MB102 Matematika II domácí úkoly DU 1 1. Najděte polynom, který prochází body [-1,2], [0,1], [1,0], [2,5]. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 2=-a+b-c+d 1 = d 0=a+b+c+d 5 = 8a + 4b + 2c + d dosazením d = 1 (viz 2. rovnice) do zbývajících rovnic dostáváme: ffx) = x3 - 2x + 1 í-1 1 -1 1] rl 1 1 _1] b = 0 1 1 1 -1 " 0 2 0 0 c = -2 a = 1 {ö 4 2 4 v0 12 -6 12 d = 1 nebo (Lagrangeuv interpolační polynom) fix) = 2 (x-0)(x-l)(x-2) |t (x-(-l))(x-l)(x- ■ + 0-... + 5- (x-(-l))(x-0)(x-l) . l-0)(-l-l)(-l-2)- (0-(-l))(0-l)(0-2)- -- (2-(-l))(2-0)(2-l)-|x(x2 - 3x + 2)+ {(x2 - l\x - 2) + |x(x2 - l)= -|(x3 - 3x2 + 2x)+ {(x3 - 2x2 - x + 2)+ f-(x3 - x fx 2x + l 2. Najděte polynom, pro který platí: P(2) = 5, P(4) = 21, P'(-2) = -7. P(x) = ax2 + bx +c 5 = 4a + 2b + c 21 = 16a + 4b + c P'(x) = 2ax + b -7 = -4a + b 4 2 1 5] f 16 4 1 21 ~ -4 10 -7 v 2 4 3 1 3 1 5^ ( 1 2 4 2 1 5) 0 -4 -3 1 0 0 -5 -5 c = 1 b = -1 a = 3/2 ffxl = 3/2x2 - x + 1 3. Rozložte na parciální zlomky x2 + 4x + 3 a)-(x-l)(x* + 3) x2+4x + 3 _^+Bx±C /.(^W^ x-l)x2+3 x-1 x2+3 - x2 - 4x - 3 = A(x2 + 3j+ (Bx + C)(x - l) - x2 - 4x - 3 = Ax2 + 3A + Bx2 - Bx + Cx - C x2 : -1 = A + B x: -4 = -B + C k : - 3 = 3A - C íl 1 0 _1] '1 1 0 _1] f\ 1 3 0-1 -3 ~ 0 -3 -1 0 ~ 0 -1 0 -1 1 v -4 0 v -1 1 -4 0 v 0 - x2 - 4x - 3 > — + x-3 lx2+3 1 x2+3 -ŕ -4 12 c = -3 b = 1 a = -2 b) -2x2+10x + 13 x3 + 4x2 -3x-18 Nejprve je potřeba rozložit jmenovatele. Na první pohled nelze nic vytknout. Jedná se o polynom 3. stupně - první kořen je potřeba prostě uhádnout :-). Je to číslo 2 (protože po dosazení čísla dva vyjde 0). Z toho plyne, že jmenovatel je dělitelný výrazem (x-2). Provedeme písemné dělení: xJ +4x^ -3X-18 : x-2 =x^ +6X + 9 x3-2x2 6x2 -3x- -18 -(6x2 -12x) 9x- 18 -(9x -18) -2x2+10x + 13 -2x2+10x + 13 -2x2+10x + 13 x3 + 4x2 3X-18 2)(x + 3) .: - 2)(x2 + 6x + 9 - 2x2 + lOx + 13 = A(x + 3)2 + B(x - 2)(x + 3) + C(x - 2) -2x2 +10x + 13 = a(x2 +6x + 9)+b(x2 +x-ô)+C(x-2) x2 : -2 = A + B x: 10 = 6A + B + C k: 13 = 9A-6B-2C ■2 x + 3 (x + 3) /•(x-2)(x + 3) íl 1 0 -2^ íl 1 0 -2^ (1 1 6 1 1 10 ~ 0 -5 1 22 ~ 0 -5 9 -6 -2 13v 1° -15 -2 31v 1° 0 -2x2 +10x + i: 3 1 3 7 0 1 -2^ 22 35 x3 + 4x2 -3x-18 2 x + 3 (x + 3) c = 7 b = -3 a = 1 2 DÚ 2 1. Najděte infimum a supremum množin a) A = (-2,16] - {0} b) B = í^^nEN O- -2 -o- 0 16 inf A = -2 sup A = 1£ 2, n 3 4^ 1001 2'3'4''"'1000 inf B = 1 sup B = 2 2. Vypočtete limity a) lim x + 4 b) Mm x^i (X _ 2)6 3x-l x1»* x(x - 2)5 5 1 + 0 5 0 pro obě jednostranné limity .. 3x-l .. hm----------hm lim x ^2 X x^2(x-2)5 2 x^2(x-2)5 5 1 +CX. pro limitu zprava, — •—- = -°° pro limitu zleva 2+0 2-0 limita neexistuje ... x2 - 6x + 8 c) hm^-------------- x->4 x - 5x + 4 x2 - 6x + 8 d) Mm x->°° x - 5x + 4 0 .. (x-4)(x-2) .. x-2 4-2 2 — = hm---------—-------- = hm-------=-------= — 0 x^4 (x-4)(X-l) X44X-1 4-1 3 vydelime nejvyssi mocninou vyskytujici se ve jmenovateli(cili dole : -) 1-6+JL 2 1-0 + 0 lim x-x-l-l + A. 1-0 + 0 x x2 e) Mm x3 - x2 - x + 1 ° x2(x - 1) - (x - 1) x->i x + x - 2 Nm x^l (x - l)(x^ + x + 2) Nm x^l (x - l)(xz - 1) (x-l)(x2 +X + 2) Nm x2-l 1-1 0 x^l v2 x + x + 2 1+1+2 4 f) Mm cos x- sinx x_»£ COS2x 4 V2__ V2. n 2 2 u cos2x 0 0 lim ,. cosx-sinx cosx + sinx ,. cos2x-sin2x hm-------------------------------------= hm x^n cos2x cosx + sinx x^n cos2x(cosx + sinx) 4 4 1 1 1 V2 x^£ cos2x(cosx + sinx) X'_^'A cosx + sinx VI+VI ^2 _?_ g) Mm a/x2 + 3x Nm a/í+| _ Ví+~o_ i x^°° $2x3 - 2x h) Mm(Vx2 + x +1 - Vx2 - 4x + 1) X-»oo x2 + x + 1 - (x2 - 4x + 1) — fZT 3^0 k» — °o = lim Vx2 + x + 1 - Vx2 - 4x + 1 Vx2 + x + 1 + Vx2 - 4x + 1 1 Vx2 + x + 1 + Vx2 - 4x + 1 lim lim 5x lim x^Vx2+x + l+Vx2-4x + l x^Vx2+x + l + Vx2-4x + l x^ ^1 + 1 + ^ + ^1-^ + ^ 1 + 1 2 i) Mm(Vx2+7 + Vx2-1) = |°o +, ■ OO ZZ oo „ .. sin6x-ln(9x + l) + e2x-l .. fsinôx ln(9x + l) e2x - O j) Mm------------------------------------------= = hm v ' ■ x->o 3x x^0 lim x^O rsin6x _ ln(9x + l) _ e2x-l ~ŕ 2---------------3 + 6x 9x 2x 3 3x = 1-2-1-3 + 1 3x 3x 2 1 3 DÚ 3 1. Najděte body nespojitosti a určete jejich druh. x3-x2 x2(x-l) a) f(x)= x-1 Nm x2(x-l) x->l x-1 limx X->1 X-1 2-l f(x) není v bodě x0 = 1 definována a existuje vlastní limita, která se nerovná funkční hodnotě => x„ = 1 ... nespoiitost odstranitelná b) f(x)= ln(x + l) .. ,, . .. In(x + 1) . hm f(x) = hm —-------- = 1 x^0+ x^0+ X .. ,, . .. In(x + 1) . hm f(x) = hm —-------- = -1 x-»0~ x-»0~ — x f(x) není v bodě x0 = 0 definována a neexistuje vlastní limita. Existují pouze obě vlastní jednostranné limity, které se však nerovnají => x„ = 0 ... nespoiitost 1. druhu c) f(x) = ex3 lim f(x) = lim ex 3 x^3+ x^3+ lim f(x) = lim ex 3 x^3 x^3 e+ü f(x) není v bodě x0 = 3 definována a neexistuje vlastní limita. Jedna z jednostranných limit je dokonce nevlastní => Xq = 3 ... nespojitost 2. druhu 2. Nalezněte derivaci funkce a) y = x + —=- - In x = x + 3x - In x x= 7 i c,,-6 y' = 8x7-15x A = 8x?-A5 1 b) y = (x4 - 2x) • sin x y' = (4x3 -2)sinx + (x4 -2x)cosx c) y sin2x , _ 2cos2x x3 -sin2x 3x2 _ 2x3 cos2x-3x2 sin2x ' ~ (x3)2 x6 d) y 1 + x 1-x3 3 í 1 + X 1-x3 1 3 A3 ^1 + x3^ 1-x3 3 3x2(l - x3) - (1 + x3)(-3x2) _ 1 (1 - x3)3 3x2 - 3x5 + 3x2 + 3x5 (1-x3)2 3 ^ (1 + x3)3 (1-x3)2 1 1 6x2 2x2 2x2 3(l + x3)3 (1-x3)3 (l + x3)3(l-x3)3 # + x3)2(l-x3)4 . 1. x2-l e) y = ^rln 2 4 x2 +1 , _ 1 1 2x(x2 + 1) - (x2 - 1) • 2x _ 1 x2 + 1 2x3 + 2x - 2x3 + 2x 4 x2-l x2 +1 2 , 1\2 (x2 + 1) 4 x2-l 2 , 1\2 (x2 + 1) f) y = VsinVx f 1^2 sin(x)2 v / 2 y' = — sinVx 2 cosVx —x 2 cos Vx" cosVx 4VsinVx-Vx 4vxsinVx g) y = x tg(ln(x)) y' = 1 • tg(lníx)) + x-------_, , „ • — = tg(lníx)) +-----_, , v v w; cos2(ln(x)) x av v 77 cos2(ln(x) h) y4 + cotgy + sin3 5x = O 4y3.y' 1 -' . ?~i-2 , y' + 3sin2 5xcos5x-5 = 0 sin^ y ' /1w3 /• 4y . 2 sin y -15sin2 5xcos5x 15sin2 5xcos5x _ 15sin2 5xcos5xsin2 y 4y3-TT12 4y3 sin2 y-1 sin y 3) Napište rovnici tečny funkce v daném bodě a) f(x) = tgx + x3 + 2, A = [0,?] ... A = [0,2] f'(x) COS X + 3x2 k = f (0) = 4" + 3 • O2 = 1 t: y = kx + q t:y = x + 2 y = x + q 2 = 0 + q q = 2 b) f(x) = sinx, A = [f,?] ... A = [f,i] f'(x) = cosx t:y = kx + q t:y = #x + (i-# k = f (f) = # " == y = ^-x + q 1. — *3 jL -t- n 2 _ 2 6 "•" H DÚ 4 1. Vypočtete limity a) lim Inx x->o+ ln(sinx) L.P. lim lim smx x-0+^.cosx *-°+xcosx sinx L.P. cosx lim x^o+cosx-x sinx 1-00 b) lim x^-7x x->~x -15x + 6 LP- ,. 2x - 7 lim c) lim x-»0 1 1 ^x ex-lj oo — oo x^~3x2 -15 .. ex-l-x lim —i--------- x^o x(ex -1 TT L.P. 2 = lim — x^oo 6x d) lim -X 2\ 2 J tgx = ||0 -ooll = lim x^ J^ L.P. 0 o lim LP-.. ex - 1 lim x^o ex -1 + xex -1 L.P. lim--------------------= — x^o ex + ex + xex 2 1 .—= lim------=---------------= limsimx = l 1 1 x->f cos2 X 1 x^f e) lim'yři = limnn = ||oo"|i = e n i- 1 i lir. II i- lnn lim —lnn = 0 °° = lim — n^o„ n " " n^o„ n tgx i i tg2x cos2 X Sjn2 x cos2 x q m In lim nn limln(nn) lim-lnn L.P 1 -i lim -a. = lim - = 0 =s> lim q/ň = e° = 1 n^oo 1 n^oo n n^oo ~ / \mi-r,2v II II lnlim(cosx)cotg2x lim ln(cosx)cotg2x lim cotg2xln(cosx) f) lim(cosx)cot9 x= r =e *v = e*-° = e*-° x-»0 II II i- 4- 2 i / \ II nil i- In(COSx) lim cot g x • In cos x = °o . o = lim —^-------'- x^O ' II II x^0 l cotg2x L.P. lim x^O COSX smx cotg3x l sin2 x . 3 cos x ■ 2 4. 3 -smJ x--------=— 2 * .. -sinx-sin x-cotg x .. sin3 x .- -cos x 1 lim-----------------------------—= lim--------------bl" x = lim------------= — x^o 2 cosx x^o 2 cosx x^o 2 2 limicosx x^O ptg x _ _ 2 ^ i \<=,r.„ II nil In lim(l-cosxfnx lim Iníl-cosxfnx lim sinxln(l-cosx) g) lim(l-cosx)sinx= 0° =e *-° = e*-° = e*-° x-»0 II II i- i u \ iin n i- Infi-cosx) lim sin x • lni - cos x = 0 • °°\\ = lim —^—--------'- x^O " " x^O 1 L.P. 1 - COS X smx lim sin3 x lim sin3 x LP- lim sinx 3sin2 x cosx lim x^o 1 cosx x^O (1-cosx)cosx sin2 x .. 3sin2xcosx .. 3sin x cosx 0 ., lim —--------—----------v = lim ——------------= —r = 0 x^o -cosx + cos2 x x^o sinx-2cosx-sinx x^o sinx (1-2cosx) x^o l-2cosx -1 lim(l-cosx)sinx=e°=l x->0 - 2. Určete, kde funkce klesá a roste, určete její lokální extrémy a definiční obor. a) y = ex ~"x D(f) = R y' = ex3-12x . (3x2 -12) = 3ex3"3x <-2 = 3ex3-3x-(x-2)(x + 2) b) y = 3x4+4x3-36x2-7 D(f) = R x^ -4 y' = 12x3 + 12x2 - 72x = 12x(x2 + x - 6 = 12x(x-2)(x + 3) x - 2 - - + x + 2 - + + ---------1-----------------1-------- y' + - + / max \ min / x x - 2 x + 3 + + + - + + + -3 0 2 y' - + - + \ min / max \ min / DÚ 5 Vyšetřete průběh funkcí: A) y = 2x ex 1) D(f) = R f (-x) = -2x • e x = - 2x ex ani sudá ani lichá 2) Kladná, záporná ex... vždy >0 2x + + 3) Rostoucí, klesající, extrémy y' = 2ex + 2xex = 2ex(x + 1) x + 1 - + \ min + 4) Konvexní, konkávni, inflexní body y" = 2ex(x + 1) + 2ex = 2ex(x + 2) x + 2 + n -2 inf + u 5) Asymptoty BS ... neexistují ffx) 2xex li n SS a = lim -^—^ = lim-------= lim 2ex = 2e°° = «>=> asymptota bez směrnice pro °o neexistuje ■ ■ f(x) , lim -^—^ = lim x 2xex lim 2ex = 2e"~ =20=0 x-»-°° II II b = lim (f(x) - a x) = lim 2xex = lloo. Oil = lim X->-oo X->-oo " " X->-oo Q 2x L.P. lim lim (-2ex) = II- 2 - Oil = 0 asymptota se směrnicí pro -°o je y = 0 (tedy osa x) 7 B) y = x ex 1) D(f) = R - {0} f(-x) = -x • e x =s> ani sudá ani lichá 2) Kladná, záporná ex... vždy >0 x - + + 3) Rostoucí, klesající, extrémy - f n ér, n éx-i y = ex +xeJ x - i x V X y 1-- v xy x + + + -o- 0 + + \ min y 4) Konvexní, konkávni, inflexní body + n + u 5) Asymptoty BS lim xex = 0 • e+" = 0 • °o = Nm -V x^0+ II II x^0+ 1 L.P. Nm x^0+ lime" =oo^x = 0 asymptota BS x^0+ Nm xex = O-e-" =00=0 x-»o~ II II SS a = Nm M = |jm 2^1 = |jm ex = e° = 1 x^±»j x x^±»j x x^±»j b = lim(f(x)-ax) = Nm X-»±°° X->±o» =^> asymptota se směrnicí pro ±°o je y = x + 1 ŕ i \ xex -x v / f i ^ lim x ex -V -1 lim - H-L.P. ex -1 ° 1 x lim lim ex =e° =1 B - 2 - 1> C) y = arctg 2-x 1) D(f) = R - {2} f(-x)= arctg 2 + x ani sudá ani lichá 2) Kladná, záporná y = arctgx má takové znaménko jako x x 2-x + + + + -o- 2 + 3) Rostoucí, klesající, extrémy 1 2-x-x(-l) 1 + 2-x 2 , „2 (2 - xy (2 - xy + x 2x -4x + 4 x - 2x + 2 Čitatel i jmenovatel zlomku vždy kladný =^>fce poroste v každém bodě definičního oboru 4) Konvexní, konkávni, inflexní body ,2 ->„, ,v2 ,-,„ ^ 2(1 -X) -(x2 - 2x + 2)-l (2x - 2) (x2 - 2x + 2)2 1 - x + + u inf n 5) Asymptoty BS lim arctg------- x^2+ 2-x Nm arctg------- x^2 2-x arctg—- = arctg(-°°) 2 arctg— = arctg(°°) + 0 Tí 2 asymptoty bez směrnice neexistují SS a = lim M = lim--------2^- x^±»j x x^± arctg(-l) 0 b= lim(f(x)-ax) = Nm arctg-------= arctg(-l) = - — x->±o» x->±o» 2 — x 4 asymptota SS pro +°o je y pozn.: při výpočtu a i b se využije: Nm x^±- 2-x L.P. I = Nm — = -1 x-»±°° _ ]_ DU 6 1. Číslo 100 rozdělte na dvě čísla tak, aby součet jejich druhých mocnin byl minimální 100 = a + b y = a2 + b2 = a2 + (100 - a)2 = 2a2 - 200a + 10000 y' = 0 4a - 200 = 0 y" = 4 a = 50 ^> b = 50 y"(50) = 4 >0 ^minimum 2. Do půlkružnice o poloměru 3 cm vepište obdélník o co největším obsahu y' = 0 i 2-V9-X2 + 2x|(9-x2) 2(-2x) = 0 S = 2 x y y = 2xa/9 - x2 2x2 2a/9 - x2 .-------- V9-X2 2(9-x2)-2x2 0 V9-X2 0 18-4x2 V9-X2 18-4x2 =0 2x2 =9 3 V2 0 8x • V9 - x2 - (18 - 4x2) • i (9 - x2) 2 (-2x) - 8x(9-x2) +18x-4x3 x(4x2 - 54) 9-x2 i(4W-54) *(-36) *(-36) 3 2 V y"(^_) - ^ ' ^ (9-feh1 iíř l-t 36 9. 2 (9-x2) -8 < 0 ^> maximum (9-x2) 3 212 3. Zintegrujte /x - 5x + 1 ■)/ 3x r i A 2 5x 1 + XXX . 1 r x2 5x 1 . Ir dx =-------------+ - dx = - ^ J Y Y Y ^ ■> \ ( 1 5 + dx / 1 2 5x + Inlxl + C: - 2-v/x - 5x + Inlxl + c 6x2 - 24 3x2 +12 b) f^r----------------dx = -2ľ—--------------dx = (derivacespodku = vrchl = — 2Inlx3 + 12x + 7| + c Jx3+12x + 7 Jx3+12x + 7 ' ' I I c) J5xsinxdx u = 5x u' = 5 v' = sinx v = -cosx -5x cos x - ľ - 5 cos xdx =-5xcosx + 5 sin x + c d) j(x2-3)exdx u = x2 - 3 u' = 2x (x2-3)ex-J2xexdx u = 2x u' = 2 (x2 - 3)ex - (2xex - j" 2ex) = (x2 - 3)ex - 2xex + 2ex + c = ex(x2-2x-l) + c e) ľ x4 Inxdx f) Jex cosxdx u '-v4 -x u = x5 = 5 x5 v = lnx v' _ 1 x 5 u = ex u' = ex v' = cos x v = sinx x i r x 1 . x5 . h 4, x5 . x5 — In x-------dx = — In x— x4dx = —In x------+ c c; J c; y c; c; J c or 5 X 25 ex sinx-ľex sinxdx v = sinx v = -cosx = ex sinx-(-ex cosx-ľ-ex cosxdx)= ex sinx + ex cosx-ľex cosxdx í> f ex cos xdx = ex sin x + ex cos x - ľ ex cos xdx 2 ľ ex cos xdx = ex sin x + ex cos x r ex J ex cos xdx = — (sin x + cos x) + c g) J6x2ex3dx t = xj dt = 3x2dx 2dt = 6x2dx fet2dt = 2et+c = 2ex3 +c h> Í7^Tdx J Vi - x6 t = x3 dt = 3x2dx f^ Vi-t2 dt = arcsint + c = arcsinx3 +c .. f(l + lnx)5 . rl,. . ,5 . i) -----------í-dx = — (l + lnx)bdx J V J Y t = l + lnx dt = -dx x fťdt = V + c = -^(l + lnx)5+c j) JcosxVsinxdx t = sinx dt = cosxdx jVtdt = jt2dt = ^- + c sm^ x + c 11 DÚ 7 Zintegrujte: DJ 2x2+llx + 32 x3 + 3x2 + 6X-10 dx 2x2 + llx + 32 2x2 + llx + 32 A Bx + C ■ + ■ x3 + 3x2 + 6x-10 (x - l)(x2 + 4x + 10) x - 1 x2 + 4x + 10 2x2 + 1 lx + 32 = A(x2 + 4x + 10) + (Bx + C)(x - 1) 2x2 + 1 lx + 32 = A(x2 + 4x + 10) + B(x2 - x) + C(x - 1) x2 : 2 = A + B x: 11 = 4A-B + C k: 32 = 10A-C A = 3,B = -l,C = -2 /•(x-l)(x2 +4X+10) 1 x2+4x + 10 dx oii ni r x + 2 . _. i H|lr 2x + 4 . 3 Inx -1 - —;---------------dx = 3 Inx -1 — —---------------dx 1 ' Jx2 + 4x + 10 ' ' 2Jx2 + 4x + 10 3ln|x-l|-yln(x2 +4x + 10) + c 3x3 + 2x2 - 68x - 8 2) f JX +*< } J(x + 2)2( x2 -6X + 12) dx 3x3 + 2x2 - 68x - 8 A B Cx + D ,, _.2, 2 . , _. ----------ň—ň----------------=------^ +----------t + ^--------------- /(x + 2f(x -6x + 12) (x + 2)2(x2-6x + 12) x + 2 (x + 2)2 x2-6x + 12 3x3 + 2x2 - 68x - 8 = A(x + 2)(x2 - 6x + 12) + B(x2 - 6x + 12) + (Cx + D)(x + 2)2 3x3 + 2x2 - 68x - 8 = A(x3 - 4x2 + 24) + B(x2 - 6x + 12) + C(x3 + 4x2 + 4x) + D(x2 + 4x + 4) x3 : 3 = A + C x2 : 2 = -4A + B + 4C + D x: -68 = -6B + 4C + 4D k: -8 = 24A + 12B + 4D A = 0,B = 4,C = 3,D = -14 \(-^+ 23x-14 V=t=x+2 J^(x + 2)2 x2-6x + 12j dt = dx 4[t2dt + j[ 22x"6 dx-f-.—* f (2x - 6) - 5 dx 2 J x2 - 6x 4 3 - + ^ln(x2-6x + 12)-^f t 2 3J ôx + 12 dx 4f4dt+f^ J ť J x2 -ôx + 12 dx = 4 — + -ln(x2- ôx + 12) -5f-------\— - 1 2 J (x - 3)2 +: dx x-3 + i x-3 ds = —i= dx -» VŠds = dx Vš ------- + — ln(x2 -6x + 12)- — V3ľ—5------ds =---------- + — ln(x2 - 6x + 12) - —^arctgs + c x+22 3 J s + 1 x+22 J3 -------+ —ln(x2 -6x + 12) —;=arctg—;^ + c x + 2 2 V3 V3 3>J 3x3 + x2 +4x-6 x3 - 2x2 - 3x 7x2+13x-6 7x2+13x-6 dx = |vydelime| = j" 3 7x2 +13X-6 2x2-3x x(x2-2x-3) x(x + l)(x-3) 7x2 + 13X-6 - 2x2 - 3x A B — +--------- x x + 1 A dx x-3 7x2 + 13x - 6 = A(x + l)(x - 3) + Bx(x - 3) + Cx(x + 1) 7x2 + 13x - 6 = A(x2 - 2x - 3) + B(x2 - 3x) + C(x2 + x) x2: 7 = A + B + C x: 13 = -2A-3B + C k: -6 = -3A A = 2,B = -3,C = 8 /•x(x + l)(x-3) J' 2 — 3 8 + — +-------+-------|dx = 3x + 2 ln|x| - 3 ln|x +1| + 8 ln|x - 3| + c x x + 1 x-3, 4) J 7x2 + 15x + 4 4x + 5 dx = |vyde Nm e| = ľ x2 + 3x + 4x + 5 3 2 X _ x ^r- + 3—- + 3 2 «f (x - 2)2 + 1 dx t = x-2 dt = dx x3 3x2 J ť + i dt dx x 3x — + ^— + 4arctgt + c 3 2 x 3x — + — + 4arctg(x - 2) + c DÚ 8 1. Vypočtete obsah plochy ohraničené křivkami x = — / • x X x2-l = 0 X = -1 V X = 1 1 Si = j"(x-0)dx = o 2 2-°=2 S2 = j(--0)dx = [ln|x|J =ln2-lnl = ln2-0 = ln2 S = Si +S2 =y + ln2 b) y = x2 - 5, y = -x2 + 3, y = 3x -1 (tu část, která obsahuje počátek souřadnic) 4 - / y = 3x-l y = -K2 + 3 2 ■ 1 ■ S2 VÍ / 1 0 / 1 \2/ A Sl -1 y f-2 ■ y = x2-s\ / -3 ■ / -4 - -6- c c c 10 22 32 .. 2 S = Si + S, = — + — = — = 10 4 x2 - 5 = -x2 + 3 x2 - 5 = 3x - 1 x2 + 3 = 3x - 1 2x2 =8 x2 =4 x = +2 x2 - 3x - 4 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 x = -1 v x = 4 x = l v x = -4 Si = J[(-x2 + 3) - (x2 - 5)]dx = J(-2x2 + 8)dx 2 —+ 8x 3 2T-8 ■2^-16 2 _ 16 1C 2-24-16 + 48 10 — 8------+ 16 =---------------------= — 3 3 3 3 ± j. ■S2 = J[(-x2 + 3) - (3x - l)]dx = J(-x2 - 3x + 4)dx ^--3^ + 4x 3 2 -i 13 3 2 1 1 + 4 -13 3 2 22 1 3 . 1 3 . . . _ ■^■-^- + 4-- + - + 4 = ---- + 8 = — 3 2 3 2 3 3 3 2. Zintegrujte ■>í cosx 1 dx lichá vuci cosx ^> t = sinxdx dt = cosxdx r cosx . r cosx . r 1 ,,_ -----^dx = ---------— dx = -------dt J cos x Jl-sin x Jl-t 1-t2 (l-t)(l + t) 1-t 1 + t 1 = A(l + t) + B(l - t) t: 0 = A-B A +-B- /.(l-t)(l + t) k: 1 = A + B A -1 B-i m - 2 ,d - 2 i \ ľ —2—i—z— dt = --1- f—=^dt +4- f—=^dt = --l-lnll - ti + 4-ln|l + ti + c = -i-ln Jl-t 1+t 2 J 1-t 2 J 1 + t 2 I I 2 I I 2 1 + t + c = -i-ln 1 + sinx 1-t 1-sinx + c b) \-^ J l-cc cos3 x dx lichá vuci sinx t = cosx dt = -sinxdx -dt = sinxdx t-1 rsin xsinx . ríl-cos xjsinx . ----------— dx= p------------1-------dx J 1 - cos x J 1 - COS x f^(-dt) = -f ci-tni+tj dt=r^Ldt=pft+1>-ldt Jl-t3 J (l-t)(l + t + t2) J t2 +t+ 1 J t2+t + l \ f ,2t + 1 dt-lf-^----dt = -i|n|t2 +t + l|-i (*------\- 2 J t2 +1 + 1 2 J t2 +1 + 1 2 ! I 2 J (t +1)2 + i|n(t2+t + l)-f|J * d -dt _2 2 y s = ds t+2 _ 2t + l ^ " V3 -f dt: V3 ^-ds = dt i|n(t2+t + l)-f 3 3 2 Js2+1 ds |ln(t2 + t + l)--^-arctg(s) + c = -|ln(t2 + t +l)--^arctg^±i + c -L I n (cos2 x + cosx +1) - -L- a rctg 2co^±i + c DÚ 9 1. Vypočtete délku křivky x = el, y = fe2 pro t e (In 3, In 8) x' = el d _______________ ms ___________ ins _______________ ins L = JA/(x')2+(y')2dt= jVe2t+e3tdt= jV(et)2(1 + et)dt = je'Vl + e* a In3 In 3 In3 dt y =e2 4t s = 1 + e' t = ln3^s = 4 ds = e'dt t = ln8^s = 9 y y ľVšds = ľs^ ds s' | = f[sVs£=f(27-8) = f = 12f 2. Vypočtete délku křivky y = Inx v intervalu x e (V3, VŠ D ____________ VS ________ VS L = JVl + (y')2dx= J^i + ^-dx= JiVx2+ldx: t = Vx2 + 1 tdt = x2^dx x = VŠ^t = 2 t2=x2+l tdt = (t2-l)idx x = VŠ^t = 3 2tdt = 2xdx ^Ldt = idx tz-i ft^—-dt = f^-dt = |vydelime| = f (l + -^—jdt = |rozklad na pare. zlomky) = f [l-j^ + jzí 2 2 2 2 [t-i|n|t + l| + i|n|t-l|J=t + i|nrf=(3 + i|n| dt 4, v2 + i|ni)=l + i|nx = i + i|n| 3 = 3. Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací křivky y = Vx cos x kolem osy x v intervalu (o, " 2 V = 7tff2(x)dx = 7ifxcosxdx u = x v = cos x u'= 1 v = sinx 2 [xsinx]^ - ľsinxdx 7t[xsinx + cosx]ž 7t[(f sinf + cos f)- (0. sin 0 + cosO)] = jc(f -1) = ^^ 4. Určete průměr funkce y = sin x na intervalu (O, n). b av[afb]f(x) = BLjf(x)dx a 71 av[0fJt](sinx) = ^ jsinxdx = i[- cosxfô = -^ (cos ti - cos0) = -i(-l -1) = \ 16 DU 10 1. Vypočtete obsah plochy pod křivkou a) y = e"x v intervalu (0,°°) S = ľ e"xdx = -[e"x f = -(e"~ - e°) = -(0 -1) = 1 JO b) y = -^ v intervalu (0,l) S = ío*dX = íox4dX = [2^=l c) y = \ v intervalu (0,l) S= f1^dx= r1x-4dx = -i[-Jr]1 =-|íl- lim Vl = -i(i-Jo x4 Jo 3 Lx3Jo 3 ^ x^o+ x ) 3 2. Vypočtete rovnici xJ i^ ^ '^ ... = 8 x>0 3,3,3,J_, =Vl.íiN|n ■ oo = oo 1 3. 3. _3_ X2 X4 Xs X16 X2 4 s 16 =8 2 + 4 + 8+I6+----Z2 'lži -IIT-J x3=£ x = 2 x3 = 8 n=0 3. Určete součet řad n=0 b n = 0° n = 0° n = 0^0 J n = 0 V°^ 1 " 3 1 " 6 "^ 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +--- Zj 4 I 9 I 1_1 1 2 n = 04^ I" 2 2 5 12^1^ — — c-\ 12 + 12 + 12+J2_+ =V_1L_ = 9 =-g- = 2 cj 9 + 27 + 81 + 243 +■■■ Zj q -a i! 2 = n = 0 ^ V-V J- 3 3 dí Y—= 3 + 9 + 2Z+8i+243 + "' L n 1 Ť 2 Ť 3 Ť 4 Ť 5 Ť ■■■ n=l sčítáme stále větší členy => řada diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence, neboť lim — = |—| = lim ^-^ = °o ^ 0 ) e) ^(Vň-2VnTÍ + VnT2) ,LP. n=l sn = (Ví - 2V2 + Vš)+ \fi - 2V3 + V4j+ (Vš - 2V4 + Vš) + (Ví - 2V5 + Vě) +... + + Wn - 2 - 2Vn - 1 + Vň + U/n -1 - 2Vn~ + Vn + 1 + Vn~ - 2Vn + 1 + Vn + 2 = 1 - V2 - VrT+T + Vň~+~2 s = lim(l- V2 -Vn + 1 +Vn + 2j= I-V2 + lim(yn + 2 - Vn + l)= |°° - «JI = 1 - V2~ + lim -j^=^-^=^ n->~ n->~ n^°° Vn + 2 + vn +1 = I-V2 + lim , * r^ = N| = l-V2+0 = l-V2 => Y ÍVň - 2Vn + 1 + Vn + 2) = 1 - V2 n^°° Vn + 2 + Vn + 1 " " íľí -------- f>E ^n(n + 2) A B ■ + • n(n + 2) n n + 2 2 = A(n + 2) + Bn n: 0 = A + B k: 2 = 2A /•n(n + 2) =>A = 1, B ±^ = ±{---^n(n + 2) ^in n + n=l v ' n=lv s = 1_1 + 1_1 + 1_1 + 1_1 + + _L_1 + _1_____L+ 1__L bn \í 3/+V2 4/+V3 5/+U 6/+111+Vn-2 n/+Vn-l n+l/+Vn n+2-1 1 + T-A-^y 2 n+1 n+2 lim|--L---L =4-0-0 = 4 n , V2 n+1 n+2/ 2 2 y, 2 = 3 tín(n + 2)"2 y 4n2+12n + 6 9 ^(n2 + n)(n2 + 5n + 6) 4n2+12n + 6 4n2+12n + 6 +------r +------ +------- /n(n + l)(n + 2)(n + 3) (n2+n)(n2+5n + 6) n(n +l)(n + 2)(n + 3) n n + 1 n + 2 n + 3 4n2 + 12n + 6 = A(n + l)(n + 2)(n + 3) + Bn(n + 2)(n + 3) + Cn(n + l)(n + 3) + Dn(n + l)(n + 2) 4n2 + 12n + 6 = A(n3 + 6n2 + 1 ln + 6) + B(n3 + 5n2 + 6n) + C(n3 + 4n2 + 3n) + D(n3 + 3n2 + 2n) n3: 0 = A + B + C + D n2 : 4 = 6A + 5B + 4C + 3D n: 12 = 11A + 6B + 3C + 2D k : 6 = 6A => A = 1, B = 1, C = -1, D y. 4n2 +12n + 6 _ y, íl _1_____1______1_ ntí(n2+n)(n2+5n + 6) ~n^ln + n + l n + 2 n + : S = 1 + 1-1-1 + 1 + 1-1-1 + 1+1_1_1 + 1+1_1_1 + + bn Vi + 2 3 4/+V2 + 3 4 5/+V3 + 4 5 6/+U + 5 6 7/+111 + + (-!= + ^-^-l)+(^ + -Lr-l--L.)+(-L. + l--L.--L.)+(l + -lT \n-3 n-2 n-1 n/ \n-2 n-1 n n + 1' \n-l n n + 1 n+2' \n n+1 téměř každé číslo se v sn vyskytuje dvakrát se znaménkem - a dvakrát se znaménkem | c _1 ,1,1,1___1_____2_____L = Z___l_____2_____L_ 3n ±"l"2 2 3 n+1 n+2 n+3 3 n + 1 n+2 n+3 s= Nm ^--L---^---M = 2-0-0-0 = -! „ . \3 n+1 n+2 n+3/ 3 3 4n2 +12n + 6 ^í(n2+n)(n2+5n + 6) 3 DÚ 11 1. Vypočtěte součty řad A ^ 5n (D (2) (D-(2) c = 5. ,10 ,15 ,20 , , 5(n-l) 5n i \ °n 24816 ?n-i "•" 7n / 2 2 -r\ 3- _i_ 10 , 15. , , 5(n-l) 5n 4 8 16 ............ 2n 2n+1 2 Jn S„ 5+_5 + 5+_5_ + +_5 24816 2n 5 + 5+_5_+5+ + 2 Ť 4 Ť 8 Ť-"Ť 5n _ 5n 2n /•2 s= limsn = lim(5 + f + | + -5r + ... + -5T--5£) = 5 + f + | + -5r + lim f , L.P. lim 2nln2 10-0 = 10 n=l J (D (2) (D-(2) i+2. + ^_ + j4_+ +JVÍ + J1 3^9 + 27 + 81+111+ 3"-1 3n /•i 3 Jn 9 27 81 311 jn+l 3 Jn 3 9 27 81 _n__ ^n+l 2618 54 s=limsn = lim(i + |- + i + i + ...+ 3n 3 3_______n_ 2.3""1 2.3" 3 /•! 2.3 n-l 2.3" ' i + i + i + i + , 2 6 18 54 l-o lim^V n^oo2.3n ,LP. 1 _ 2 lim "3 n- 2. Rozhodněte o konvergenci či divergenci řad »S H n=lV"-/ yVnTl n=l n=l n + 1 5n-6 Nm íwl = Nm to/ = iimí(n + 1)n!T = limí±ľ = lim 1 n(n + l)!j n^oo^n VrT+T 1 w n^x-^ij- «jx^ Vň+T _ --------->- proVn>l e > — diverguje =s> rada > --------- D n n ^^ n ^^ p 0 < 1 ^> řada K n n lim s/ä7 = Nm nj n + 1 5n-6 2n n = l lim n + 1 5n-6 2n lim n = l n + 1 lim n2 + 2n + 1 LP,. 2n + 2 lim n^~50n-60 5n-6j n^25n2-60n + 36 LP- 2 2 = lim — = — < 1 ^> rada K n^oo 50 50 <»Z sin2 n n=l n sin n 1 V— konverguje =s> řada V sin n K n = l n = l »Z 2n íŽíVn^l n=l ^ ' f> Z ^* n=iv n=l J 2x í Vx2 + 1 2(00-V2 dx t = x2+l x = 1 -> t = 2 dt = 2xdx x = 00 -> t = 00 J4rdt = j™ = 2^ ra da ^ 2n n=i vn2 +1 lim q/a^= lim p 1 + — = lim 1 + - lim 1 + - n^4 n e > 1 ^> řada D (n+1)2 .. an , ,. (n+iv ■■ (n +1) n! ,. n + 1 hm-^ = lim 1 2;- = hm-^-------—= lim—=— n->~ an n->~ jl_ n->~ n^(n + l)n| n->~ n^ n! LP- 1 = Nm — = 0 < 1 ^> rada K iwoo2n 19 3. Dokazte, že řada V—^ konverguje n= Jidx = J3r»dx= i -(0-1) = - K 9V 7 9 rada V—— K n = l n °° f—D" 4. Dokazte, že řada V _ konverguje lT2ln n (-4-r je nerostoucí posloupnost » |- > 0 pro V n > 2 V In5 n Nm an = Nm -4- s , In5 n > =s> ra ^-J In3 n n=l 5. Rozhodněte, zda řada konverguje relativně, absolutně nebo nekonverguje. *—i n-Inn n=l n > In n pro Vn>l^>n-lnn roste =s> =s> {j^jj^-} je nerostoucí posloupnost » n > In n pro V n > 1 n-lnn Nm an = Nm -A— = IWI = 0 n^oo n n^oo ""Inn 11-11 >0 Y řada VA K / i n-lnn n=l i— Z-i n-l n=l n-lnn ------>— © V— diverguje =s> řada V—í^- D nn n Z-i n a J Zj n-lnn n-lnn n n=l n=l celkem: řa da Z n=l (-D" n-lnn K relativně n=l e {-Lj je nerostoucí posloupnost » 4>0proVn>l V Nm an = Nm 4 = IWI = 0 V řada^(-i)n K n=l — Iimn/äľ=limn— = Nm — < 1 ^> řada V 4- K n=l n^-e n=l °° (-1)" celkem: řada V-—— K absolutně Z-i pn n=l e 20 DÚ 12 1. Pro která x konvergují mocninné řady: a) £n(x-3)" n=l r = lim lim n + 1 lim------- n->°° n + 1 x = 2 ... Y^n(2 - 3)n = ^]n(-l)n ... nekonverguje n=l n=l x = 4 ... ^n(4-3)n = Xn ■■■ diverguje n=l n=l celkem: řada konverguje pro x g (2,4) oo rn b) Y—x n r = lim an = lim 5" n! an+l (n+1)! .. 5n(n + l)n! .. n + 1 lim—-------— = lim------- n->- n!-5-5n n->- 5 řada konverguje pro x g (-00,00) nJ r = lim an = lim n3 2" an+l (n+1)3 .. n3-2-2n .. 2n3 lim------------=- = hiri- ng- 2n(n + iy ^ (n + iy ,3 x = "6- £^(-6 + 4)n = J^(-2)n = X(-Dnn3 ...nekonverguje n=l ^ n=l ^ n=l 00 3 00 3 00 x = - 2 ■■■ É^r7(-2 + 4)n =É^r72n = Én3 ■■■ diverguje n=l 2 n=l 2 n=l celkem: řada konverguje pro x g (-6,-2) n 2) Určete obor konvergence a součet řady Y^nx" . Pomocí výsledku pak určete součet Y^—- n=l n=ll" r = lim lim n + 1 x = - 1 ... ^]n(-l)n ... nekonverguje n=l x = 1 ... Y^n ... diverguje n=l obor konvergence je tedy x g (-1,1) £nxn = xYjnxnl = xYj(xn)' = x- £xn =x(x + x2 + x3 + Inxn {n-l n=l n=l X (1-x)2 pro XG (-1,1) 1-x 1 (l-x)-x •(-!) (1-x)2 ntílO - = předchozí vypočet pro x = ^ 10 10 10 ^ 10/ 100 ^4 21 ,n+3 3) Určete obor konvergence a součet řady Y^-------. Pomocí výsledku pak určete součet Y^-----^ n=1 n +1 n=2n.2 r = lim X = - 1 lim i n+l 1 n+2 .. n + 2 . lim-------= 1 ý (-l)n+3 Éí n + l n^- n + l .. konverguje (dle Leibnitzova kritéria) x = 1 ... Y^—-— ... diverguje (podle např. integrálního kritéria) n=1 n +1 obor konvergence je tedy x g (- 1, l) £-— = x2 • £-— = x2 Zíx"dx = x2 |Zxndx = x2 J(x + x2 + x3 + ...)dx = x2 j^^dx n=l n=l n=l n=l = |vydelime| = x2 • í -1 +------dx = x2(-x-ln|l-x|)+c = -x2(x + ln|l-x|)+c pro x g (-1,1) Ze zadání je vidět, že součet řady pro x = 0 je 0 (dostaneme totiž řadu samých nul). Dosazením do právě získaného výsledku dostáváme: 0 = -02 O + lnl-0 +c => c = 0 => °° xn+3 / \ -------= -x2 x + ln|l-x| pro x g (-1,1) n=l zadaná řada však konverguje ještě v bodě x = - 1: V(~1)n+ = lim í-x2(x + ln|l-x|)l = -(-l + ln|l-(-1)1 = 1-In; celkem tedy: ,n+3 Y------= -x2 x + Inll — xl éín + 1 V ' |; pro x g (-1,1) X 2n+2 = |P°zor na spodni" mez"| = £ n=2 £í(n + l)-2 n+3 Ipredchozi vypočet pro x = \\ m+^-í ■i(i+m±; i l + 2ln2-M =-1(1-2In2) = |(2ln2-1) = ^-1 = 0,0483 4. Funkci cosx rozviňte do mocninné řady se středem v O. x0 = 0 f(x) = cosx f(x) = -sinx f'(x) = -cosx f"(x) = sinx f(4'(x) = cosx f(5'(x) =-sinx f(5'(x) =-cosx f(x0) = l f'(x0) = 0 f"(x0) = -l f"'(x0) = 0 f(4)(x0) = l f(5)(x0) = 0 f(5)(x0) = -l f(x) = f(x0) + ^(x-x0) + í^(x-x0)2+... + í^^(x-x0)n+... cosx = l + -(x-0) + — (x-0)2+-(x-0)3+ — (x-0)4+-(x-0)5+ — (x-0)5+. 0 1! 2! 1 x2 x4 x5 cos X = 1 - — + 3! (-Dn.2n 4! 6! i\ ■ A\ a +--- = S7^ľx2n (pozn.:platiproxG (-00,00)) 2! 4! 6! to (2n)l 22 1. Řešte diferenciální rovnice: a) 1 + y2 = xy' 1 1 dy X l + y2 dx J x Jl + v ln|x| = arctgy + Ci arctgy = ln|x| + c y = tg(ln|x| + c) b) ev(y'-l)=l -dy y'-l dy dx ey+1 f^1—dy= fdx J ey + 1 J -ln(ey+ l) + y = x + q /(-l) ln(ey + l)-y = -x + c2 ln(ey + 1) = y-x + c2 eln(ey + l) _ ey-x+c2 ey + 1 = c.e y-x c.e y-x DU 13 í^-dy J ey +1 t = ey+1 dt = eydy dt = (t - l)dy dt t-1 dy 1 dt ri dt J 11^ r 1 i i ----------dt = rozklad na pare. zlomky = J t(t - 1) ' ' ff- - + —^—]dt = — I niti + Inlt - li = ){ t t-lj M ! ! -In|ey + l| + ln|ey + 1 - l| = -ln(ey +1) + ln(ey) -ln(ey + l) + y c) y + x y' = xyy' xyy' - x2y' = y2 y'(xy - x2) = y2 xy - x , JiL y-l X ux = y u'x + u = y' ,2 u x + u u x u u-1 u-1 u x u2 - u2 + u Ll^l du _ u . u-1 dx u-1 u Jt- -du = f—dx J x iHy-ü« u - lnu = Inx + Ci y-ln x y. x = Inx + Ci -^ - In y + Inx = Inx x ľl II II í - lnM = ci lnM = x + C2 ein|y| = ei^2 y M = c3.e* y = c. e1 Rovnici jsme násobili výrazem u-1: u-l^O^u^l^-^l^y^x Není y = x řešením původní rovnice? x2 +x2(x)' = xx(x)' 2x2 = x2 Ne, y = x není řešením dané rovnice. Rovnici jsme dělili výrazem u: u^O^u^O^I-^O^y^O Není y = 0 řešením původní rovnice? O2 +x2(0)' = x.0.(0)' 0 = 0 Ano, y = 0 je řešením a je obsaženo v obecném řešení pro c = 0. 23 d) xV = y2 y-feľ "=í ux = y u'x + u = y u'x + u = u2 u'x = u2 - u du u-l In e u u-l dx u(u-l) /:u(u-l) u u-l u y-1 _x_____ Y_ x y-x f 1 du=fldx J u(u - 1) J x Jl u u-lJ J x = e = c2 |x| C3X = C3X = c^x In dx ln|u| + ln|u -1| = ln|x| + c-^ u-l u y - x = c3xy y + cxy = x y(l + ex) = x x l + cx Rovnici jsme dělili výrazem u-l: Hxl+q u-lŕO^uŕl^l-ŕl^yŕx Není y = x řešením původní rovnice? x2(x)' = x2 x2=x2 Ano, y = x je řešením a je obsaženo v obecném řešení pro c = 0. Rovnici jsme dělili také výrazem u: u^O^u^O^I-ŕO^yŕO Není y = 0 řešením původní rovnice? x2(0y = 02 ,y=0 o=0 In x + Ci e) y' = y + x Jedná se o rovnici lineární; nejprve vyřešíme příslušnou homogenní rovnici: y'-y = 0 dy dx dx ln|y| = em|y| |y| X + Ci c,e ex+Cl X c.e* řešení povodní rovnice má pak tvar: y = c.ex +c(x).ex Ano, y = 0 je řešením, ale není obsaženo v obecném řešení. Proto jej musíme dopsat. samotné c(x).ex je řešením povodní rovnice: c(x).exj = c(x).ex +x c'(x).ex + c(x).ex = c(x).ex + x c'(x).ex = x c'(x) = x.e"x c(x) = ľ x.e x dx U = X v U' = l v = -xe"x - e"x = e"x (-x -1) -xe~ e xdx celkem tedy: y = c.ex +e"x(-x-l).ex c.e" x-1 f) (x + l)y - 2y = (x + 1)' x + 1 2 x + 1 dy 2 2 y = (x + l)3 y = 0 y lineární rovnice příslušná homogenní dx x + 1 jldy = j^-dx J y J x + 1 ln|y| = 2ln|x + l| + c1 i I I i I h|2 Iny = ln|x + 1| +Ci eln'yl=e |y| = c2(x + i)2 y = c.(x + l)2 ln(x+l)2+C! řešení povodní rovnice má pak tvar: y = c.(x + l)2+c(x).(x + l)2 samotné c(x).(x + l)2 je řešením povodní rovnice: (x + l).(c(x).(x + l)2) -2c(x).(x + l)2 =(x + l)4 /:(x + l) c'(x). (x + l)2 + c(x). 2(x + 1) - 2c(x). (x + 1) = (x + l)3 c'(x).(x + l)2 =(x + l)3 c'(x) = X + 1 c(x)= f(x + l)dx c(x) = ^- + X celkem tedy: y = c.(x + l)2 +(^ + x).(x + l)2 ^>y = (x + l)2(^ + x + c) 24