MB102 Matematika II písemky písemka 1 1. Najděte polynom, pro který platí P(l) = 6, P(2) = 1, Pl(-1) = 5. P(x) = ax2 + bx +c 6 = a + b + c 1 = 4a + 2b + c P'(x) = 2ax + b 5 = -2a + b 111 6] í 4 2 1 1 ~ 2 1 0 5 v 1 1 1 6] t 0 -2 -3 -23 ~ 0 3 2 17 ) v 1 1 1 6] 0 2 3 23 0 0 -5 -35 J C = 7 b = 1 a = -2 f(x) = -2x2 + x + 7 2. Rozložte na parciální zlomky 4x 4x x + 3x - 3 x3 -x2 +3x-3 4x _ A Bx + C x - l)(x2 +3)~x-l+x2+3 /• x-1 x2+3 x3 - x2 + 3x - 3 = a(x2 + 3) + (Bx + C)(x - l) x3 - x2 + 3x - 3 = Ax2 + 3A + Bx2 - Bx + Cx - C x2: 0 = A + B ^ A x : 4 = -B + C k : 0 = 3A - C 4 = -B + C 0 = -3B - C 4 = -4B -> B = -1 =: 3. Vypočtete limity -B 4x 1 -x+ 3 + A = 1,C = 3 x2 +3x-3 x-1 x2 +3 a) lim V4x2 + 7x - 2x oo — oo .. v4x2 + 7x - 2x v4x2 + 7x + 2x .. 4x2 + 7x - 4x2 hm-------------------------, -------= hm 1 .. 7x hm-------------- x^ V4x2 + 7x + 2x V4x2 + 7x + 2x x^" V4x2 + 7x + 2x ..7 7 7 : hm ------=--------= — x— ^4 +z+2 2 + 2 4 b) lim 2x-l x->2 x - 4x + 4 Nm x^2 2x-l íx - 2)2 + 0 pro limitu zprava i zleva 4. Zderivujte: a) y = ln 2 x'' + 3 2x (x2 + 3) - (x2 - 3) 2x x2 + 3 2x3 + 6x - 2x3 + 6x 12x x2-3 x2 +3 (x2 + 3)2 x2-3 (x2 + 3)2 12x (x2 - 3)(x2 + 3) x4-9 b) y = ^x In2x = (x In 2x)í 1 / . _ v- f-, i -. l-i^ In2x +1 y = — (x • In 2x) 4 • 1 • In 2x + x-------2 =------, 4 l 2x J 4-4/(xln2x) 5. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce y = x.ln(x - 2) v bodě A = [3, ?]. A = [3,0] ! t:y = kx + q t: y = 3x - 9 x-2 y = 3x + q f'(x) = l-ln(x-2) + x k = f (3) = 0 + 3 • - = 3 0 = 3-3 + q q = -9 písemka 2 I. Vyšetřete průběh funkce y = 1) D(f) = R f(-x) x2 + l (-X)2 +1 x2 + 1 lichá funkce 2) Kladná, záporná x2 + 1... vždy >0 x + y - + 3) Rostoucí, klesající, extrémy 4) Konvexní, konkávni, inflexní body , x2 + 1 - x • 2x 1 - x2 (1 - x)(l + x) „ - 2x • (x2 + l)2 - (1 - x2) • 2(x2 + l)2x (X2 + l)2 (X2 + l)2 (X2 + l)2 1 - X 1 + X + 5) Asymptoty BS ... neexistují + + + - + - \ min /" max \ __ .. f(x) .. x2 +1 i- 1 SS a = lim -^ = lim x + 1 = lim (x2 +1)4 2x(x2 + 1) - (1 - x2 )4x - 2x3 - 2x - 4x + 4x: (x2 + l)3 (x2 + l)3 2x3 - 6x _ 2x(x2 - 3) _ 2x(x - VŠ)(x + VŠ) (x2 + l)3 (x2 + l)3 2x x +VŠ x-VŠ + (x2 + l)3 + + + + + - + - + n inf u inf n inf u x-»±°° x x^±« x^±- X + 1 b = lim [f(x) - ax] = lim —-,------ x^±»j x^±»j x + 1 LP- .. 1 = lim — x^±» 2x asymptota SS pro +°o je y = 0 II. Zintegrujte a) j(x2 + 5)exdx u = x2 + 5 u' = 2x v' = ex v = e (x2 + 5)ex-J2xexdx u = 2x u' = 2 v' = ex v = ex (x2 + 5)ex - (2xex - J2exdx)= (x2 + 5)ex - 2xex + 2ex + c = ex(x2-2x + 7) +c b) í--------------r«lx=f-------^-^dx ' J x(l + lnx)4 J x(l + lnx)4 t = l + lnx dt = -dx x jAdt = J3t-4dt = 3^ + c + c (1 + lnx)3 + c x2-7x-34 r x - 7x J x3+5x2 + 7X-13 x2 - 7x - 34 písemka 3 dx = Irozlozime na parciálni zlomkyl x2 - 7x - 34 x3 + 5x2 + 7x -13 (x-l)(x2+6X + 13) x-1 x2+6x + 13 x2 - 7x - 34 = A(x2 + 6x + 13) + (Bx + C)(x -1) x2 - 7x - 34 = A(x2 + 6x + 13) + B(x2 - x) + C(x - 1) A Bx + C . , ... 2 c i-n + —--------------- /• (x - l)(x^ + 6x - 13) x^ : 1 = A + B x: -7 = 6A-B + C k: -34 = 13A-C =>A = -2, B = 3, C = 8 3x + 8 , ,|(2x + 6)-l |dx = -2ln|x-l|+ 1^4----------—dx 13 ------- + -=---------------dx = -2 In x -1 + =-=----------- jyx-1 x2+6x + 13j ' ' Jx2+6x + -ni ni i ľ 2x + 6 . -2 In x -1 + 4 -^---------------dx 2 l „2 , c„ 13 4- _ x+3 L 2 dt = |dx 2dt = dx f^---------------dx- f-----------------dx = -2ln|x-l| + |ln|x2 +6x +131-4- {-,—^------dx = Jx2+6x + 13 J (x + 3)2+4 ' ' 2 I I 4J(x±3)2+1 2ln|x-l| + 4ln(x2 +6x + 13)-i ľ—*—dt = -2ln|x-l| + |ln(x2 + 6x + 13)-|arctgt + c 112 4 J t2 + 1 112 2 2ln|x-l| + |ln(x2 +6x + 13)--|arctg^±3- +c 2. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = -x2 +4, y = 2x + 1, - x2 + 4 = 2x + 1 x2 + 2x - 3 = 0 x = -3 x = 1 S = j" [(-x2 + 4) - (2x + l)]dx = j (-x2 - 2x + 3)dx 4-x2+3xJ_3 = (-l_i + 3)-(9-9-9) 5+9= 32 3 Ť ' 3 3. Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací funkce y = 3xVlnx kolem osy x v intervalu (1/3) V 7iJ9x2 In xdx u' = 9x2 u = 3x3 v = lnx u' = i J [3x3 In x{ - J3x2dx = 3t[3x3 In x - x3 f 4(81 In 3-27)-(3 In 1-1)] =3i(81 In 3-26) 4. Vypočtěte délku křivky x = |t2, y = it3 pro t e (o, VŠ x' = t y' = t2 L= JVt2+ťdt= JWl + t2dt: o o s = 1 +12 ds = 2tdt ids = tdt t = 0->s = l t = VŠ ^s = 4 jVši-ds = ijVds = i 3 3 3 l^f =l(8-l) = | 5. Vypočtěte průměr funkce f(x) = x3 na intervalu (- 2,4) 4 av[_2f4]f(x) = ^ jx3dx = 1 [^r2 = 1(64 - 4) = 10 písemka 4 00 "?n 1. Určete součet řady V—- (D (2) 3+1 + 1 + 11+... + 3(^1 +3a /.l Jn 2 4 8 16 1S = 3 + 6+_9_ + 2 3n 4 Ť 8 Ť 16 Ť ' 1 3(n-l) 3n 2n 2n+1 ^J ^J 2 n 2 4 8 16 2n 2n+1 3n JŤ2 4 8 2""1 2" s=limsn = lim(3 + f + | + | + ... + ^r-f) = 3 + f + | + | + ...-limf „LP, 3n _ U _ 3 n -»■» n^o. 2n-i 2n 1 2 n->°« ■í m^ — 'l 1 ^ 2. Určete součet řady V ____ „=iUn Vn + 1 sn=^-4r)+f4r-4rW4r-Vl + ... + Uj=- + )+LL-—L 1 V2' VV2 V3 J W3 V4 n-1 Vn' Vn Vn+1 yn+1 s= lim sn = lim 1--J= =1-0 = 1 /n+l 3. Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad (n+l)!f a) y ML iim^±i=lim n+\ = lim ^-f (n + 1)n!| = lim -^-(n + 1)2 = lim n(n + l) = °° => řada D l—i n n^oo an n->~ (n!)^ n->~ n + 1 l n! ) n^~ p| + 1 n^~ n = l —-— v y «Z n-1 *-*{ 3n + 2 J n = l v ' lim s/an = lim ji n-1 3n + 2 .. n-1 lim--------- iw°o3n + 2 LP- 1 1 = lim — = — < 1 =s> rada K n^~3 3 . ^ n-1 -Af 1 1 n = l n n=l n4 n5 1 1 n4 n5 n <— © V—- konverguje =s> řada K n = l 4. Dokažte, že řada T^y^- konverguje n = 2 M— r je nerostoucí posloupnost » ¥nJ -i- > o pro V n > 2 V In^n lim an = lim i - i Y řada K 5. Rozhodněte, zda řada V (.1^" konverguje absolutně, relativně nebo nekonverguje. ^^ n-In n n=2 {—ri— í je nerostoucí posloupnost » mi In nJ nln n > 0 pro V n > 2 ^ lim an = lim —V = Hl = 0 ^ n-s>°« n->o« n|n n "°°" řada Wk í-^ nln3 n n=2 i-^ nln3 n n=2 x In3 x dx t = lnx x = 2^t = ln2 dt = i dx x = oo->t = o< In2 L 2'0 ln22/ 2ln22 ^ Zjnln3n K n=2 celkem: řada "V ( x\ K absolutně. i-^ nln3 n n=2