + ak f (uk) 4 pro každý vektorový podprostor V1 V je jeho obraz f (V1) vektorový podprostor ve W . 5 Pro každý podprostor W1 W je množina f -1(W1) = {v V ; f (v) W1} vektorový podprostor ve V . Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Jednoduché důsledky 1 Složení g f : V Z dvou lineárních zobrazení f : V W a g : W Z je opět lineární zobrazení. 2 Lineární zobrazení f : V W je izomorfismus právě když Im f = W a Ker f = {0} V . Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. 3 Pro podprostory V1, V2 a lineární zobrazení f : V W platí f (V1 + V2) = f (V1) + f (V2), f (V1 V2) f (V1) f (V2). 4 Zobrazení "přiřazení souřadnic" u : V Kn dané libovolně zvolenou bází u = (u1, . . . , un) vektorového prostoru V je izomorfismus. 5 Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. 6 Složení dvou izomorfismů je izomorfismus. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Lineární zobrazení 3 Opět souřadnice 4 Více souřadnic Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Uvažujme libovolné vektorové prostory V , W nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení f : V W . Pro každou volbu bází u = (u1, . . . , un) na V , v = (v1, . . . , vn) na W , máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic: V f // u W v Kn fu,v // Km Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bazemi, a za f identické zobrazení, vyjadřuje náš postup vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u u = x1u1 + + xnun v souřadnicích vzhledem k u a dosadíme za ui , obdržíme souřadné vyjádření x téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přeskládat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Podle výše uvedeného postupu musí vyjít x = T x. Tuto matici nazýváme matice přechodu od báze u k bázi v. Matice T zadávající transformaci souřadnic z báze u do báze v je tedy maticí identického zobrazení idV : V V : V idV // u V v Kn (idV )u,v // Kn Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Theorem Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Theorem Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Lineární zobrazení 3 Opět souřadnice 4 Více souřadnic Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Nyní snadno vidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : W Z a označme příslušnou matici gv,w . Pro matice těchto zobrazení dostáváme čímž jsme odvodili: gv,w fu,v (x) = B (A x) = (B A) x = (g f )u,w (x) pro všechny x Kn. Všimněte si, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V idV // u V f // u W idW // v W w Kn T // Kn fu,v // Km S-1 // Km kde T je matice přechodu od u k u a S je matice přechodu od v k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A = S-1AT. Literatura Lineární zobrazení Opět souřadnice Více souřadnic Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V idV // u V f // u W idW // v W w Kn T // Kn fu,v // Km S-1 // Km kde T je matice přechodu od u k u a S je matice přechodu od v k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A = S-1AT. Ve speciálním případě lineárního zobrazení f : V V vyjadřujeme zpravidla f pomocí jedné báze u prostoru V , to je přechod k nové bázi u bude znamenat změnu na A = T-1AT.